Autor Tema: Probar que es una métrica

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29 Marzo, 2021, 04:05 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( M_n\mathbb{R} \) el espacio vectorial de las matrices de \( n × n  \) con  coeficientes reales. Para \( A=(a_{ij}) , B= (b_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})  \) define  \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |   \)

Pruebe que \( d \) es una métrica en M\( _n(\mathbb{R}) \). Recuerde que una matrix \( N \in M_n(\mathbb{R})  \)es llamada nipotente si existe \(  k \in \mathbb{N} \) tal que \( N^k= 0 \). Muestre que el conjunto de las matrices nilpotentes en\( M_n(\mathbb{R}) \) es un conjunto cerrado en\( M_n(\mathbb{R})  \)

Lo que he hecho:

Para mostrar que d es una métrica, se debe mostrar que \( d(A,B) \geq 0 \). Para todas las matrices \( A \) y \( B \) de \( n × n. \). Además, también debe mostrar \( d(A,B) = 0 \iff A = B \) y que \( d(A,B) \leq d(A,C ) + d(C, B) \) donde \( A, B, C \) son cualquier matriz \( n × n \), y que\(  d (A, B) = d (B ,A). \)

i) \( d(A,B) \geq 0 \) Es claro ya que es una suma de terminos no negativos y por lo tanto siempre será postivo

ii) Para mostrar que \( d (A, B) = d (B, A) \) tengo dudas me han sugerido usar la siguiente propiedad de valores absolutos pero no se muy bien como ocuparla \( |a-b| = |b-a| \) ya que \( |a-b| = |-(b-a)| = |-1||b-a| = |b-a| \)

iii) La desigualdad triangular no se muy bien como probarla \( |a_{ij} - b_{ij}| \leq |a_{ij} - c_{ij}| + |c_{ij} - b_{ij}| \)

De antemano gracias.

Saludos

29 Marzo, 2021, 05:23 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Sea \( M_n\mathbb{R} \) el espacio vectorial de las matrices de \( n × n  \) con  coeficientes reales. Para \( A=(a_{ij}) , B= (b_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})  \) define  \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |   \)Pruebe que \( d \) es una métrica en M\( _n(\mathbb{R}) \).

Es simple. Esquemáticamente,

        \( d(A,B)\ge 0 \) (evidente).
        \( d(A,B)=0\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |=0\Leftrightarrow | a_{ij} - b_{ij} | =0\;\forall i,j\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij} \;\forall i,j\Leftrightarrow{A=B}. \)
        \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} | =\sum_{i,j=1}^n{} | b_{ij} - a_{ij} |=d(B.A). \)
        \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |\le \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} (| a_{ij} - c_{ij} |+|c_{ij}-b_{ij}|)=d(A,C)+d(C,A). \)

Muestre que el conjunto de las matrices nilpotentes en\( M_n(\mathbb{R}) \) es un conjunto cerrado en\( M_n(\mathbb{R})  \)

La aplicación \( \Phi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}) \) dada por \( \Phi (A)=A^n \) es continua. Dado que el orden de nilpotencia es menor o igual que el orden de la matriz, el conjunto de las matrices nilpotentes de \( M_n(\mathbb{R}) \) es \( \Phi^{-1}(\{0\}) \), que es cerrado por serlo \( \{0\} \) y \( \Phi \) continua.

29 Marzo, 2021, 06:12 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Sea \( M_n\mathbb{R} \) el espacio vectorial de las matrices de \( n × n  \) con  coeficientes reales. Para \( A=(a_{ij}) , B= (b_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})  \) define  \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |   \)Pruebe que \( d \) es una métrica en M\( _n(\mathbb{R}) \).

Es simple. Esquemáticamente,

        \( d(A,B)\ge 0 \) (evidente).
        \( d(A,B)=0\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |=0\Leftrightarrow | a_{ij} - b_{ij} | =0\;\forall i,j\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij} \;\forall i,j\Leftrightarrow{A=B}. \)
        \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} | =\sum_{i,j=1}^n{} | b_{ij} - a_{ij} |=d(B.A). \)
        \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} |\le \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} (| a_{ij} - c_{ij} |+|c_{ij}-b_{ij}|)=d(A,C)+d(C,A). \)

Muestre que el conjunto de las matrices nilpotentes en\( M_n(\mathbb{R}) \) es un conjunto cerrado en\( M_n(\mathbb{R})  \)

La aplicación \( \Phi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}) \) dada por \( \Phi (A)=A^n \) es continua. Dado que el orden de nilpotencia es menor o igual que el orden de la matriz, el conjunto de las matrices nilpotentes de \( M_n(\mathbb{R}) \) es \( \Phi^{-1}(\{0\}) \), que es cerrado por serlo \( \{0\} \) y \( \Phi \) continua.

