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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / URGENTE ejercicio algebra lineal
« Último mensaje por PascuTrabaja en Hoy a las 06:16 pm »
Buenos días, soy nuevo en el foro, estoy teniendo complicaciones para resolver un ejercicio del tema de Álgebra Lineal.

Tenemos problemas para sacar las ecuaciones paramétricas, y el apartado iii.

Tengo soluciones que no creo que sean correctas.


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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Producto escalar.
« Último mensaje por franma en Hoy a las 06:02 pm »
Buenas,

Muchas gracias a ambos! Me ha quedado claro.

Saludos,
Franco.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Producto escalar.
« Último mensaje por mathtruco en Hoy a las 05:07 pm »
Hola. La respuesta de mg es correcta, pero podría precisarse mejor notando que \( \langle0,v\rangle=0 \), con lo cual llega a

   \(  \langle u-w,v\rangle=0 \)

por lo que lo único que podemos afirmar es \( u-w\perp v \) (el vector nulo es ortogonal a todos los vectores, así que no es necesario mencionarlo).

El contraejemplo propuesto por franma está perfecto. Nota que tu contraejemplo cumple \( u-w\perp v \), como acabamos de probar sí o sí debía cumplirlo.

Una última observación, si la proposición original fuera un poco distinta:

       Si para todo \( v \) se cumple \( \langle u,v\rangle=\langle w,v\rangle \) entonces entonces \( u=w \)

es verdadera. La demostración es repetir los pasos de lo propuesto por mg.

    \( \langle u,v\rangle=\langle w,v\rangle\Leftrightarrow\langle u,v\rangle-\langle w,v\rangle=0\Leftrightarrow \langle u-w,v\rangle=0 \).

Como \( \langle u-w,v\rangle=0 \) para todo \( v \), entonces en particular para \( v=u-w \), de donde

    \( \langle u-w,u-w\rangle=0\Leftrightarrow \|u-w\|=0\Leftrightarrow u-w=0\Leftrightarrow u=w \).
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Producto escalar.
« Último mensaje por mg en Hoy a las 03:21 pm »
Hola,

A menos que me equivoque y los compañeros del foro me corrijan, ocurre lo siguiente:

\( \left<{u,v}\right>=\left<{w,v}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u,v}\right>+\left<{-w,0}\right>=\left<{w,v}\right>+\left<{-w,0}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u-w,v}\right>=\left<{0,v}\right> \). Por tanto ocurre lo siguiente, o bien \( u-w=0 \) o bien \( (u-w)\perp{}v \).
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Producto escalar.
« Último mensaje por franma en Hoy a las 03:12 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
¿Es cierto que si \( v \) es un vector no nulo entonces la igualdad \( 〈u,v〉=〈w,v〉 \) implica \( u=w \)? ¿Que puede decirse de \( u−w \)?

Para la primera parte es fácil dar un contra ejemplo:
\( u=(10,0,0) \)
\( w=(5,0,5) \)
\( v=(1,1,1) \)

\( 〈u,v〉= 〈w,v〉 = 10 \) sin embargo \( u≠w \).

No le encuentro sentido a la parte 2, no veo que tiene de especial \( u-w \), ¿Alguien me podría dar alguna idea?

Saludos,
Franco.
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Buenas,

No está bien. Si optas por la vía algebraica. De mis indicaciones llegarás a:

Me lo esperaba , es bastante lioso hacerlo analíticamente (al menos comparado con el método geométrico que propones).
He logrado llegar al resultado así que muchas gracias  :aplauso:

Una pequeña pregunta relacionada, si el ejercicio explicitara que son vectores de \( R^3 \) ¿no cambiaría nada?
Tal vez sea una pregunta extraña, pero solo recientemente he empezado con todo el tema del espacio y me cuesta imaginar algunas cosas tridimensionales.

Saludos,
Franco.
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Libros / Re: Algunos libros clásicos pasados a LaTeX
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 10:15 am »
Hola

Gracias Luis,
No sé si será este porque Fernando no da el nombre del autor
Saludos

Me he basado en esto:

https://github.com/holtzermann17/planetmath-docs/issues/35

donde con un enlace casi igual al que ponía Fernando hace referencia a varios libros y en concreto de Álgebra, el que puse.

Saludos.
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Hola

Gracias a todos por sus aportes.
Si no me equivoque con ninguna cuenta (poco probable  :laugh:) mi resultado es:
\( \displaystyle ||v||=\frac{1}{2}||u||\cdot cos(\pi /4) \)

No está bien. Si optas por la vía algebraica. De mis indicaciones llegarás a:

\( (\|u\|^2+\|v\|^2+2\|u\|\|v\|cos(\pi/4))cos^2(\pi/6)=\|u\|^2+\|v\|^2cos^2(\pi/4)+2\|u\|\|v\|cos(\pi/4) \)

\( \|v\|^2(cos^2(\pi/4)-cos^2(\pi/6))+2\|u\|\|v\|cos(\pi/4)sin^2(\pi/6)+\|u\|^2sin^2(\pi/6)=0 \)

y de ahí puedes despejar \( \|v\| \).

La vía geométrica es sencilla si haces el dibujo.


Por el Teorema de los Senos:

\( \dfrac{\|u\|}{sin(\pi/4-\pi/6)}=\dfrac{\|v\|}{sin(\pi/6)} \)

Saludos.
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Libros / Re: Algunos libros clásicos pasados a LaTeX
« Último mensaje por ToniGim en Hoy a las 10:07 am »
Gracias Luis,
No sé si será este porque Fernando no da el nombre del autor
Saludos
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Cálculo 1 variable / Re: n-ésima iteración de un mapeo logístico
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 09:36 am »
Hola

Creo que otra forma de verlo(aunque tal vez más complicada que la que dijo Luis), es la siguiente:
Supón por el contrario que existe un \( x\in{   \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)       } \) tal que \( f^{n}(x)\in{\left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right) } \) para toda \( n \). Dado que \( x<f(x) \)(ya que \( 0<x<\displaystyle\frac{2}{5} \)) y que \( f \) es estrictamente creciente en \( \left(     0,\displaystyle\frac{2}{5}          \right)  \), se tiene que \( \left\{{f^{n}(x)}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) es una sucesión estrictamente creciente acotada superiormente por \( \displaystyle\frac{2}{5} \), por tanto converge. Pero si esa sucesión converge, debe converger a un punto fijo, luego como el límite de la sucesión debe ser menor o igual que \( \displaystyle\frac{2}{5} \), se sigue que dicho punto fijo es el cero, pero esto es imposible ya que el cero es punto fijo repulsor. Consiguientemente, existe una \( n \) tal que \( f^{n}(x)\in{[2/5,3/5]} \).

Pero ahí falta algo para justificar que si no está en \( (0,2/5) \) entonces está en \( [2/5,3/5] \). ¿No?. Podría valer más de \( 3/5 \), por ejemplo.

Saludos.
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