[manooooh]

Hola!

Marcar la única opción correcta. Si dados \( a,b\in\Bbb{Z} \) existen \( x,y\in\Bbb{Z} \) tal que \( ax+by=3 \), entonces se puede asegurar que:

1) \( \gcd(a,b)=3 \)
2) \( \gcd(a,b)\neq1 \)
3) \( \gcd(a,b)=1 \)
4) \( ax\equiv3\pmod{b} \)


Estoy intentando descartar las que son falsas, porque la que es verdadera es la 4) y así lo he probado:

\( ax+by=3\to3-ax=by\to b\mid3-ax\to b\mid ax-3\to ax\equiv3\pmod{b}. \)

¿Hasta aquí bien?

Ahora quiero ir más allá, quiero buscar contraejemplos para las que son falsas, pero no sabría cómo hacerlo. Porque entiendo que lo que el enunciado pide es verificar que las siguientes proposiciones son FALSAS:

1) \( \forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)=3 \)

2) \( \forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)\neq1 \)

3) \( \forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)=1 \)

porque si sé que \( \forall x\,p(x) \) es falsa, debo buscar un \( x \) que verifique \( \neg p(x) \).

Tomemos el caso de 1). Simplemente podría ver que si tomo \( a=4 \) y \( b=7 \) existen \( x,y \) tales que \( 4x+7y=3 \) (pues \( x=-15\;y=9 \)) pero \( \gcd(a,b)=1 \) y ya está. Pero aquí miren, al negar la expresión resulta:

1 negada) \( \exists a,b\in\Bbb{Z}\,\color{red}\forall x,y\in\Bbb{Z}\color{black}\,ax+by=3\land\gcd(a,b)\neq3. \)

Lo que me molesta es la parte: \( \forall x,y\in\Bbb{Z} \) porque la ecuación \( 4x+7y=3 \) no se cumple para todos los \( x \) ni para todos los \( y \) enteros, entonces no sé cómo justificar que la negación de 1) es verdadera.

¿Es correcto lo que escribí? ¿O cómo deben interpretarse las proposiciones?

Gracias!!
Saludos

[Carlos Ivorra]

Las afirmaciones que quieres refutar son de la forma

\( \forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

donde \( \alpha \) es 1), 2) o 3). La negación es

\( \lnot\forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

o también

\( \exists ab\in \mathbb Z\lnot(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

o también (teniendo en cuenta que \( \lnot(p\rightarrow q) \) equivale a \( p\land \lnot q \))

\( \exists ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\land\lnot \alpha) \),

o también (teniendo en cuenta que en \( \alpha \) no aparecen \( x,y \)):

\( \exists abxy\in \mathbb Z( ax+by=3\land\lnot \alpha) \).

La parte que te molesta te la has inventado tú.

[manooooh]

Hola

Las afirmaciones que quieres refutar son de la forma

\( \forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

donde \( \alpha \) es 1), 2) o 3). La negación es

\( \lnot\forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

o también

\( \exists ab\in \mathbb Z\lnot(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow \alpha) \),

o también (teniendo en cuenta que \( \lnot(p\rightarrow q) \) equivale a \( p\land \lnot q \))

\( \exists ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\land\lnot \alpha) \),

o también (teniendo en cuenta que en \( \alpha \) no aparecen \( x,y \)):

\( \exists abxy\in \mathbb Z( ax+by=3\land\lnot \alpha) \).

La parte que te molesta te la has inventado tú.

  . ¿Es decir que el antecedente de lo que se quiere refutar no es \( ax+by=3 \) sino \( \exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3 \)? Vaya, no se me hubiera ocurrido pensarlo así. Gracias.

¿Puedes darme algún contraejemplo para probar que estas dos afirmaciones no son equivalentes?:

\( 1)\;\forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)=3\qquad\qquad2)\;\forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow\gcd(a,b)=3) \)

¿Tienes algún consejo para no confundirme la próxima vez entre esas dos?

