[FerOliMenNewton]

Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar bifurcaciones, y hay una bifurcación conocida como bifurcación de periodo doble que se define como sigue:
Definición. Dada una familia de funciones \( \left\{{f_{\lambda}}\right\} \) dependientes del parámetro \( \lambda \), decimos que esta familia tiene una bifurcación de periodo doble en \( \lambda= \lambda _{0} \) si existe un intervalo \( I \) y \( \epsilon >0 \) tal que:
1. Para cada \( \lambda \in{(\lambda_{0}-\epsilon , \lambda _{0} + \epsilon)} \) existe un único punto fijo \( p_{\lambda } \) de \( f_{\lambda}(x) \) en \( I \).
2. Para \( \lambda_{0} - \epsilon < \lambda \leq{} \lambda_{0} \), \( f_{\lambda} \) no tiene puntos de periodo \( 2 \) en \( I \) y el punto fijo \( p_{\lambda} \) es atractor(repulsor).
3. Para \( \lambda_{0}< \lambda < \lambda_{0}+\epsilon \) existe un punto de periodo \( 2 \) denotado por \( q_{\lambda} \), y se tiene que \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) son los únicos puntos de periodo 2 en \( I \). Además, \( p_{\lambda} \) es repulsor(atractor) y \( q_{\lambda} \) es un punto atractor(repulsor) de \( f_{\lambda}\circ{f_{\lambda}}:=f_{\lambda}^{2} \)
4. \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) tienden a \( p_{\lambda_{0}} \) si \( \lambda \) tiende a \( \lambda_{0} \).
Aunque es una definición ciertamente un poco fea/latosa/complicada existen ejemplos amigables de esto, por ejemplo la familia de funciones \( f_{c}(x)=x^2+c \) tiene una bifurcación de este tipo en \( c=-3/4 \) , y en este caso podemos tomar \( \epsilon=1 \) e \( I=\mathbb{R} \).
Dicho esto, mi pregunta es: ¿Por qué de la definición se sigue que si tenemos una bifuración de este tipo entonces \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=-1 \)? En otras palabras, tenemos una condición necesaria para que una familia tenga una bifurcación de periodo doble en \( \lambda=\lambda_{0} \). Me queda claro que las únicas posibilidades son \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=1 \) o \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=-1 \) pero no me queda claro cómo descartar la primera opción a partir de la definición.
De antemano muchas gracias.
Saludos.
ACTUALIZACIÓN: Olvidé decir que también decimos que la familia tiene una bifurcación de este tipo en \( \lambda = \lambda_{0} \) si sustituimos el < por > , es decir también puede ocurrir "al revés".

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar bifurcaciones, y hay una bifurcación conocida como bifurcación de periodo doble que se define como sigue:
Definición. Dada una familia de funciones \( \left\{{f_{\lambda}}\right\} \) dependientes del parámetro \( \lambda \), decimos que esta familia tiene una bifurcación de periodo doble en \( \lambda= \lambda _{0} \) si existe un intervalo \( I \) y \( \epsilon >0 \) tal que:
1. Para cada \( \lambda \in{(\lambda_{0}-\epsilon , \lambda _{0} + \epsilon)} \) existe un único punto fijo \( p_{\lambda } \) de \( f_{\lambda}(x) \) en \( I \).
2. Para \( \lambda_{0} - \epsilon < \lambda \leq{} \lambda_{0} \), \( f_{\lambda} \) no tiene puntos de periodo \( 2 \) en \( I \) y el punto fijo \( p_{\lambda} \) es atractor(repulsor).
3. Para \( \lambda_{0}< \lambda < \lambda_{0}+\epsilon \) existe un punto de periodo \( 2 \) denotado por \( q_{\lambda} \), y se tiene que \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) son los únicos puntos de periodo 2 en \( I \). Además, \( p_{\lambda} \) es repulsor(atractor) y \( q_{\lambda} \) es un punto atractor(repulsor) de \( f_{\lambda}\circ{f_{\lambda}}:=f_{\lambda}^{2} \)
4. \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) tienden a \( p_{\lambda_{0}} \) si \( \lambda \) tiende a \( \lambda_{0} \).
Aunque es una definición ciertamente un poco fea/latosa/complicada existen ejemplos amigables de esto, por ejemplo la familia de funciones \( f_{c}(x)=x^2+c \) tiene una bifurcación de este tipo en \( c=-3/4 \) , y en este caso podemos tomar \( \epsilon=1 \) e \( I=\mathbb{R} \).

