Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar bifurcaciones, y hay una bifurcación conocida como bifurcación de periodo doble que se define como sigue:
Definición. Dada una familia de funciones \( \left\{{f_{\lambda}}\right\} \) dependientes del parámetro \( \lambda \), decimos que esta familia tiene una bifurcación de periodo doble en \( \lambda= \lambda _{0} \) si existe un intervalo \( I \) y \( \epsilon >0 \) tal que:
1. Para cada \( \lambda \in{(\lambda_{0}-\epsilon , \lambda _{0} + \epsilon)} \) existe un único punto fijo \( p_{\lambda } \) de \( f_{\lambda}(x) \) en \( I \).
2. Para \( \lambda_{0} - \epsilon < \lambda \leq{} \lambda_{0} \), \( f_{\lambda} \) no tiene puntos de periodo \( 2 \) en \( I \) y el punto fijo \( p_{\lambda} \) es atractor(repulsor).
3. Para \( \lambda_{0}< \lambda < \lambda_{0}+\epsilon \) existe un punto de periodo \( 2 \) denotado por \( q_{\lambda} \), y se tiene que \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) son los únicos puntos de periodo 2 en \( I \). Además, \( p_{\lambda} \) es repulsor(atractor) y \( q_{\lambda} \) es un punto atractor(repulsor) de \( f_{\lambda}\circ{f_{\lambda}}:=f_{\lambda}^{2} \)
4. \( q_{\lambda},f_{\lambda}(q_{\lambda}) \) tienden a \( p_{\lambda_{0}} \) si \( \lambda \) tiende a \( \lambda_{0} \).
Aunque es una definición ciertamente un poco fea/latosa/complicada existen ejemplos amigables de esto, por ejemplo la familia de funciones \( f_{c}(x)=x^2+c \) tiene una bifurcación de este tipo en \( c=-3/4 \) , y en este caso podemos tomar \( \epsilon=1 \) e \( I=\mathbb{R} \).
Dicho esto, mi pregunta es: ¿Por qué de la definición se sigue que si tenemos una bifuración de este tipo entonces \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=-1 \)? En otras palabras, tenemos una condición necesaria para que una familia tenga una bifurcación de periodo doble en \( \lambda=\lambda_{0} \). Me queda claro que las únicas posibilidades son \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=1 \) o \( f'_{\lambda_{0}}(p_{\lambda_{0}})=-1 \) pero no me queda claro cómo descartar la primera opción a partir de la definición.
De antemano muchas gracias.
Saludos.
ACTUALIZACIÓN: Olvidé decir que también decimos que la familia tiene una bifurcación de este tipo en \( \lambda = \lambda_{0} \) si sustituimos el < por > , es decir también puede ocurrir "al revés".