[Héctor Manuel]

Respecto a este post:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,33039.0.html
espero que no los moleste abriendo un tema en donde hago correcciones.  Preferí abrir un nuevo post pensando en eliminar el anterior en cuanto termine éste ahora que tengo más tiempo para trabajara en dicho tema.

Lo que más me interesa de ustedes es su crítica y las aportaciones que puedan hacer para este estudio.  Se trata de un proyecto de investigación que debo entregar, y por ello les pido su ayuda.
Gracias.

[Héctor Manuel]

En este post voy a hacer un estudio lo más detallado posible de los operadores subnormales. Este estudio queda dentro del área de análisis matemático, específicamente en Teoría de Operadores. 

Los textos en los que me baso para obtener la información a analizar son:
INTRODUCTORY FUNCTIONAL ANALYSIS WITH APPLICATIONS, E. Kreyszig, Edit. John Wiley & Sons, 1978
ELEMENTS OF OPERATOR THEORY, Carlos S. Kubrusly, Edit. Birkhauser, 2001
C*-ALGEBRAS AND OPERATOR THEORY, Gerard J. Murphy, Academic Press, 2004
SUBNORMAL OPERATOR, John B. Conway, Pitman Advanced Publishing Program, 1981

Cualquier comentario será bienvenido.
Saludos

[Héctor Manuel]

I. EL TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES NORMALES

Para comenzar con nuestro estudio de los operadores subnormales, conviene familiarizarse con el teorema espectral para operadores normales, no sólo por su importancia en el entendimiento de la teoría espectral, sino por el acercamiento al concepto de medida espectral, el cual será generalizado para lo que nos compete.

I.1Medidas de valores en los operadores positivos: Una generalización de las medidas espectrales

Introducción

En 1950 durante su estudio de los operadores subnormales, Halmos define el concepto de Positive Operator Valued Measure.   Esta, es un tipo de medida definida sobre una sigma-álgebra de Borel y con valores en los operadores positivos de un espacio de Hilbert.  El fín de este concepto es el poder representar a los operadores subnormales en términos de integrales, tal como se hace con el teorema de representación espectral para operadores normales.  Pero, ¿Cómo surge la idea de tal concepto?

I.1.1 Medidas Espectrales

Para motivar el por qué de la definición formal de medida espectral como ente matemático preciso, recordemos que nuestra intención al final de esta sección es encontrar una representación por medio de integrales respecto a algún tipo de medida para los operadores normales. 

Quizá el tipo de operador normal más sencillo de entender es el  operador autoadjunto.  La motivación que haremos será obtenida  a partir de tomar un espacio \( H \) de Hilbert de dimensión finita y un operador de éste tipo. 

Para precisar, tomaremos \( H=\mathbb{C}^n \). Sea \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto.  Sabemos que \( T \) es acotado, y por tanto podemos escoger una base para \( H \) y representar a \( T \) respecto de dicha base por una matriz hermitiana, de la cual nada perderemos si la denotamos también como \( T \). 

El espectro de este operador consiste precisamente en los \( n \) eigenvalores de tal matriz (contando multiplicidad), los cuales son todos reales debido a que \( T \) es autoadjunto.  Para simplificar, supongamos que dichos eigenvalores son \( \lambda_1<\lambda_2<...<\lambda_n \).  Por tanto, existe una base ortonormal de eigenvectores \( \left\{{x_1,x_2,...,x_n}\right\}  \) de \( H  \) (precisamente aquella para la cual la matriz de representación del operador \( T \) es hermitiana) donde cada \( x_i \) es el eigenvector asociado a \( \lambda_i \); escribamos a estos vectores como vectores columnas. 

Esta es una base para \( H \), así que todo vector \( x\in{}H \) tiene una única representación

\( x=\displaystyle\sum_{j=1}^n{<x,x_j>x_j} \)..........(1)

donde por nuestra conveniencia de escribir a los \( x_j \) como columnas, es claro que \( <x,x_j>=x^t x_j  \).

Lo esencial en lo anterior es que \( x_j \) es un eigenvector de \( T \).  Más aún, sabemos que \( Tx_j=\lambda_j x_j \).  De esta suerte, podemos aplicar \( T \) a (1) y así obtener 

\( Tx=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\lambda<x,x_j>x_j} \)..........(2)

Por tanto, mientras \( T \) puede actuar en \( x \) de manera complicada, actúa en cada término de la suma en (1) de una forma muy simple. Esto nos muestra primeramente la gran ventaja del uso de eigenvectores en conexión con la investigación de un operador lineal en \( H=\mathbb{C}^n \).

