Hola.

Estoy tratando de mostrar que todo espacio topológico es la imagen abierta continua de un espacio Hausdorff. Para mostrar esto estoy intentando probar lo siguiente pero no logro construir dicho espacio  :

Dado cualquier conjunto \( X, \) existe un espacio Hausdorff \( Y \) el cual es unión de una colección disjunta \( \{Y_{x}: x\in X\} \) de subconjuntos, los cuales son densos en \( Y. \)

Lo anterior es suficiente para mostrar la proposición, pues basta con considerar el espacio anterior, la colección \( Z=\{(x,y)\in X\times{Y}: y\in Y_{x}\} \) y la restricción a \( Z \) del mapeo proyección de \( X\times{Y} \) a \( X. \)

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( E\subset [0,1]\times [0,1] \) medible. Supóngase que \( \lambda(E^y)\geq 1/2 \) para todo \( y\in[0,1]. \) Sea \( F=\{x\in[0,1]:\lambda(E_x)\geq 1/4\}. \) Pruebe:

i) \( F\in\mathcal{A}_{[0,1]}^{*} \)

ii) \( \lambda(F)\geq 1/3. \)

Aquí \( ([0,1],\mathcal{A}_{[0,1]}^{*},\lambda) \) es el espacio de Lebesgue sobre el intervalo \( [0,1] \) y \( E_x=\{y\in\mathbb{R}:(x,y)\in E\} \) denota la \( x- \)sección de \( E \) mientras que \( E^y=\{x\in\mathbb{R}:(x,y)\in E\} \) denota la \( y- \)sección de \( E, \) siendo \( x,y \) fijas en cada caso.

Agradecería cualquier tipo de ayuda en ambos incisos.

Hola.

Estoy intentando probar el teorema de Steinhaus:

Sean \( A,B\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*} \) dados con \( \overline{\lambda}(A)<\infty \) y \( \overline{\lambda}(B)<\infty \). Defina \( \overline{\lambda}_{A,B}(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) como sigue: \( \overline{\lambda}_{A,B}(x)=\overline{\lambda}(A\cap(B+x)) \) en donde \( B+x=\{b+x:b\in B\}. \) Pruebe que \( \overline{\lambda}_{A,B} \) es continua y concluya que si \( \overline{\lambda}(A)>0 \) entonces existe \( \delta>0 \) tal que \( \overline{\lambda}(A\cap(A+x))>0 \) si \( |x|<\delta \) y que \( A-A=\{a-a':a,a'\in A\} \) contiene al intervalo abierto \( (-\delta,\delta). \)

Aquí \( (\mathbb{R},\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}) \) es el espacio medible de Lebesgue sobre los números reales y \( \mathcal{A} \) es el álgebra de uniones disjuntas finitas de elementos de la forma \( (-\infty,a],(b.c],(d,\infty). \)

Si se prueba que \( \overline{\lambda}_{A,B} \) es continua entonces se obtiene naturalmente la conclusión del teorema, por tanto la clave de la demostración radica en la prueba de este hecho. He logrado probar que tal función es continua en el caso en el que \( A=(a,b] \) y \( B=(c,d)], \) pero tengo problemas al intentar probar la continuidad para uniones numerables disjuntas de intervalos de la forma anterior y con el caso general; consideraba usar \( \mathcal{A}- \) cubiertas de \( A \) y \( B \) y utilizar la definición de medida exterior pero no veo algo concreto.

También intenté usando funciones indicadoras pero no logro algo en concreto, esto es:

pero no logro obtener un término (quiazás sea una función indicadora también) para \( 1_{\{B\}}(y-x)-1_{\{B\}}(y-x_0); \)  ni una cota para estas expresiones que involucre al término \( |x-x_0| \) el cual jugará el papel de la distancia menor que un \( \delta. \)

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( \Phi:[0,1]\rightarrow [0,1] \) la función escalera de Cantor, esto es: para cada \( x\in[0,1] \) sea \( x=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\displaystyle\frac{\alpha_i}{3^i} \) con \( \alpha_i=0,1,2, \) esto es su expansión ternaria. Sea \( N=N(x)\mathbb{N} \) el primer índice para el que \( \alpha_N=1. \) Si no hay tal \( N, \) sea \( N=+\infty. \) Se define a la función escalera de Cantor como \( \Phi(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{N-1}\displaystyle\frac{\beta_i}{2^i}+\displaystyle\frac{1}{2^N} con \beta_i=\displaystyle\frac{\alpha_i}{2}. \)

i) Pruebe que \( \Phi(\displaystyle\frac{1}{3}x)=\displaystyle\frac{1}{2}\Phi(x)) \) y \( \Phi(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}x)=\Phi(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\Phi(x)), \) \( x\in[0,1]. \)

ii) Extienda \( \Phi \) a todo \( \mathbb{R} \) poniendo \( \Phi(x)=0 \) si \( x<0 \) y \( \Phi(x)=1 \) si  \( x>1 \) y pruebe que si \( \overline{\lambda_{\Phi}} \) es la medida de Lebesgue-Stieltjes generada por \( \Phi \) entonces


Lo que se puede observar para el inciso ii) es que, si \( p(a) \) denota tal integral \( \overline{\lambda_{\Phi}}((\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3}))=0 \) y entonces se considera la integral sobre los intervalos restantes.

