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Mensajes - Masacroso

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2) El mero hecho de que una modificación de las soluciones ofertadas, dote de sentido o no a la pregunta, es lo que la convierte en paradójica (o chocante, si no te gusta la palabra paradójica). Es decir realmente no creo que esté en desacuerdo contigo. Es vital para entendendernos saber a que estás llamando algo paradójico, lo que yo defiendo es que este problema, sin entrar en honduras,  tiene el mismo nivel de paradoja que "esta frase es falsa". Si estás de acuerdo en eso, poco queda que discutir.

Bueno, sí, pero eso pasa con cualquier pregunta en la que se oferten respuestas, dependiendo de lo que se oferte tendrá sentido o no lo tendrá. En este caso es más llamativo que de normal porque las respuestas que se ofertan son "del mismo tipo", es decir, probabilidades, unas probabilidades entran en conflicto con el esquema de lo que se pregunta y otras no. El mecanismo es una autorreferencia cruzada, dependiendo de cómo se crucen puede tener sentido o no, no es tan raro después de todo si uno lo visualiza como una serie de engranajes: dependiendo de cómo enganches las piezas los engranajes giran o no.

De todas formas por explorar más tu idea otra pregunta. ¿Y si las respuestas ofertadas fuesen 10% 35% 45% 95%?. ¿Cómo lo ves?.

Saludos.

En este caso la probabilidad de acertar sería nula ya que el evento \( \{\Pr [X=0]=0\} \) es válido.

Aunque eso me hace pensar que debería modificar el modelo que puse en mi anterior respuesta, es decir \( X:\Omega \to \mathbb{R} \) sería la variable aleatoria que muestra el valor de la pregunta elegida al azar. En ese caso \( \Pr [X=r]=0 \) si \( r \) nunca se muestra. Eso hace que al modelo de mi respuesta anterior haya que añadir un montón de eventos nulos, en concreto todos los eventos \( \{\Pr [X=r]=0\} \) para \( r\in \mathbb{R}\setminus \{0,1/4,1/2\} \).

Para completar el modelo tenemos que definir la segunda medida de probabilidad, la que se lleva a cabo en el espacio de probabilidad de los eventos de la forma \( \{\Pr [X=a]=b\} \), y ésta se puede definir como \( \Pr _2[\{\Pr [X=x]=x\}]=x \) cuando \( x\in[0,1] \) y cero en cualquier otro caso. En ese caso la pregunta que da origen al hilo daría lugar a un espacio de medida que no es un espacio de probabilidad ya que tendríamos que \( \Pr _2[\Omega ]=0 \).

En cualquier caso si la pregunta tuviese sentido o no lo tuviese siempre habría un modelo que lo reflejase, por eso digo que las paradojas no existen, es decir, son la ilusión de algo que parece tener sentido pero en verdad no lo tiene.

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No tiene nada que ver, ahí la probabilidad de acertar es cero porque preguntar por la capital de un país es una pregunta con sentido al existir tal capital. Si España no tuviese capital, por ejemplo si no fuese un país, entonces la pregunta anterior no tendría sentido y la respuesta no sería cero. Es el mismo ejemplo del color del número pi que te he puesto antes.

No lo entiendo. En general no entiendo cuando dices que la probabilidad no existe. Estamos hablando de elegir al azar a,b,c ó d (olvídate por un momento del significado de cada opción). Es un experimento aleatorio perfectamente definido.

Qué va, no está bien definido, para nada, ya que se pregunta por la probabilidad de algo que no es un suceso, es decir, que no pertenece a ningún espacio de probabilidad. Por eso no existe respuesta alguna.

Es decir, tenemos que \( \Pr [X=0]=\Pr [X=1/2]=1/4 \) y \( \Pr [X=1/4]=1/2 \) de un primer espacio de probabilidad, y se pide ahora hallar \( \Pr [\{\Pr [X=x]=x\}] \) de un segundo espacio de probabilidad donde \( \Omega =\{\{\Pr [X=0]=1/4\},\{\Pr [X=1/2]=1/4\},\{\Pr [X=1/4]=1/2\}\} \), es decir, el evento sobre el que se pide hallar una probabilidad en verdad no es un evento porque no es ningún subconjunto del espacio de probabilidad.

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Lo discutible en todo caso es si existe el suceso "acertar la respuesta correcta" y es ahí donde entramos en el vértigo de lo chocante desde el punto de vista intuitivo.