Observando (1) más profundamente, notamos que se puede definir un operador

\( P_j:H\longrightarrow{H} \),  dada por \( x\longmapsto<x,x_j>x_j \)

Obviamente, \( P_j \) es la proyección ortogonal de H sobre el eigenespacio de T correspondiente a \( \lambda_j \).  La fórmula (1) puede ser reescrita ahora como

\( x=\displaystyle\sum_{j=1}^n{P_jx} \) de donde se decude que \( I=\displaystyle\sum_{j=1}^n{P_j} \)

La fórmula (2) se convierte en

\( Tx=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\lambda_jP_jx} \) y de ahí que \( T=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\lambda_jP_j} \)

Hemos logrado representar a \( T \) en términos de proyecciones ortogonales.  Esto muestra que el espectro de \( T \) puede ser empleado para obtener una representación del operador en cuestión en términos de unos operadores muy simples.

El uso de las proyecciones \( P_j \) parece bastante natural y geométricamente perspicaz. Desafortunadamente, nuestras fórmulas pueden no ser inmediatamente adaptables para el caso de dimensión infinita, ya que en este supuesto, hasta el espectro de los operadores acotados autoadjuntos es más complicado por tratarse de un intervalo de la recta real.

Describamos otro procedimiento, al que llamaremos proceso G y que quizá sea menos astuto, pero tiene la ventaja de ser generalizable a este caso infinito dimensional.

A saber: En vez de las proyecciones \( P_j \), tomemos sumas de tales proyecciones. Precisando, para cualquier \( \lambda\in{\mathbb{R}} \), definamos

\( E_\lambda=\displaystyle\sum_{\lambda_j\leq{\lambda}}{P_j} \)..........(3)

Esta es una familia uniparamétrica de proyecciones, con \( \lambda  \) como parámetro. De (3) vemos que para cualquier \( \lambda \), el operador \( E_\lambda  \) es la proyección de \( H \) sobre el subespacio \( V_\lambda=\span \left\{{x_j| \lambda_j\leq{}\lambda}\right\} \).  De ahí se sigue que \( V_\lambda\subset{}V_\mu \) si \( \lambda\leq{\mu} \). 

A grosso modo, cuando \( \lambda  \) corre en todo \( \mathbb{R} \) en sentido positivo, \( E_\lambda  \) corre desde la proyección nula \( \Theta  \) hasta la proyección identidad \( I \), cambiando de proyección en proyección y en donde cada cambio ocurre en los eigenvalores de \( T \) y permanece sin cambiar para las \( \lambda\mbox{'s} \) de cualquier intervalo que esté libre de eigenvalores.   

Las propiedades anteriores quedan plasmadas en cualquier caso a la siguiente definición:

DEFINICION: Una familia real espectral sobre un intervalo \( [a,b] \), o descomposición real de la unidad en el respectivo intervalo, es una familia uniparamétrica \( \mathfrak{E}=\left\{{E_\lambda}\right\}_{\lambda\in{\mathbb{R}}}  \) de proyecciones definidas en un espacio de Hilbert \( H \) (de cualquier dimensión), la cual depende del parámetro real \( \lambda  \) y es tal que 

FE1. \( E_\lambda E_\mu =E_\mu E_\lambda=E_\lambda \) si \( \lambda<\mu \)

FE2. \( \begin{Bmatrix} E_\lambda=\Theta & \mbox{ si }& \lambda\leq{a}\\E_\lambda=I & \mbox{si}& \lambda\geq{b}\end{matrix} \)

FE3. \( \displaystyle\lim_{\mu \to{}\lambda +}{E_\mu x}=E_\lambda x \) para cualquier \( x\in{H} \)

Este nuevo procedimiento de definir proyecciones ortogonales, como se dijo antes, es fácilmente adaptable al caso de dimensión infinita.  Por si fuera poco, la importancia del proceso G en sí es que a cada operador acotado autoadjunto \( T \), definido en un Hilbert de dimensión finita o no, podemos asociarle una familia espectral, la cual puede ser usada para representarlo como una integral de Riemann-Stieltjes.  De hecho, ésa es una representación espectral1.

Un comentario sobre esto último es que al final, lo que el procedimiento G hace es representar al operador autoadjunto en términos de una integral respecto a una medida.   

Para lo que nos interesa en esta sección, lo anterior es suficiente para motivar la idea detrás de la definición de medidas espectrales.
De alguna manera queremos simular el proceso G que aplicamos a los operadores autoadjuntos, pero ahora en el caso de un operador normal, y además, en este nuevo proceso no queremos perder tiempo analizando si la dimensión de nuestro H es o no finita

[Héctor Manuel]

A la obra:

En lo subsecuente se entenderá \( H \) como espacio de Hilbert de dimensión finita o no sobre los complejos y cualquier operador que se menciones será acotado a menos que se indique lo contrario.

