La respuesta es afirmativa, [texx] u \in C^{\infty}((0,+\infty),L^2)[/texx]. Escribo la solución por si alguien le interesa.
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Me he dado cuenta que hay que usar una versión distinta del lema de Weirstrass:
Sea [texx] \{u_k\}_k [/texx] una base ortonormal de un espacio de Hilbert y sea [texx] c_k\in C^1(I) [/texx] donde [texx] I\subset \mathbb R [/texx] es un intervalo.
Si para todo compacto [texx] K\subset I [/texx], [texx] \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c_k(t)|^2, \; \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c'_k(t)|^2<+\infty [/texx], entonces:
$$ u(t):=\sum_k c_k(t)u_k \in C^1(I,H)$$
$$ u'(t):=\sum_k c_k'(t)u_k \in C(I,H) $$
La demostración es trivial usando el teorema de convergencia dominada.
En el caso de [texx] c_k(t)=a_ke^{-\lambda_k t} [/texx]. [texx] c_k'(t)=-a_k\lambda_k e^{-\lambda_k t} [/texx]. Definimos:
$$ C(t)=\max_{x\in [0,+\infty)}xe^{-xt}=\frac{e^{-1}}{t} $$
Y así:
$$ \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in (0,+\infty)}} |c_k(t)|^2\leq \sum_k |a_k|^2<+\infty $$
$$\sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in [\delta,+\infty)}}|c_k'(t)|^2\leq C(\delta)\sum_k |a_k|^2<+\infty, \;\; \forall \delta>0 $$
De donde el lema de Weirstrass implica que la función que yo quería es [texx] C^1((0,+\infty),L^2) [/texx]. Aplicando esto reiteradamente se ve que es suave (e incluso se puede ver que es analítica)
Nota: Tenía un error ayer, para que funcione el TCD tenía que pedir un poco más en el lema. (Lo he escrito en rojo)