Por ejemplo si las opciones fuesen (a) 0%, (b) 25%, (c) 50% y (d) 75%. ¿Estarías de acuerdo con que la opción correcta es la (b)?.

Saludos.

Claro, porque ahí el evento \( \{\Pr [X=x]=x\} \) si formaría parte del espacio de probabilidad.

Aclaro: por \( \{\Pr [X=x]=x\} \) entiendo un único evento de la forma dada para un \( x \) determinado. En el caso de (a) 0%, (b) 25%, (c) 50% y (d) 75% tenemos que \( \{\Pr [X=25\%]=25\%\} \) es el evento buscado.

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Hola

Yo niego rotundamente que exista paradoja alguna, por existir me refiero a que realmente exista como fenómeno más allá de una confusión lingüística, ni en la pregunta que da origen al hilo ni en la frase que acabas de poner. Para que haya paradoja debe haber sentido, y en, por ejemplo "esta frase es falsa" no existe el sentido ya que una frase no puede ser falsa ni verdadera, en todo caso podríamos calificar de verdadero o falso su significado, pero primero hay que dotarle de tal significado. Una vez dado significado entonces ya podemos empezar a discutir cosas sobre él, pero no antes.

La cosa es que no hay una definición 100% objetiva de que es una paradoja. La mayor parte de las paradojas famosas, simplemente se "resuelven" o dejan de ser paradojas (dejan de ser chocantes desde el punto de vista lógico) si establecemos de manera clara o reformulamos "las reglas del juego".

Si para ti "esta frase es falsa", que es en esencia la Paradoja de Rusell, no es una paradoja. Simplemente pues le llamas paradoja a otra cosa. ¿A qué?.

No, hablamos de lo mismo, pero he dicho que las paradojas no existen más allá de ser una confusión lingüística, que su dimensión es esa, no otra.

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En el caso de la pregunta que da enunciado al tema estamos en las mismas: la probabilidad no existe ya que por lo que se pregunta no es algo posible, es decir, no es un suceso y por tanto no se le puede adjudicar probabilidad alguna, ni siquiera cero. Es decir: al no haber respuesta correcta posible no tiene sentido preguntar por la probabilidad de acertar.

Cuál es la capital de España: (a) Bélgica (b) Paris (c) Londres. Probabilidad de acertar si se elige una de las tres: cero. ¿No tiene sentido eso? No veo porqué (no sé si te refieres a un problema técnico de que no haya ningún suceso con probabilidad no nula  :D).

No tiene nada que ver, ahí la probabilidad de acertar es cero porque preguntar por la capital de un país es una pregunta con sentido al existir tal capital. Si España no tuviese capital, por ejemplo si no fuese un país, entonces la pregunta anterior no tendría sentido y la respuesta no sería cero. Es el mismo ejemplo del color del número pi que te he puesto antes.

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En esencia es una paradoja como la típica de: "Esta frase es falsa" (si es verdadera... es falsa; pero si es falsa.. es verdadera... y lío círcular...). También puede ser que le llames "recreaciones matemáticas o juego" a lo que normalmente se les llama paradojas   :D

Saludos.

Yo niego rotundamente que exista paradoja alguna, por existir me refiero a que realmente exista como fenómeno más allá de una confusión lingüística, ni en la pregunta que da origen al hilo ni en la frase que acabas de poner. Para que haya paradoja debe haber sentido, y en, por ejemplo "esta frase es falsa" no existe el sentido ya que una frase no puede ser falsa ni verdadera, en todo caso podríamos calificar de verdadero o falso su significado, pero primero hay que dotarle de tal significado. Una vez dado significado entonces ya podemos empezar a discutir cosas sobre él, pero no antes.

En el caso de la pregunta que da enunciado al tema estamos en las mismas: la probabilidad no existe ya que por lo que se pregunta no es algo posible, es decir, no es un suceso y por tanto no se le puede adjudicar probabilidad alguna, ni siquiera cero. Es decir: al no haber respuesta correcta posible no tiene sentido preguntar por la probabilidad de acertar. Para aclararlo: la pregunta que da inicio al tema es equivalente a preguntar cuál es la probabilidad de que el número pi sea verde. Lo que pasa es que la pregunta de inicio del tema está hecha de tal manera que su sinsentido no sea tan evidente sino más bien que parezca que tiene sentido.