Observemos que una familia espectral relacionada con un operador autoadjunto nos dice cómo asociar a cada intervalo de la forma \( [a,\alpha) \), donde \( [a,b] \) es su espectro, una proyección ortogonal.  Como en el caso para operadores normales generales no necesariamente el espectro está contenido en la recta real, no podemos extender directamente las familiias espectrales que tenemos para operadores autoadjuntos.


Así que analicemos un poco nuestra situación. Como ya se ha dicho anteriormente, al final queremos encontrar una integral que en algún sentido sea capaz de representar operadores, y por tanto primero debemos tener un espacio de medida.  En el caso de autoadjuntos, este espacio de medida es claramente la \( \sigma- \)álgebra de Borel en su espectro, ya que hemos logrado asignar a cada Borel básico de este intervalo un operador.  Como nos hemos dado cuenta, no estamos entonces hablando de medidas usuales, sino de medidas vectoriales.  Así, en realidad, si esperamos tener éxito, suena razonable asignar a cada Borel medible de un espectro un operador acotado.  Formalicemos las ideas:

Sea \( N:H\longrightarrow{H} \) un operador normal con espectro \( \sigma(N)\subset{\mathbb{C}} \).  De lo dicho anteriormente, concentrémonos en \( \Sigma_{\sigma(N)} \),la \( \sigma- \)algebra  de Borel en \( \sigma(N) \), la cual es, de cierta manera, el análogo a la familia de conjuntos \( [a,\alpha)\subset{[a,b]} \) en el caso de los operadores autoadjuntos.  En el espacio medible \( (\sigma(N),\Sigma_{\sigma(N)}) \) podemos tomar una medida vectorial genérica.  La imagen de esta medida, por definición, será un subconjunto de un espacio de Banach.   Así, al ser \( H \) de Hilbert, entonces \( \mathbb{B}(H) \) es Banach, y por tanto tiene sentido que dicha medida vectorial tenga sus valores en \( \mathbb{B}(H) \).   

Más aún, ya hemos tenido la oportunidad de ver lo pertinente que es que estos operadores imágenes bajo la mencionada medida vectorial sean proyecciones ortogonales.  Así que pediremos directamente que la medida vectorial tenga su imagen en el conjunto de proyecciones ortogonales de \( H \).  Esto es: a cada Borel-medible en \( \sigma(n) \) le asociaremos una proyección ortogonal elemento de \( \mathbb{B}(H) \).   

Ahora bien, FE2 es claramente generalizable pidiendo a nuestra medida vectorial que la imágen del \( \Sigma_{\sigma(N)} \)-medible vacío sea la proyección nula y la imagen del \( \Sigma_{\sigma(N)} \)-medible \( \sigma(N) \) sea la proyección identidad.

Por otra parte, FE1 nos presenta un problema, ya que hace uso de la propiedad de orden de los reales, la cual se pierde en nuestra situación.  No obstante, podemos examinar a fondo y observar que en realidad al Borel medible \( (\lambda,\mu)=[a,\mu)\cap{(\lambda,b]} \) se le está asignando precisamente la proyección producto de las proyecciones asignadas a los Borel medibles \( [a,\mu) \) y \( (\lambda,b] \) (la cual es una proyección dado que los conjuntos que se intersectan "conmutan" respecto a la intersección de conjuntos).  Es entonces esa la idea que queremos recuperar. 

De esta manera pediremos que si \( \mathcal{A},\mathcal{B}\in{\Sigma_{\sigma(N)}} \), entonces la proyección ortogonal asignada a \( \mathcal{A}\cap{\mathcal{B}} \) sea precisamente el producto de las proyecciones ortogonales asignadas tanto a \( \mathcal{A} \) como a \( \mathcal{B} \) (y como la intersección de estos dos conmuta, entonces el producto de las proyecciones ortogonales asignadas a cada uno vuelve a ser una proyección ortogonal).

Finalmente, notar que la condición FE3 presenta también el problema del orden en los reales (o dicho de otra manera, el problema de la falta de orden en los complejos). La generalizacion de esta propiedad no la he podido obtener, y de hecho me parece que no es salvable. Más bien me suena a que FE3 se puede deducir usando las propiedades que estamos definiendo ahora como caso particular en que nuestro operador normal sea autoadjunto.  Para librar este problema, a causa de disfrazar mi ignorancia, pediremos simplemente la propiedad de que tenemos una medida vectial:  Si \( \left\{{\mathcal{A}_n}\right\}\subset{\Sigma_{\sigma(N)}} \) es una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos, entonces la proyección ortogonal asignada a su unión será la suma de las proyecciones asignadas a cada uno de sus uniendos.  Estableceremos de manera más preciso lo anterior en breve.