Se sugiere para probar tal integral mostrar que \( p(a)=e^{a/3}\cosh(a/3)p(a/3) \) usando el inciso i).Luego de manera inductiva obtener
una fórmula para  \( p(a) \) y mostrar que \( p(a)\rightarrow 1 \) cuando \( a\rightarrow 0. \)

Me parece intuitivo utilizar las fórmulas del inciso i) para poder abrir la integral en otras dos definidas sobre los dominios pertinentes, pero me surgen varias dudas pues no logro "calcular" tal integral con respecto a esa medida.

Cualquier clase de ayuda para resolver estos problemas es agradecida desde ya.
 

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Para cualquier entero positivo \( n, \) existe \( A\subset{\mathbb{R}} \) tal que \( A,A^{1},A^{2},...,A^{n-1} \) son no vacíos y \( A^{n}=\emptyset. \) ( El resultado se puede extender a ordinales numerables. Sea \( A^{\alpha}=(A^{\alpha-1})' \) si \( \alpha \) es un ordinal no límite, \( A^{\alpha}=(\bigcap_{\beta<\alpha}A^{\beta})' \) si \( \alpha \) es un ordinal límite, y mostrar que para cualquier \( \alpha<\omega_{1}, \) un conjunto \( A \) puede ser encontrado tal que \( A^{\alpha}=\emptyset \) y \( A^{\beta}\neq{\emptyset} \) para \( \beta<\alpha \)).

Aquí \( A^{1}=(A)' \) denota al conjunto de puntos de acumulación del conjunto \( A. \) Por tanto \( A^{2}=(A^{1})^{'} \) y así sucesivamente.
\( \omega_{1} \) denota el primer ordinal no numerable.

Estoy atorado en esta demostración. Para el caso \( n=1 \) basta considerar cualquier sucesión convergente no constante, pero para los demás casos no logro construir tal conjunto. Supongo que la idea es construir un conjunto "suficientemente denso" que cumpla con el objetivo, pero a lo más logro construir conjuntos con una cantidad no numerable de puntos de acumulación ( intervalos) y conjuntos numerables que al calcular nuevamente sus puntos de acumulación dan como resultado el vacío.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sean \( f\in L_{p}(\mathbb{R},A_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}), \) \( p\in[1,\infty), \)\( \epsilon>0. \) Aquí \( A_{\mathbb(R)}^{*} \) denota la sigma-álgebra de Lebesgue y \( \overline{\lambda} \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}. \) Entonces

i) existe \( A=A(\epsilon)>0 \)  y \( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) continua con \( g(x)=0 \) para \( x\not\in{[-A,A]} \) tal que \( ||f-g||_{p}<\epsilon. \)

ii) existe \( g \) escalonada (o lineal a tramos o bien diferenciable) tal que  \( ||f-g||_{p}<\epsilon. \)

Para la parte ii) he podido mostrar cuando g es lineal a tramos, pues las funciones simples son densas en \( L_{p} \) sin embargo, para el caso i) y en el caso ii) para \( g \) diferenciable tengo problemas.

Para la parte i) estaba considerando utilizar el teorema de Luzin para exhibir un intervalo compacto en el cual la restricción de \( f \) a ese cerrado sea continua y utilizar el teorema de extensión de Tietze para obtener tal función continua, sin embrago no logro obtener la propiedad de que sea cero fuera del compacto.

Estaba pensando que la prueba podía ser similar a mostrar que las funciones continuas son densas en \( Lp, \) la idea de esto es la siguiente: como \( f\in L_{p} \) entonces existe \( N\in\mathbb{N} \) tal que \( ||f-f1_{N\leq{f}\leq{n}}||_{p}\leq{\epsilon}/2. \) Sea \( f_{N}=f1_{N\leq{f}\leq{N}} \) Usando el teorema de Lusin se obtiene un cerrado \( F \) el cual hace a \( f_{N}|_{F} \) continua para epsilon adecuada, luego usando Tietze se obtiene la extensión continua y es obtiene que la norma de la diferencia de estas funciones es menor que epsilon.

Intenté ajustar la idea anterior a la prueba de i) pero parece que el camino es otro.

Cualquier clase de ayuda es bienvenida.

Saludos.

Hola.