Resumiendo: si uno se encuentra una paradoja entonces puede empezar a dar saltos de alegría porque son justamente las paradojas y contradicciones aquello que hace avanzar el conocimiento. Precisamente en un vídeo de Javier Santaolalla éste explicaba cómo había cierta ilusión por los resultados de un experimento reciente, precisamente porque contradecía el modelo estándar y, por tanto, tenía la facultad de hacer avanzar nuestro conocimiento sobre el universo.

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osea que en este caso seria mi funcion en mi caso base  f(n) +(n+1)...=n.(n+1) ?

No logre mucho interpretarlo asi



No entiendo qué quieres decir. Arriba en mi primera respuesta \( f \) es una función recursiva que calcula los factoriales empezando por el valor de \( 0!=1 \).

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Hola chicos queria saber como definir recursivamente para n!

Muchas Gracias

Por ejemplo definiendo \( f(n+1):=(n+1)\cdot f(n) \) y \( f(0)=1 \).

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Teoría de números / Re: Divisibilidad
« en: 05 Mayo, 2021, 09:43 pm »
. Sean a y b enteros no nulos. Probar que a divide a b+3a si y sólo si a divide a b.

Bien en este ejercicio podemos decir:  \( a \mid (b+3a) \iff a\mid b \)

como puedo seguir para probar eso?  AYUDA POR FAVOR! :o :banghead:

Desde la administración te escribimos la expresión en Latex




Tienes que probar primero que \( a\mid (b+3a)\implies a\mid b \) y después que \( a\mid b\implies a\mid (b+3a) \). La segunda es inmediata, la que tiene más complicación es la primera. Para probar la primera podemos utilizar el contrarrecíproco, es decir que

\( \displaystyle{
(a\mid (b+3a)\implies a\mid b)\iff (a\nmid b \implies a\nmid (b+3a))
} \)

que significa que si probamos cualquiera de las cosas a los lados del símbolo \( \iff \) entonces la otra también es verdadera. Eso es debido a que la tabla de verdad de la implicación \( A\implies B \) es la misma que la de \( \lnot B\implies \lnot A \).

Entonces volviendo al ejercicio, si demostramos que si \( a \) no divide a \( b \) entonces tampoco puede dividir a \( b+3a \) ya hemos terminado. Te lo dejo así planteado a ver si ya con eso puedes resolverlo, inténtalo y comenta a ver cómo te ha ido.

Añado: bueno, pensándolo mejor quizá sea más sencillo demostrar \( a\mid (b+3a)\implies a\mid b \) que el contrarrecíproco. Igualmente ahora tienes dos vías para poder hacer la demostración, una demostración directa o una demostración a través del contrarrecíproco.

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Sí, yo lo veo bien. Supongo que no lo has visto nunca porque en los desarrollos usuales de la geometría diferencial no se suelen usar multivectores (elementos de \[ \bigwedge^k TM \]).

Me alegro que tenga tu visto bueno, porque esta forma de interpretar que he descubierto hoy de casualidad me parece, de lejísimos, la forma más intuitiva de entender la integración de formas diferenciales que conozco hasta la fecha, o de entender las formas diferenciales en sí mismas, ya que la noción de multivector como una forma abstracta de volumen me parece bastante intuitiva de por sí.

Es como trasladar la abstracción de las formas diferenciales (y en cierto sentido "eliminar" esa abstracción al verlos como funcionales) a una abstracción de multivectores en el espacio tangente, que es una idea geométrica cercana al álgebra de Clifford y, al menos para mí, muy intuitiva. Igualmente voy a intentar pulir esa idea intentando ver, formalmente, la integral como una suma de escalares con esa forma.

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Leyendo un libro sobre álgebra exterior y otros tipos de álgebras "similares" vi unos pasajes que me dieron algunas ideas, y es que si tenemos un espacio vectorial \( V \) de dimensión \( n \) entonces si \( \omega \in \bigwedge^k V^* \) entonces esta forma multilineal antisimétrica induce un funcional lineal en \( \bigwedge^k V \), es decir que \( \omega(x_1,\ldots ,x_k) \) puede entenderse como un funcional lineal \( \omega(x_1\wedge x_2\wedge \ldots \wedge x_k) \).

