(...) Si añades el punto \( (4,k) \) en el cuadro te puede dar, a lo sumo, dos valores positivos en la última columna, entonces \( f[0,1,3,4]\neq 0 \), etc...
1) No entiendo por qué pueden dar, a lo sumo, dos valores y encima positivos.
2) No entiendo qué significa \( f[0,1,3,4]\neq0 \) (me lo enseñaron así de memoria la expresión \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] \)...).
Perdón, quise decir que, a diferencia de cuando \( k=21 \) podrían darte, como máximo, dos valores distintos de cero, los cuales generarían diferencias divididas de mayor nivel a las que tienes en tu tabla, dando lugar a polinomios de grado mayor a dos.
Deberías escribir las diferencias divididas \( f[0,1,3,4] \) y \( f[1,3,4,5] \) en función de \( k \) y ver qué valores de \( k \) hacen que \( f[0,1,3,4,5]\neq 0 \), y entonces ver qué valores toma entonces \( f[0,1,3,4,5,6] \).
No entiendo.
Creo que hice algo parecido pero mi profesor lo puso como mal.
Lo que yo hice al principio fue interpolar con todos los puntos (\( 6 \) en total), y usar la fórmula progresiva para puntos no necesariamente equidistantes. Me terminó dando una columna de más que sería \( f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3},x_{i+4}] \) donde por la fórmula me queda una única entrada que sería: \( \displaystyle-\frac{17}{12}k+\frac{67}{4} \). Ahí ya el profesor lo puso como mal.
Saludos
No podría decirte si lo que hiciste está bien o porqué tu profesor lo puso como mal. Como te dije yo calcularía las diferencias divididas con el punto \( (4,k) \), y haría lo que ya escribí en mi anterior mensaje.
La fórmula de las diferencias divididas es lo que has utilizado para crear la tabla, que se definen recursivamente como
\( \displaystyle {f[x_{\nu }]:=f(x_{{\nu }}),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}\\
f[x_{\nu },\ldots ,x_{{\nu +j}}]:={\frac {f[x_{{\nu +1}},\ldots ,x_{{\nu +j}}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{{\nu +j-1}}]}{x_{{\nu +j}}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}} \)
para puntos dados \( \displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{{k}},f(x_{{k}})) \). A partir de las diferencias divididas se interpola el polinomio de grado mínimo que pasa por \( m \) puntos de esta manera
\( \displaystyle p(x):=\sum_{k=1}^m f[x_1,\ldots,x_k]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j) \)
Luego en un momento con más tiempo quizá resuelva el ejercicio, así vemos lo que pasa y queda todo claro.
ACTUALIZACIÓN: éstas son las diferencias divididas
\( \displaystyle{
f[0]=1,\,f[0,1]=\frac{7}{2},\, f[0,1,3]=\frac{1}{2},\, f[0,1,3,4]=\frac{k-21}{12},\\ f[0,1,3,4,5]=\frac{7}{4}-\frac{k}{12},\,f[0,1,3,4,5,6]=\frac{k-21}{24}
} \)
Así se puede ver con claridad lo que pasa al ir variando los valores de \( k \). Podemos ver que no es posible que haya un polinomio de grado cuatro, ya que cuando \( k\neq 21 \) entonces \( f[0,1,3,4,5,6]\neq 0 \) también, por lo que el polinomio sería de grado cinco.