Saludos

[Carlos Ivorra]

¿Puedes darme algún contraejemplo para probar que estas dos afirmaciones no son equivalentes?:

\( 1)\;\forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)=3\qquad\qquad2)\;\forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow\gcd(a,b)=3) \)

Supongo que con la primera afirmación quieres decir esto:

\( \forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \)

La segunda es equivalente a

\( \forall abxy\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \).

La primera es verdadera pues, dados \( a, b\in \mathbb Z \), basta tomar \( x=y=0 \) y entonces se cumple \( ax+by=3\rightarrow \gcd(a, b)=3 \), pues la hipótesis es falsa.

La segunda es falsa, pues basta tomar \( a=1, b=2, x=y=1 \) y entonces \( ax+by=3 \), pero no se cumple que \( \gcd(a, b)=3 \).

¿Tienes algún consejo para no confundirme la próxima vez entre esas dos?

No sé muy bien en qué contexto podría darse la confusión. El enunciado dice: dados a, b, si se cumple tal, entonces se cumple cual, luego eso es \( \forall ab(p\rightarrow q) \), donde \( p \) es "tal", es decir, la existencia de \( x,y \)...

[manooooh]

Hola

¿Puedes darme algún contraejemplo para probar que estas dos afirmaciones no son equivalentes?:

\( 1)\;\forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,ax+by=3\to\gcd(a,b)=3\qquad\qquad2)\;\forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow\gcd(a,b)=3) \)

Supongo que con la primera afirmación quieres decir esto:

\( \forall a,b\in\Bbb{Z}\,\exists x,y\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \)

Sí.

La segunda es equivalente a

\( \forall abxy\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \).

No entiendo cómo pasas de poner un existencial a un universal, es decir que (si he entendido bien), dices que \( \forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow\gcd(a,b)=3) \) es equivalente a \( \forall abxy\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \), ¿por qué?

La primera es verdadera pues, dados \( a, b\in \mathbb Z \), basta tomar \( x=y=0 \) y entonces se cumple \( ax+by=3\rightarrow \gcd(a, b)=3 \), pues la hipótesis es falsa.

La segunda es falsa, pues basta tomar \( a=1, b=2, x=y=1 \) y entonces \( ax+by=3 \), pero no se cumple que \( \gcd(a, b)=3 \).

Entiendo. Gracias.

No sé muy bien en qué contexto podría darse la confusión. El enunciado dice: dados a, b, si se cumple tal, entonces se cumple cual, luego eso es \( \forall ab(p\rightarrow q) \), donde \( p \) es "tal", es decir, la existencia de \( x,y \)...

Lo que pasa es que estás poniendo el primer "si" detrás del "dados a,b", cuando el enunciado lo pone delante del "dados a,b", entonces es probable que de ahí venga mi confusión sobre qué se considera parte del antecedente y qué no.

Saludos

[Carlos Ivorra]

No entiendo cómo pasas de poner un existencial a un universal, es decir que (si he entendido bien), dices que \( \forall ab\in \mathbb Z(\exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3\rightarrow\gcd(a,b)=3) \) es equivalente a \( \forall abxy\in\Bbb{Z}\,(ax+by=3\to\gcd(a,b)=3) \), ¿por qué?

Supongamos que \( \forall ab(\exists xyP(a,b,x,y)\rightarrow Q(a, b)) \) y vamos a probar que \( \forall abxy\,(P(a, b, x, y)\to Q(a, b)) \).

Para ello fijamos \( a, b, x, y \) y suponemos que se cumple \( P(a, b, x, y) \). Entonces tenemos que \( \exists xy P(a, b, x,y) \) y por hipótesis \( \exists xyP(a,b,x,y)\rightarrow Q(a, b) \), luego concluimos \( Q(a, b) \).

Ahora supongamos \( \forall abxy\,(P(a, b, x, y)\to Q(a, b)) \) y vamos a probar \( \forall ab(\exists xyP(a,b,x,y)\rightarrow Q(a, b)) \).

