[Paralipómena]

Hola.

Estaba leyendo sobre medida exterior y casi medida y me he encontrado con el siguiente comentario en el texto.

\( \mu \) es \( \sigma- \)finita si y sólo si \( \mu^* \) es \( \sigma- \)finita.

Aquí \( \mu:\mathcal{A}\rightarrow\overline{\mathbb{R}} \) es una casi medida, esto es, \( \mu \) satisface las mismas condiciones que una medida pero esta definida sobre un álgebra de subconjuntos de un conjunto \( X. \)

\( \mu^*:\mathcal{P}(X)\rightarrow\overline{\mathbb{R}} \) es la medida exterior asociada a \( \mu, \) esto es \( \mu^*(E)=\inf\left\{{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\mu(A_n)}}:E\subset{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, A_n\in\mathcal{A} ,n\in\mathbb{N}}\right\} \)

Entonces, si \( \mu \) es \( \sigma- \)finita existe una sucesión \( (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset{\mathcal{A}}, \) \( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X \) tal que \( \mu(A_n) \) es finito. Como \( \mu^*(A)=\mu(A) \) para toda \( A\in\mathcal{A} \) se tiene que \( \mu^* \) es \( \sigma- \)finita.

La otra implicación no logro probarla. Me parece un tanto extraño poder asegurar esto, ya que si \( \mu^* \) es \( \sigma- \)finita entonces  existe una sucesión \( (E_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset{\mathcal{P}(X)}, \) \( \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=X \) tal que \( \mu^*(E_n) \) es finito, es decir, la sucesión \( (E_n)_{n\in\mathbb{N}} \) no es necesariamente una sucesión en el álgebra \( \mathcal{A}. \)

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos.

[Masacroso]

Luego con más tiempo contesto (edito), pero fíjate que los \( E_n \) definen una sucesión de \( A_n \) que son finitas y cubren a \( X \).

EDICIÓN: dado un \( \epsilon>0 \) arbitrariamente pequeño existe un \( \delta\in[0,\epsilon) \), de la definición de medida exterior, existe una sucesión \( (A_k) \) en \( \mathcal A \) tal que \( \mu^*(E_n)=\sum_{k=0}^\infty \mu(A_k)-{\color{red}{\delta}} \), por tanto \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)<\infty \), de lo que deducimos que existe un \( N\in\Bbb N \) tal que \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k)+{\color{red}{\delta}} \).

Finalmente tendríamos la desigualdad \( \mu^*(E_n)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k) \), pero aquí tenemos el problema de demostrar que los \( A_n:=\bigcup_{k=0}^N A_k \) cubren \( X \)... Sí, al final resulta que no era tan simple, ahora mismo no se me ocurre nada. Si \( \mu \) fuese una medida podríamos tomar \( A_n:=\bigcup_{k=0}^\infty A_k \), pero no es el caso.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

Luego con más tiempo contesto (edito), pero fíjate que los \( E_n \) definen una sucesión de \( A_n \) que son finitas y cubren a \( X \).

EDICIÓN: dado un \( \epsilon>0 \) arbitrariamente pequeño, de la definición de medida exterior, existe una sucesión \( (A_k) \) en \( \mathcal A \) tal que \( \mu^*(E_n)=\sum_{k=0}^\infty \mu(A_k)-\epsilon \), por tanto \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)<\infty \), de lo que deducimos que existe un \( N\in\Bbb N \) tal que \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k)+\epsilon \).

Finalmente tendríamos la desigualdad \( \mu^*(E_n)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k) \), pero aquí tenemos el problema de demostrar que los \( A_n:=\bigcup_{k=0}^N A_k \) cubren \( X \)... Sí, al final resulta que no era tan simple, ahora mismo no se me ocurre nada. Si \( \mu \) fuese una medida podríamos tomar \( A_n:=\bigcup_{k=0}^\infty A_k \), pero no es el caso.

Pero para cada \( E_n \) hay una sucesión \( \{A_k^n\}_{k\in\mathbb{N}} \) que lo recubre. La idea es coger todos esos conjuntos:

\( \{A_k^n|k,n\in \mathbb{N}\} \)

que es una familia numerable de conjuntos de \( \mathcal{A} \) que cubre \( E \).

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Luego con más tiempo contesto (edito), pero fíjate que los \( E_n \) definen una sucesión de \( A_n \) que son finitas y cubren a \( X \).

EDICIÓN: dado un \( \epsilon>0 \) arbitrariamente pequeño, de la definición de medida exterior, existe una sucesión \( (A_k) \) en \( \mathcal A \) tal que \( \mu^*(E_n)=\sum_{k=0}^\infty \mu(A_k)-\epsilon \), por tanto \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)<\infty \), de lo que deducimos que existe un \( N\in\Bbb N \) tal que \( \sum_{k=0}^\infty\mu(A_k)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k)+\epsilon \).

Finalmente tendríamos la desigualdad \( \mu^*(E_n)\le\sum_{k=0}^N\mu(A_k) \), pero aquí tenemos el problema de demostrar que los \( A_n:=\bigcup_{k=0}^N A_k \) cubren \( X \)... Sí, al final resulta que no era tan simple, ahora mismo no se me ocurre nada. Si \( \mu \) fuese una medida podríamos tomar \( A_n:=\bigcup_{k=0}^\infty A_k \), pero no es el caso.

Pero para cada \( E_n \) hay una sucesión \( \{A_k^n\}_{k\in\mathbb{N}} \) que lo recubre. La idea es coger todos esos conjuntos:

\( \{A_k^n|k,n\in \mathbb{N}\} \)

que es una familia numerable de conjuntos de \( \mathcal{A} \) que cubre \( E \).

Saludos.

¡Ah!, claro, jaja, era más simple de lo que yo creía.

[Paralipómena]

Muchas gracias a ambos. Con lo que han dicho ya todo esta más que claro.

Un saludo.