De esta manera, tenemos una buena aproximación de ese algo que necesitamos construir y que generaliza el concepto de familia espectral.  Disponemos entonces a precisar matemáticamente lo que hemos establecido:

DEFINICION  Sean \( N:H\longrightarrow{H} \) un operador normal con espectro \( \sigma(N)\subset{\mathbb{C}} \) y \( \Sigma_{\sigma(N)} \) la colección de todos los subconjuntos de \( \sigma(N) \) Borel medibles.  Definamos una función \( P:\Sigma_{\sigma(N)}\longrightarrow{\mathbb{B}(H)} \) que cumpla las siguientes propiedades:

ME1. \( P(\mathcal{A}):H\longrightarrow{H} \) es una proyección ortogonal para cada \( \mathcal{A}\in{\Sigma_{\sigma(N)} \)

ME2. \( P(\emptyset)=\Tetha \) y \( P(\sigma(N))=I \)

ME3. \( P(\mathcal{A}\cap{\mathcal{B}})=P(\mathcal{A})P(\mathcal{B}) \) para cualesquiera \( \mathcal{A},\mathcal{B}\in{\Sigma_{\sigma(N)} \)

ME4. Si \( \left\{{\mathcal{A}_n}\right\} \) es una sucesión de conjuntos \( \Sigma_{\sigma(N)}- \)medibles disjuntos dos a dos, entonces

\( P\left (\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{A}_n } \right )=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{P\left (\mathcal{A}_n\right )} \) 

en donde la suma anterior se entiende como convergencia de la sucesión de operadores \( \left \{\displaystyle\sum_{j=1}^n{P(\mathcal{A}_n)}\right \} \) en la topología fuerte de \( \mathbb{B}(H) \) 

Por la propiedad ME4, esta función es una medida vectorial, y cualquier medida vectorial con estas propiedades se llama Medida Espectral

\( \bullet \)

Antes de pasar a ejemplos, conviene hacer un comentario: Notemos que en la definición no se usa el hecho de que \( N \) sea normal, de modo que podemos sustituir su espectro con cualquier conjunto \( X \) (de hecho, ni siquiera es necesario que sea subconjunto de los complejos) y trabajar con cualquier \( \sigma \)-álgebra de conjuntos de \( X \), tal como se hace en SUBNORMAL OPERATOR, John B. Conway.   En este sentido, conviene establecer que al hacer uso de la frase "\( P \) es una medida espectral", debemos añadir "para la tripleta \( (X,\mathfrak{X},H) \)" donde \( X \) es el conjunto subyacente, \( \mathfrak{X} \) la \( \sigma \)-álgebra de conjuntos de \( X \) donde se va a trabajar, y \( H \) el espacio de Hilbert en cuestión.

Como siempre, aprovechando las facilidades del foro, dejamos abierto este post por si debemos aumentar algo

[Héctor Manuel]

Ejemplos de medidas espectrales

Mencionamos tres ejemplos de medidas espectrales.  A primera impresión son pocos, pero ello se debe a que la dificultad de establecer medidas espectrales es un problema debido al hecho de que la imagen de la medida espectral es una proyección ortogonal.  Como se ha dicho, el teorema espectral para operadores normales nos dará una infinidad de ejemplos de medidas espectrales al menos en teoría, ya que en tal caso, la dificultad será calcular los espectros de los operadores en cuestión. 

Pues bien, presentamos los prometidos ejemplos:

(a)  Sea \( X\subset{\mathbb{C}} \) compacto, y \( \Sigma_X \) los conjuntos de Borel de \( X \).  Tomemos \( \mu \) una medida en \( \Sigma_X \), y \( H=L^2(\mu) \).  Para \( \mathcal{A}\in{\Sigma_X} \), sea \( P(\mathcal{A})\in{\mathbb{B}(H)} \) dada por \( P(\mathcal(A))f=f\chi_\mathacal{A} \).  \( P \) es una medida espectral.

(b)  Si \( P \) es una medida espectral para \( (X,\mathfrak{X},H) \), la inflación,\( P^{(n)} \), de \( P \), dada por \( P^{(n)}(\mathcal{A})=P(\mathcal{A})^{(n)} \), es una medida espectral para \( (X,\mathfrak{X},H^n) \).

(c)  Sea \( X \) cualquier conjunto, \( \mathfrak{X} \) todos los subconjuntos de \( X \), \( H \) cualquier Hilbert, y dejemos fija una sucesión \( \left\{{x_n}\right\} \) en \( X \).  Si \( e_1,e_2,... \) es una base ortonormal de \( H \), definamos \( P(\mathcal{A})=\mbox{ la proyeccion sobre }\displaystyle\lor\left\{{e_n:x_n\in{\mathcal{A}}}\right\}  \).  \( P \) es una medida espectral para \( (X,\mathfrak{X},H) \)

Como saben, éste es un reporte de investigación.  Debo entregar un informe detallado de él, así que ¿convendrá escrbir las pruebas de que éstas son medidas espectrales?