Estoy intentando dar un contraejemplo para lo siguiente:

Si \( \mathcal{D} \) es una descomposición de \( X \) en conjuntos homeomorfos, digamos todos homeomorfos a \( Y \), entonces \( X \) es homeomorfo a \( \mathcal{D}\times{Y}. \)

Aquí una descomposición \( \mathcal{D} \) es una colección de subconuntos disjuntos cuya unión es \( X \) (una partición) y se le dota con la topología de la descomposición de \( X, \) esto es: \( \mathcal{F}\subset{\mathcal{D}} \) es abierto si y sólo si \( \cup{\left\{{F:F\in{\mathcal{F}}}\right\}} \) es abierto en \( X. \)

Cualquier clase de ayuda es agradecida.

Hola.

Estoy tratando de probar el siguiente ejercicio:

Considérese el conjunto \( K\subset{\mathbb{R}} \) consistente en todos los números de la forma \( \frac{1}{n}, \) para \( n\in{\mathbb{N}}, \) y sea \( \mathcal{B} \) la colección de todos los intervalos abiertos \( (a,b) \) junto con todos los de la forma \( (a,b)-K. \)

a) Probar que \( \mathcal{B} \) es una base para una topología en \( \mathbb{R}. \) Denótese el espacio resultante con \( \mathbb{R}_K. \)

b) Probar que las topologías de \( \mathbb{R}_l \) (Topología del límite inferior) y de \( \mathbb{R}_K \) son estrictamente más finas que la topología usual en \( \mathbb{R}, \) pero no son comparables una con la otra.

c) Probar que \( \mathbb{R}_l \) y \( \mathbb{R}_U \) son homeomorfos; aquí \( \mathbb{R}_U \) denota la topología del límite superior.

Las partes a) y b) he podido probarlas. Para la parte c) tengo bastantes problemas. No logro encontrar un homeomorfismo entre estos espacios. Estaba tratando de buscar una función continua que bajo imagen inversa mande intervalos semiabiertos \( [a,b) \) en intervalos de la forma \( (c,d] \) puesto que tales intervalos conforman una base para dichas topologías, pero no he obtenido mucho éxito.

Cualquier tipo de ayuda es bienvenida.

Saludos.

Hola.

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Tómese \( \mathbb{R}^{n} \) y defínase un subconjunto \( A\subset\mathbb{R}^{n} \) como cerrado de Zariski si existe una función polinomial \( p:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}, \) es decir, una función que satisface que \( p(x) \) es un polinomio en las componentes de \( x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}, \) tal que \( A=p^{-1}(C), \) donde \( C\subset\mathbb{R} \) es finito o \( \mathbb{R}. \)

Probar que la colección de intersecciones arbitrarias de conjuntos cerrados de Zariski en \( \mathbb{R}^{n} \) es cerrada bajo intersecciones arbitrarias y uniones finitas, por lo que determina una topología en \( \mathbb{R}^{n} \) llamada topología de Zariski.

Tengo problemas probando esto: si \( \{A_{i}\}_{i\in I} \) es una colección arbitraria de cerrados de Zakriski, \( \forall{i\in I} \) \( \exists{p_{i}} \) función polinomial tal que \( p_{i}^{-1}(C_{i})=A_{i}, \) donde \( C_{i} \) es finito o \( \mathbb{R}. \)
Entonces, se debe mostrar que existe una función polinomial \( p \) y un subconjunto \( C \) el cual es finito o \( \mathbb{R} \) tal que \( p^{-1}(C)=\bigcup_{i\in I}A_{i}. \)

No logro probar lo anterior. Había pensado en definir a \( p \) igual a cada \( p_{i} \) en el conjunto \( A_{i}, \) pero no estoy seguro si esta función sería polinomial. De hecho, creo que no estoy entendiendo como actúa la función polinomial en todo esto. Lo único que puedo usar para mostrar esto son los operadores topológicos.

Cualquier tipo de ayuda es agradecida desde ya.

Hola.

Estoy tratando de mostrar lo siguiente:

Sea \( \mathcal{R}\subset\mathcal{P}(X) \) no vacía dada. Entonces \( \mathcal{R} \) es un anillo si y sólo si \( \{\mathcal{X}_{A}:A\in\mathcal{R}\} \) es un anillo algebraico (con las operaciones de suma y producto módulo 2).

Ante todo mi duda es, ¿cómo se definen la operación suma y producto módulo 2 para darle estructura de anillo algebraico a las funciones indicadoras? No sé como es que se definen estas operaciones.

Aquí se entiende que \( \mathcal{R}\subset\mathcal{P}(X) \) es un anillo si satisface que para \( E,F\in\mathcal{R} \) entonces \( E-F\in\mathcal{R} \) y \( E\cup F\in\mathcal{R} \).

Cualquier tipo de ayuda es agradecida por adelantado.