[hector]

Sean \( (X,d) \) un espacio métrico completo y \( f:X\rightarrow{}X \) una contracción con tasa \( \alpha \in (0,1) \) y punto fijo p. Demostrar que para cada \( \epsilon >0 \) existe \( \omega \in (0,1-\alpha) \) tal que, para toda contracción \( g: X \rightarrow{}X \) con tasa \( \alpha + \omega \) y  \( d(g(x),f(x))<\omega \) para toda \( x\in X \), se tiene \( d(p,q)\epsilon \), donde \( q \) es el punto fijo de \( g \).

[Piockñec]

Se me ocurre, intuitivamente, que puedes elaborar una sucesión de contracciones al cuadrado, al cubo,... de f y de g y tomar la métrica de las imágenes de las funciones, e ir tomando muestras en cada transformación de la métrica de los argumentos.
Debido a que es contracción, las imágenes irán contrayéndose, a su vez que los puntos se acercan al punto fijo de cada transformación.

Como escribirlo matemáticamente, la verdad, ni idea, soy muy malo con los formalismos. Pero hoy he estado aprendiendo sobre transformaciones, Bánaches y demás y me ha dado el impulso de responder a esta pregunta aunque no sea un experto Espero que haya atinado y te haya echado un cable!!!