Para ello fijamos \( a, b \) y suponemos \( \exists xyP(a,b,x,y) \). Tomamos \( x, y \) que cumplan \( P(a, b, x,y) \). Entonces, por hipótesis \( P(a, b, x, y)\to Q(a, b) \), luego concluimos \( Q(a, b) \).

Lo que pasa es que estás poniendo el primer "si" detrás del "dados a,b", cuando el enunciado lo pone delante del "dados a,b", entonces es probable que de ahí venga mi confusión sobre qué se considera parte del antecedente y qué no.

Tienes razón, pero es que poner el "si" literalmente donde está en el enunciado nos llevaría a:

\( (\forall ab\exists xy P(a, b, x, y))\rightarrow Q(a, b) \)

y esto no tiene sentido, porque deja los \( a, b \) del final fuera del alcance de los cuantificadores. Por lo tanto, hay que entender que el "dados \( a,b \)"  ( \( =\forall ab \)) afecta a las dos partes de la implicación. Es como si dices:

Si, dada una persona, ves que tiene barba, entonces puedes asegurar que esa persona tiene más de 5 años.

Esto no puede entenderse como:

Si toda persona tiene barba, entonces esa ¿cuál? persona tiene más de 5 años.

Sino necesariamente como

Dada una persona (si tiene barba, entonces tiene más de 5 años).

[Luis Fuentes]

Hola

. ¿Es decir que el antecedente de lo que se quiere refutar no es \( ax+by=3 \) sino \( \exists xy\in \mathbb Z\, ax+by=3 \)? Vaya, no se me hubiera ocurrido pensarlo así. Gracias.

 Entiendo que el intento de escritura formal de la proposición que piden verificar te pueda dar algún problema; y que explores como debería de escribirse correctamente y como no.

 Pero me queda la duda de si realmente desde el punto de vista práctico, tenías dificultades para saber que tendrías que hacer para refutar (1). Es decir leyendo sin más el enunciado, sin molestarte en traducirlo en lenguaje formal, ¿no te quedaba claro que dando un ejemplo de enteros \( a,b,x,y \) tales que \( ax+by=3 \) y \( gcd(a,b)\neq 3 \) estabas refutando (1)?.

Saludos.

[feriva]

Hola!

Marcar la única opción correcta. Si dados \( a,b\in\Bbb{Z} \) existen \( x,y\in\Bbb{Z} \) tal que \( ax+by=3 \), entonces se puede asegurar que:

1) \( \gcd(a,b)=3 \)
2) \( \gcd(a,b)\neq1 \)
3) \( \gcd(a,b)=1 \)
4) \( ax\equiv3\pmod{b} \)


Estoy intentando descartar las que son falsas, porque la que es verdadera es la 4) y así lo he probado:

Hola, manooooh.


¿No podría valer simplemente esto?

La primera es falsa con a=1, b=1, x+y=3; y este mismo ejemplo vale para la segunda.

Con x=1, y=1, a+b=3 no coprimos es falsa la tercera.

(Si no me equivoco...)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿No podría valer simplemente esto?

La primera es falsa con a=1, b=1, x+y=3; y este mismo ejemplo vale para la segunda.

Con x=1, y=1, a+b=3 no coprimos es falsa la tercera.

(Si no me equivoco...)

Si lees completa la pregunta de manooooh y las sucesivas respuestas, verás que su dificultad no está en encontrar ejemplos concretos donde fallen esas propiedades, sino en la interpretación y formalización rigurosa del enunciado y su negación.

Saludos.

[feriva]

Si lees completa la pregunta de manooooh y las sucesivas respuestas, verás que su dificultad no está en encontrar ejemplos concretos donde fallen esas propiedades, sino en la interpretación y formalización rigurosa del enunciado y su negación.

Saludos.

Es que tenía (tengo) escrito algo más (además de los contraejemplos) pero no me he atrevido a ponerlo por si no estaba bien o no tenía que ver.

Gracias, Luis.