Hola.
Estoy intentando probar lo siguiente:
Sea \( E\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*}. \) Supóngase que \( \overline{\lambda}(E\triangle (E+x))=0 \) para cada \( x \) en un conjunto denso de \( \mathbb{R}. \) Entonces \( \overline{\lambda}(E)=0 \) o \( \overline{\lambda}(\mathbb{R}-E)=0. \)
Aquí \( (\mathbb{R},\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}) \) es el espacio de Lebesgue sobre los números reales.
Durante la prueba del teorema de Steinhaus, se puede mostrar que el mapeo \( x\mapsto\overline{\lambda}(A\cap(B+x) \) es continuo cuando \( A,B\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*} \) son tales que \( \overline{\lambda}(A)<\infty \) y \( \overline{\lambda}(B)<\infty. \) En virtud de esto se tiene que para cada \( x\in\mathcal{D}, \) donde \( \mathcal{D} \) es el denso dado en la hipòtesis, existe una sucesión \( (x_n)\in\mathcal{D} \) que converge a \( x \) y que \( \overline{\lambda}(E)=\overline{\lambda}(E\cap(E+x)) \) para toda \( x\in\mathbb{R}. \) Algo similar resulta para \( \mathbb{R}-E. \)
Ahora, si \( \overline{\lambda}(E)>0 \) entonces \( \overline{\lambda}(E\cap(E+x))>0. \) Aquí es donde no logro encontrar una contradicción o cómo concluir algo útil; el teorema de Steinhaus asegura que existe \( \delta>0 \) tal que si \( |x|<\delta \) entonces \( \overline{\lambda}(E\cap(E+x))>0 \) y \( (-\delta,\delta)\subset E-E \) pero no veo cómo es posible utilizar esto para probar lo deseado.
De igual no logro ver cómo proceder para el caso en el que \( \overline{\lambda}(E)=+\infty. \)
Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.
