[Mario González]

Agradecería que alguien me sugiriese alguna demostración sencilla para la siguiente desigualdad:

Si \( -1< x , y < 1  \) entonces \( -1 < (x + y)/(1 + x \cdot y) < 1  \)

Gracias anticipadas

[Masacroso]

Agradecería que alguien me sugiriese alguna demostración sencilla para la siguiente desigualdad:

Si -1< x, y < 1 entonces -1 < (x + y)/(1 + x*y) < 1

Gracias anticipadas

Te doy una pista que te puede ayudar: puedes estudiar los máximos y mínimos relativos, así como el crecimiento, de la función \( f:(-1,1)\times (-1,1)\to \mathbb{R},\; (x,y)\mapsto \frac{x+y}{1+xy} \).

[Juan Pablo Sancho]

Supongamos que \( x,y \in (-1,1)  \) y \( \dfrac{|x+y|}{1+xy} \geq 1 \) , intenta buscar un absurdo:

Spoiler

Si \( x+y \geq 0  \) tenemos:
\( x+y \geq 1+xy  \) sumamos \( -xy-y \) y queda \( x-xy = x \cdot (1-y) \geq 1-y \) luego \( x \geq 1 \) absurdo.

Si \( x+y < 0  \) tenemos:
\( -x-y \geq 1+xy  \) sumamos \( -xy+y \) y queda \( -x-xy = -x \cdot (1+y)\geq 1+y  \) luego \( x \leq -1 \) bsurdo.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma es tener en cuenta que si \( -1<x,y<1 \) entonces:

 \( x+1,y+1>0 \) y \( (x+1)(y+1)>0 \) de donde \( x+y>-(1+xy) \), es decir, \( \dfrac{x+y}{1+xy}>-1 \).

 \( x-1,y-1<0 \) y \( (x-1)(y-1)>0 \) de donde \( (1+xy)>x+y \), es decir, \( \dfrac{x+y}{1+xy}<1 \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Otra forma es tener en cuenta que si \( -1<x,y<1 \) entonces:

 \( x+1,y+1>0 \) y \( (x+1)(y+1)>0 \) de donde \( x+y>-(1+xy) \), es decir, \( \dfrac{x+y}{1+xy}>-1 \).

 \( x-1,y-1<0 \) y \( (x-1)(y-1)>0 \) de donde \( (1+xy)>x+y \), es decir, \( \dfrac{x+y}{1+xy}<1 \).

Quizás sea conveniente justificar que \( 1+xy>0 \); como \( 1+xy>x+y>-(1+xy)\Longrightarrow 2(1+xy)>0\Longrightarrow 1+xy>0 \)

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero si \( x,y \in (-1,1) \) tenemos que \( |x| \cdot |y| <1 \cdot 1 = 1 \)

[ani_pascual]

Hola:

Pero si \( x,y \in (-1,1) \) tenemos que \( |x| \cdot |y| <1 \cdot 1 = 1 \)

Cierto; y si \( |xy|<1\Longrightarrow -1<xy<1\Longrightarrow 0<1+xy \) 
Saludos

[Mario González]

Gracias a todos por vuestras aportaciones. Me han servido mucho.
Saludos!