Muy claro muchas gracias.

Saludos

04 Abril, 2021, 01:13 am
Respuesta #3

cristianoceli

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La aplicación \( \Phi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}) \) dada por \( \Phi (A)=A^n \) es continua. Dado que el orden de nilpotencia es menor o igual que el orden de la matriz, el conjunto de las matrices nilpotentes de \( M_n(\mathbb{R}) \) es \( \Phi^{-1}(\{0\}) \), que es cerrado por serlo \( \{0\} \) y \( \Phi \) continua.

Me surgió una duda en esta parte:

¿Por que la función  \( \Phi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}) \) dada por \( \Phi (A)=A^n \) es continua ?

Otra cosa: Al hablar de orden te refieres al menor entero positivo \( n \) tal que \( g^n=1 \) o aditivamente \( ng=0 \)


Saludos

04 Abril, 2021, 05:22 am
Respuesta #4

Fernando Revilla

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¿Por que la función  \( \Phi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R}) \) dada por \( \Phi (A)=A^n \) es continua ?

Puedes identificar

          \( A=\begin{bmatrix} a_{11}  & \ldots & a_{1n} \\\vdots&  &\vdots \\ a_{n1} &\ldots & a_{nn}\end{bmatrix}\in M_n(\mathbb{R})\mapsto (a_{11},  \ldots , a_{1n},\ldots,a_{n1},  \ldots , a_{nn})\in \mathbb{R}^{n^2} \)

con lo cual la distancia en \( \mathbb{R}^{n^2} \) es la \( d_1 \), que es equivalente a la euclídea \( d_2 \). Cuando se multiplican matrices sólo se efectuan las operaciones suma y producto, con lo cual cada componente \( \pi_i:\mathbb{R}^{n^2}\to \mathbb{R} \) es contina.

Otra cosa: Al hablar de orden te refieres al menor entero positivo \( n \) tal que \( g^n=1 \) o aditivamente \( ng=0 \)

A la definición de orden de un elemento \( g \) nilpotente en un anillo: menor entero positivo \( k \) tal que \( g^k=0 \).

04 Abril, 2021, 11:06 pm
Respuesta #5

cristianoceli

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Dado que el orden de nilpotencia es menor o igual que el orden de la matriz

No acabo de entender esta parte por que  siempre se cumple que el orden de nilpotencia va a ser menor o igual de la matriz.


Saludos.

05 Abril, 2021, 12:13 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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No acabo de entender esta parte por que  siempre se cumple que el orden de nilpotencia va a ser menor o igual de la matriz.

Si \( A\in M_n(\mathbb{R}) \) es matriz nilpotente de orden \( k \), el polinomio \( p(\lambda)=\lambda^k \) es polinomio anulador de \( A \), con lo cual su polinomio mínimo divide a \( p(\lambda) \) y tiene los mismos factores irreducibles. Esto implica que el polinomio característico de \( A \) es \( \chi (\lambda)=\lambda^n \) y por el teorema de Cayley-Hamilton, \( A^n=0 \). Es decir, \( k\le n \).

05 Abril, 2021, 12:32 am
Respuesta #7

cristianoceli

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No acabo de entender esta parte por que  siempre se cumple que el orden de nilpotencia va a ser menor o igual de la matriz.

Si \( A\in M_n(\mathbb{R}) \) es matriz nilpotente de orden \( k \), el polinomio \( p(\lambda)=\lambda^k \) es polinomio anulador de \( A \), con lo cual su polinomio mínimo divide a \( p(\lambda) \) y tiene los mismos factores irreducibles. Esto implica que el polinomio característico de \( A \) es \( \chi (\lambda)=\lambda^n \) y por el teorema de Cayley-Hamilton, \( A^n=0 \). Es decir, \( k\le n \).

Ahora si muchas gracias.


Saludos

05 Abril, 2021, 10:47 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

No acabo de entender esta parte por que  siempre se cumple que el orden de nilpotencia va a ser menor o igual de la matriz.

Hay una forma bastante autocontenida de justificarlo. Es (casi) inmediato que \( Im(A^k)\subset Im(A^{k+1}) \) y que si \( Im(A^k)=Im(A^{k+1}) \) entonces \( Im(A^m)=Im(A^k) \) para todo \( m\geq k \).

Entonces si \( A \) es nilpotente \( A^k=0 \) para un determinado \( k \) mínimo. Por lo anterior tiene que cumplirse que:

\( n>dim(Im(A))>dim(Im(A^2))>\ldots>dim(Im(A^k))=0 \)

o equivalentemente:

\( n\geq dim(Im(A))+1\geq dim(Im(A^2))+2\geq \ldots \geq 0+k \)

Saludo.

Saludos.