Gracias Luis.

Ha sido de mucha ayuda.

Un saludo.

Hola Luis.

¡Muchas gracias!

En efecto, lo he copiado mal; como bien dices es \( E(Y)-E(X). \) En este momento lo corrijo.

Un saludo.

Hola.

Me parece que el cálculo de la f.g.m. se reduce drásticamente utilizando el teorema de Fubini; es posible aplicarlo pues la función a integrar es no negativa. De hecho, al ser continua se garantiza su integrabilidad.

Cambiando el orden de integración por dicho teorema se obtiene que


donde la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tx} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2 \pi}} e^{-(x-y)^{2}/2} dx \) corresponde a la f.g.m. de una variable aleatoria normal de media \( y \) y varianza \( 1.
 \) Tal expresión es conocida y quedará en términos del parámetro \( t \) y la variable \( y. \) Luego



donde esta última expresión puede ser calculada fácilmente completando la densidad de una variable aleatoria exponencial de parámetro \( 1-(s+t) \) para \( s+t<1 \).

Por tanto

 
Saludos.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( E\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*}. \) Supóngase que \( \overline{\lambda}(E\triangle (E+x))=0 \) para cada \( x \) en un conjunto denso de \( \mathbb{R}. \) Entonces \( \overline{\lambda}(E)=0 \) o \( \overline{\lambda}(\mathbb{R}-E)=0. \)

Aquí \( (\mathbb{R},\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}) \) es el espacio de Lebesgue sobre los números reales.

Durante la prueba del teorema de Steinhaus, se puede mostrar que el mapeo \( x\mapsto\overline{\lambda}(A\cap(B+x) \) es continuo cuando \( A,B\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*} \) son tales que \( \overline{\lambda}(A)<\infty \) y  \( \overline{\lambda}(B)<\infty. \) En virtud de esto se tiene que para cada \( x\in\mathcal{D}, \) donde \( \mathcal{D} \) es el denso dado en la hipòtesis, existe una sucesión \( (x_n)\in\mathcal{D} \) que converge a \( x \) y que \( \overline{\lambda}(E)=\overline{\lambda}(E\cap(E+x)) \) para toda \( x\in\mathbb{R}. \) Algo similar resulta para \( \mathbb{R}-E. \)

Ahora, si \( \overline{\lambda}(E)>0 \) entonces \( \overline{\lambda}(E\cap(E+x))>0. \) Aquí es donde no logro encontrar una contradicción o cómo concluir algo útil; el teorema de Steinhaus asegura que existe \( \delta>0 \) tal que si \( |x|<\delta \) entonces \( \overline{\lambda}(E\cap(E+x))>0 \) y \( (-\delta,\delta)\subset E-E \)  pero no veo cómo es posible utilizar esto para probar lo deseado.

De igual no logro ver cómo proceder para el caso en el que \( \overline{\lambda}(E)=+\infty. \)

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy intentando probar el teorema de Steinhaus:

Sean \( A,B\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*} \) dados con \( \overline{\lambda}(A)<\infty \) y \( \overline{\lambda}(B)<\infty \). Defina \( \overline{\lambda}_{A,B}(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) como sigue: \( \overline{\lambda}_{A,B}(x)=\overline{\lambda}(A\cap(B+x)) \) en donde \( B+x=\{b+x:b\in B\}. \) Pruebe que \( \overline{\lambda}_{A,B} \) es continua y concluya que si \( \overline{\lambda}(A)>0 \) entonces existe \( \delta>0 \) tal que \( \overline{\lambda}(A\cap(A+x))>0 \) si \( |x|<\delta \) y que \( A-A=\{a-a':a,a'\in A\} \) contiene al intervalo abierto \( (-\delta,\delta). \)

Aquí \( (\mathbb{R},\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}) \) es el espacio medible de Lebesgue sobre los números reales y \( \mathcal{A} \) es el álgebra de uniones disjuntas finitas de elementos de la forma \( (-\infty,a],(b.c],(d,\infty). \)

Si se prueba que \( \overline{\lambda}_{A,B} \) es continua entonces se obtiene naturalmente la conclusión del teorema, por tanto la clave de la demostración radica en la prueba de este hecho. He logrado probar que tal función es continua en el caso en el que \( A=(a,b] \) y \( B=(c,d)], \) pero tengo problemas al intentar probar la continuidad para uniones numerables disjuntas de intervalos de la forma anterior y con el caso general; consideraba usar \( \mathcal{A}- \) cubiertas de \( A \) y \( B \) y utilizar la definición de medida exterior pero no veo algo concreto.

También intenté usando funciones indicadoras pero no logro algo en concreto, esto es:

pero no logro obtener un término (quiazás sea una función indicadora también) para \( 1_{\{B\}}(y-x)-1_{\{B\}}(y-x_0); \)  ni una cota para estas expresiones que involucre al término \( |x-x_0| \) el cual jugará el papel de la distancia menor que un \( \delta. \)

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

No está bien del todo. Creo que querías poner:

\( A_n=\displaystyle\bigcup_{a_1,...,a_n\in\{0,1,...,9\}-\{7\}} [0.a_1a_2...a_n,0.a_1a_2...(a_n+1)) \)

y entonces la medida de cada \( A_n \) es \( \dfrac{9^n}{10^n} \).