Antes de ir con tu pregunta. O me estoy perdiendo algo, o ese ejemplo no cumple la la definición con las condiciones que has escrito.

En primer lugar \( x^2+c \) sólo tiene un único punto fijo si \( c=1/4 \); si \( c>1/4 \) no tiene ninguno y si \( c<1/4 \) tiene dos.

Cuando \( c<-3/4 \) aparecen dos puntos fijos de \( f_c\circ f_c \) (que no son puntos fijos de \( f_c \)), que entiendo es lo que llamas puntos de período dos. Entonces de cumplirse la definición sería al revés, es decir, los puntos de período doble aparecen antes del \( \lambda_0 \). Pero además no veo como elegir el intervalo \( I \) para que sólo haya un tal punto de período doble.

En el gráfico está representado en naranja \( f_c(x)=x^2+c \) y en azul \( f_c\circ f_c \). Puedes variar el parámetro \( c \).


CORREGIDO. A no. Ya lo veo. Me estaba confundiendo. Tienen que haber DOS puntos de doble período, \( q_\lambda \) y \( f(q_\lambda) \). Entonces tu familia (!de funciones!  ) si cumple lo pedido si se escoge \( I=(-\infty,1/2) \) y como te dije antes intercambiando los papeles de lo que ocurre antes y después de \( c=-3/4 \).

Saludos.

[FerOliMenNewton]

Hola Luis,
Gracias por tu respuesta . Sí, los papeles también pueden ser al revés, olvidé ponerlo en la definición original y ya lo corregí , muchas gracias .Y sí, a lo que yo llamo puntos periódicos de periodo 2 son a los puntos fijos de \( f^2:=f \circ{f} \) que no son puntos fijos de \( f \), es decir, a aquellos \( x \) tales que \( f(x) \neq x \) pero \( f^2(x)=f(f(x))=x \). Y hablando concretamente de este ejemplo, podemos ver que  en \( c=-3/4 \) se tiene que \( p_{c}=-1/2 \) y satisface  que \( f_{-3/4}'(-1/2)=-1 \), y al parecer esto ocurre siempre que tengamos una bifurcación de este tipo, pero les digo que sigo sin comprender la razón, no lo veo claro de la definición, o sea veo que sólo existen dos posibilidades pero no veo por qué descartar el caso cuando \( f_{\lambda_{0}}'(p_{\lambda_{0}})=1 \). Ah también gracias por corregir el intervalo \( I \), también lo había puesto mal  .
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis,
Gracias por tu respuesta . Sí, los papeles también pueden ser al revés, olvidé ponerlo en la definición original y ya lo corregí , muchas gracias .Y sí, a lo que yo llamo puntos periódicos de periodo 2 son a los puntos fijos de \( f^2:=f \circ{f} \) que no son puntos fijos de \( f \), es decir, a aquellos \( x \) tales que \( f(x) \neq x \) pero \( f^2(x)=f(f(x))=x \). Y hablando concretamente de este ejemplo, podemos ver que  en \( c=-3/4 \) se tiene que \( p_{c}=-1/2 \) y satisface  que \( f_{-3/4}'(-1/2)=-1 \), y al parecer esto ocurre siempre que tengamos una bifurcación de este tipo, pero les digo que sigo sin comprender la razón, no lo veo claro de la definición, o sea veo que sólo existen dos posibilidades pero no veo por qué descartar el caso cuando \( f_{\lambda_{0}}'(p_{\lambda_{0}})=1 \). Ah también gracias por corregir el intervalo \( I \), también lo había puesto mal  .
Saludos.

Una idea un tanto intuitiva y todavía algo gruesa.

Antes de \( \lambda_0 \) y en el el propio punto la función \( (f_\lambda\circ f_\lambda)(x)-x \) tiene una única raíz.

Después de \( \lambda_0 \) sin embargo la función \( (f_\lambda\circ f_\lambda)(x)-x \) tiene tres raíces \( (p_\lambda,q_\lambda,f_\lambda(q_\lambda))
 \).

