Hola
Quiero probar que para cada \( x\in{}X \) , \( Y = \left\lbrace{x}\right\rbrace \) , el conjunto unitario \( \left\lbrace{x}\right\rbrace\in{}\tau \)
Si.
\( \tau_Y = Y \cap{} U \) siendo U un abierto de \( \tau \) , por lo que entonces \( \left\lbrace{x}\right\rbrace\in{}\tau \)
Aquí ya no se lo que haces. En realidad:
\( \tau_Y=\{Y\cap U|U\in \tau\} \)
que no es lo mismo que lo has escrito. Ahora si \( Y=\{x\} \) la topología \( \tau_Y \) trivialmente es la discreta. Pero eso se cumple siempre y no aporta nada al ejercicio. De ahí no se deduce que \( \left\lbrace{x}\right\rbrace\in{}\tau \).
Como esto sucede para cada subconjunto unitario de X, y \( (X,\tau) \) es un espacio topológico, se tiene que las uniones arbitrarias también están en \( (X,\tau) \). Acá tengo dudas de como cerrar la demostración de que la topología es la discreta.
Aquí sinceramente no sé que quieres hacer tampoco. Si realmente hubieras probado que \( \{x\}\in \tau \) habrías terminado. Doy por supuesto que sabes el resultado que dice que si todos los puntos son abiertos entonces la topología es la discreta: es inmediato teniendo en cuenta que la unión de abiertos es abierta y que cualquier conjunto es unión de puntos.
Me llama la atención que en tu intento de demostración no usas para nada la hipótesis del enunciado.
Mi sugerencia era esta:
Sugerencia para empezar. Tienes que probar que todo subconjunto de \( X \) formado por un sólo punto es abierto. Dado \( x\in X \) toma \( y\in X \), con \( y\neq x \) y entonces \( Y=X\setminus \{y\} \) tiene la topología discreta. Entonces \( \{x\} \) es abierto en \( Y \) con la topología restringida.
Continuando tenemos que \( \{x\} \) es un abierto de \( Y=X\setminus \{y\} \), por tanto \( \{x\}=U\cap Y \), donde \( U\in \tau \).
Ahora dado que \( Y=X\setminus \{y\} \) y \( U\cap Y \) es un sólo punto sólo hay dos opciones:
1) O bien \( U=\{x\} \) con lo cual tenemos lo que queríamos: \( \{x\}=U\in \tau \).
2) O bien \( U=\{x\}\cup\{y\} \). En ese caso \( U \) es un subconjunto propio de \( X \) (ya que \( X \) tiene más de dos puntos). Por hipótesis \( U \) tiene la topología discreta y por tanto \( \{x\} \) es abierto en \( U \). Pero como \( U \) también es abierto en \( X \) se deduce que \( \{x\} \) abierto en \( X \) que es lo que queríamos.
Saludos.