Tienes razón. Gracias por la corrección.

Revisa primero el enunciado con detalle. ¿Es "existe \( i<j \)" ó "existe \( j<i \)"?

Tal como está todos los números con infinitos doses en la expansión decimal están en el conjunto; pero ese conjunto tiene medida uno.

Saludos.

Quizá deba de ser existe \( j<i \); el ejercicio tiene errores de escritura y tipográficos. Literalmente esa parte esta escrita así:
\( B=\{x\in[0,1):\text{si}\space x_i=3\space\text{entonces existe}\space i<j\space{tal que}\space x_i=2\}. \)

Saludos y gracias por la ayuda.

Tienes razón. Es sobre el intervalo \( [0,1]. \) Ahora mismo lo corrijo.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( (X,\mathcal{S},\mu) \) un espacio de medida. Para \( f_{i}\in L_{1}(\mu) (i=1,2) \) fijas. defina dos medidas con signo finitas como sigue:


Pruebe:

\( \mu(\{x\in X: f_1(x)=0\}\triangle\{x\in X: f_2(x)=0\})=0, \) entonces \( \rho_1\equiv{\rho_2}. \)

Como sugerencia se da que se pruebe que \( |\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i| d\mu\space i=1,2 \)

La primer duda que me surge es la razón de por qué resulta suficiente con probar lo sugerido. Mi feeling es que se debe de probar la proposición para \( |\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i|  \) y, una vez hecho esto, la proposición debería desprenderse sin tantos detalles. Sin embargo, no logro probar la proposición suponiendo que tal igualdad se satisface.

Segundo: Para probar que \( |\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i|  \) estoy haciendo lo siguiente:
Sea \( A\in\mathcal{S} \) y considérese una partición numerable medible \( \{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} \) de \( A. \) Se tiene entonces que


y como la variación total de \( \rho \) es el supremo de las sumas infinitas de la forma \( \sum_{n}|\mu(A_n)| \) tales que \( \{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} \) es partición medible de \( A, \) se sigue que \( |\rho_{i}|(A)\leq\int_{A}|f_i|d\mu. \)

Para mostrar la otra desigualdad tengo algunos problemas. Me gustaría probar la existencia de una sucesión de funciones medibles \( \{g_n\} \) para la cual se satisface \( |g_n(x)|=1 \) y \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{g_n(x)f(x)}=|f(x)| \) para cada \( x\in X. \) Si tal sucesión existiera se tendría fácilmente que \( |\int_{A}g_nf d\mu|\leq |\rho|(A) \) y por convergencia dominada la otra desigualdad.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Para cualquier entero positivo \( n, \) existe \( A\subset{\mathbb{R}} \) tal que \( A,A^{1},A^{2},...,A^{n-1} \) son no vacíos y \( A^{n}=\emptyset. \) ( El resultado se puede extender a ordinales numerables. Sea \( A^{\alpha}=(A^{\alpha-1})' \) si \( \alpha \) es un ordinal no límite, \( A^{\alpha}=(\bigcap_{\beta<\alpha}A^{\beta})' \) si \( \alpha \) es un ordinal límite, y mostrar que para cualquier \( \alpha<\omega_{1}, \) un conjunto \( A \) puede ser encontrado tal que \( A^{\alpha}=\emptyset \) y \( A^{\beta}\neq{\emptyset} \) para \( \beta<\alpha \)).

Aquí \( A^{1}=(A)' \) denota al conjunto de puntos de acumulación del conjunto \( A. \) Por tanto \( A^{2}=(A^{1})^{'} \) y así sucesivamente.
\( \omega_{1} \) denota el primer ordinal no numerable.

Estoy atorado en esta demostración. Para el caso \( n=1 \) basta considerar cualquier sucesión convergente no constante, pero para los demás casos no logro construir tal conjunto. Supongo que la idea es construir un conjunto "suficientemente denso" que cumpla con el objetivo, pero a lo más logro construir conjuntos con una cantidad no numerable de puntos de acumulación ( intervalos) y conjuntos numerables que al calcular nuevamente sus puntos de acumulación dan como resultado el vacío.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola

 Supongo que el ejercicio es el 8 de aquí (General Topology, S. Willard):



 Me resulta algo confuso el listado de problemas.
 
 En el 2 pide probar que todo \( {\cal P} \)-filtro está contenido en un \( {\cal P} \)-ultrafiltro.

 En el 6, ¿qué todo primo es ultrafiltro?.

 En el 8, lo que nos ocupa, pero parece redundante con 2.

 Creo que me estoy perdiendo algo.

Saludos.

Así es LuisFuentes. Gracias por subir el listado de ejercicios. Estoy resolviendo los problemas del Willard y me ha parecido extraño que se establezcan esas hipótesis. Justamente me parece redundante ese ejercicio con respecto al segundo; supongo que las establece para que en el caso de que el espacio sea normal se obtenga como corolario lo que dice al final el ejercicio.