[lindtaylor]

Hola. Me he estancado en un paso en un ejercicio.
Sea \( a\in\mathbb{R} \). Sea \( \tau_a=\left\{A\subset P(\mathbb{R}): A+a\in \mathcal{B}({\mathbb{R})}\right\} \) donde \( A+a\subset \mathbb{R}. \)
Ya he probado que \( \tau_a \) es sigma algebra. Pero salvo un paso.

¿Cómo pruebo que \( A+a\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\leftrightarrow A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})? \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Me he estancado en un paso en un ejercicio.
Sea \( a\in\mathbb{R} \). Sea \( \tau_a=\left\{A\subset P(\mathbb{R}): A+a\in \mathcal{B}({\mathbb{R})}\right\} \) donde \( A+a\subset \mathbb{R}. \)
Ya he probado que \( \tau_a \) es sigma algebra. Pero salvo un paso.

¿Cómo pruebo que \( A+a\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\leftrightarrow A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})? \)

Simplemente ten en cuenta que la aplicación:

\( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\qquad f(x)=a+x \)

es un homeomorfismo; por tanto lleva abiertos y cerrados en abiertos y cerrados y vicecersa.

Saludos.

[Masacroso]

Otra forma de verlo, que es esencialmente la misma que la descrita por Luis pero desde un punto de vista ligeramente distinto, es que la colección de abiertos básicos (es decir, los intervalos abiertos), al sumarles \( a \) no varía (es decir \( (x+a,y+a) \) sigue siendo un intervalo abierto, lo mismo que \( (x-a,y-a) \)) y por tanto la \( \sigma \)-álgebra generada por esas colecciones de conjuntos son la misma, que es la \( \sigma \)-álgebra de Borel.

Sin embargo yo estoy suponiendo aquí a \( \Bbb R \) con la topología usual. para una topología arbitraria la afirmación anterior no se sostiene (por ejemplo para la topología \( \{\emptyset,\{1\},\Bbb R\} \)).