[cristianoceli]

Hola no me sale esta demostración

Sea \( p \in {\mathbb{R}}^n, n \geq{1} \) . \( Probar \; que \; X= {\mathbb{R}}^n - \{P \} \) es conexo si y solo si \( n \neq 1 \)

Tengo entendido que no existe una partición ya que es conexo
De antemano gracias

[geómetracat]

Si \[ n=1 \], \[ (-\infty, P) \] y \[ (P,\infty) \] forman una partición de \[ X \] por conjuntos abiertos, luego \[ X \] no es conexo.

Para \[ n>1 \] puedes probar que es conexo por caminos. Dados \[ x,y \in X \], hay que ver que se puedeb unir por un camino. Si \[ P \] no está en el segmento de recta que une \[ x \] con \[ y \] ya estamos. En caso contrario toma \[ z \] un punto no colineal con \[ x,y \] y considera el camino formado por el segmento de recta que une \[ x \] con \[ z \] seguido del que une \[ z \] con \[ y \].

[cristianoceli]

Si \[ n=1 \], \[ (-\infty, P) \] y \[ (P,\infty) \] forman una partición de \[ X \] por conjuntos abiertos, luego \[ X \] no es conexo.

Para \[ n>1 \] puedes probar que es conexo por caminos. Dados \[ x,y \in X \], hay que ver que se puedeb unir por un camino. Si \[ P \] no está en el segmento de recta que une \[ x \] con \[ y \] ya estamos. En caso contrario toma \[ z \] un punto no colineal con \[ x,y \] y considera el camino formado por el segmento de recta que une \[ x \] con \[ z \] seguido del que une \[ z \] con \[ y \].

Vale entiendo muy claro.

Saludos