Entonces \( \lambda_0 \) es el punto crítico donde esas tres raíces se confunden en una sola y por tanto \( (f_{\lambda_0}\circ f_{\lambda_0})(x)-x \) tiene que tener una raíz triple en el punto \( p_{\lambda_0} \) y así anularse su segunda derivada (por comodidad llamo \( f_{\lambda_0}=f \) y \( p_{\lambda_0}=p \)).

\( f''(f(p))f'(p)^2+f'(f(p))f''(p)=0 \)

Si \( p \) es fijo, \( f(p)=p \) y queda:

\( f''(p)f'(p)(f'(p)+1)=0 \)

Donde como \( f''(p),f'(p)\neq 0 \) queda \( f'(p)=-1 \).

Saludos.

[FerOliMenNewton]

¡Oh!, Venga, creo que ya lo veo . ¡Muchas gracias!   
Saludos.

[SebasMM]

Hola,
La duda que yo tengo de la solución es ¿por qué tenemos que \( f''(p) \neq 0 \)?. No lo veo muy claro.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
La duda que yo tengo de la solución es ¿por qué tenemos que \( f''(p) \neq 0 \)?. No lo veo muy claro.
Saludos.

Para ser sincero, yo tampoco. 

Otra cosa que he pensado es que si consideramos \( g(x)=f_{\lambda_0}(x)-x \), si \( g(p)=0 \) y \( g'(p)=0 \) entonces \( p \) sería un punto fijo con multiplicidad dos, de \( f_{\lambda_0}(x) \) que no se si encaja muy bien con que en un entorno de \( \lambda_0 \) el punto fijo sea único. Nota que \( g'(p)=0 \) equivale a \( f_{\lambda_0}(p)=1 \).

Saludos.

[FerOliMenNewton]

Hola,
La duda que yo tengo de la solución es ¿por qué tenemos que \( f''(p) \neq 0 \)?. No lo veo muy claro.
Saludos.

Oh rayos, es verdad . Habrá que seguir pensando  . Me parece curioso que todos los libros que he visto de sistemas dinámicos mencionen este hecho sin demostración :p .
Saludos.

[SebasMM]

¿Qué os parece esto?
Sea \( \lambda \in (\lambda_{0},\lambda_{0}+\epsilon) \), entonces existen dos únicos puntos periódicos \( q_{\lambda},f(q_{\lambda}) \) en \( I \). Llamemos \( p=f(q_{\lambda}) \) y sin pérdida de generalidad supongamos que \( q_{\lambda}<p \), luego,

\( \displaystyle\frac{f_{\lambda}(p)-f_{\lambda}(q_{\lambda})}{p-q_{\lambda}}=\displaystyle\frac{q_{\lambda}-p}{p-q_{\lambda}}=-1 \)

Por el teorema del valor medio, existe un \( c \in (q_{\lambda},p) \) tal que \( F_{\lambda}'(c)=-1 \). En vista de la condición 4, tenemos que \( c\rightarrow{p_{\lambda_{0}}} \) si \( \lambda \rightarrow{\lambda_{0}} \) de donde se sigue lo que se quería probar.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué os parece esto?
Sea \( \lambda \in (\lambda_{0},\lambda_{0}+\epsilon) \), entonces existen dos únicos puntos periódicos \( q_{\lambda},f(q_{\lambda}) \) en \( I \). Llamemos \( p=f(q_{\lambda}) \) y sin pérdida de generalidad supongamos que \( q_{\lambda}<p \), luego,

\( \displaystyle\frac{f_{\lambda}(p)-f_{\lambda}(q_{\lambda})}{p-q_{\lambda}}=\displaystyle\frac{q_{\lambda}-p}{p-q_{\lambda}}=-1 \)

Por el teorema del valor medio, existe un \( c \in (q_{\lambda},p) \) tal que \( F_{\lambda}'(c)=-1 \). En vista de la condición 4, tenemos que \( c\rightarrow{p_{\lambda_{0}}} \) si \( \lambda \rightarrow{\lambda_{0}} \) de donde se sigue lo que se quería probar.

Me parece muy bien: 

Saludos.