Entonces si tenemos una carta \( (\varphi ,U) \) en una variedad diferencial \( M \) de dimensión \( n \), una forma de entender la integral de una forma diferencial es como una "función de densidad" que a cada vector-volumen \( x\in \bigwedge^n TM \) le asigna un valor escalar. Entonces al ser \( \partial \varphi_1,\ldots ,\partial \varphi _n  \) un frame local en \( TM \) la integral \( \int_U \omega=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega   \) puede entenderse como la "suma" de los valores \( \omega(\partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n) \), lo cual es muy intuitivo siempre que entendamos \( \partial \varphi_1\wedge \partial \varphi _2\wedge  \ldots \wedge \partial \varphi _n \) como una noción de vector-volumen en \( \bigwedge^n TM \).

¿Os parece esta forma de entender la integración de formas diferenciales suficientemente correcta? Lo pregunto porque no lo he visto en ninguna parte.

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Computación e Informática / Re: Proyección matemática
« en: 04 Mayo, 2021, 02:53 pm »
@Masacroso Gracias de nuevo. Creo que lo estoy entendiendo. Imaginemos que estoy calculando el nivel de precision de un alumno aprendiendo inglés.
Teniendo en cuenta lo expuesto, ¿qué nivel de precisión debería ponerle en la nota final? ¿Un 7.3 o un 7.5?
Es decir, ¿consideramos que el alumno tiene una fluidez de 7.3 o bien de 7.5?

Estamos en las mismas, ¿qué significa "nivel de precisión"? Todo depende de lo que quieras evaluar y su significado preciso.

Por ejemplo el a) de lo que decías antes se puede entender como la media entre dos evaluaciones que han transcurrido en diferentes momentos, que en general no tiene mucho que ver con el número de preguntas totales hechas, ya que es posible que cada examen tenga un número diferente de preguntas y que además cada pregunta se puntúe de manera distinta.

Corrección: quería decir a) donde había puesto b).

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Computación e Informática / Re: Proyección matemática
« en: 04 Mayo, 2021, 02:20 pm »
@Masacroso Gracias, estoy calculando la media del porcentaje de acierto del usuario en ambos ejercicios. En realidad creo que estoy calculando lo mismo de dos maneras distintas. ¿Por qué me da dos resultados distintos y cuál es el correcto?

La a) es la media de dos porcentajes de acierto, y la b) es la media de preguntas totales acertadas. Son dos cosas distintas, y con la expresión "la media del porcentaje de acierto" no queda claro del todo qué es lo que quieres calcular, tienes que aclarar la media de acierto de qué, ¿de cada pregunta? Si es así entonces es la b). La a) sería la media de los porcentajes de acierto, cosa que no creo sea lo que realmente quieres calcular.

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Computación e Informática / Re: Proyección matemática
« en: 04 Mayo, 2021, 02:00 pm »
Solamente una duda más, o quizás debería abrir una nueva discusión, no estoy seguro.

Imaginemos que un usuario realiza un ejercicio en el que contesta bien a 2 preguntas de tres. Porcentaje acierto=66%
El usuario hace otro ejercicio en el que contesta bien a 4 preguntas de cinco. Porcentaje acierto=80%

Aquí veo dos posibilidades de calcular la media.

a) (66% del primer ejercicio + 80% del segundo ejercicio) dividido por 2 nos da un porcentaje de acierto de 73%
b) Otra forma de verlo es que ha contestado bien a 6 preguntas de 8, con lo cual 6 / 8 = 75%

¿Por qué esta diferencia y qué porcentaje sería el correcto para calcular la media?

Para hallar la respuesta deberías aclarar qué media estás calculando, es decir ¿la media de qué cosa? A partir de ahí verás la forma correcta de hallarla. Tú has calculado en a) y b) dos medias de dos cosas diferentes.

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Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo de grupo
« en: 04 Mayo, 2021, 06:42 am »
Muy claro gracias a ambos.

Saludos

Por añadir algo: en este tipo de ejercicios resulta muy útil hacer diagramas, por ejemplo en este podemos hacer el siguiente diagrama:

\( \displaystyle{
\xymatrix@M+=.6pc{N\,\, \ar @{>->}[r]^i \ar@{>->>}[rd]_{f\circ i} & G \ar[d]^f \ar@{->>}[r]^\pi  & G/K \ar@{>->>}[ld]^{\tilde f} \\      & H& \\   }
} \)

En el diagrama de arriba las flechas con cola significan que son mapas inyectivos, y las de doble cabeza que son sobreyectivas. Todas las flechas representan morfismos de grupos y todas las funciones ahí son conocidas exceptuando quizá la \( i \) que es la función \( i:N\to G,\, g \mapsto g \), es decir que \( f|_N=f\circ i \).

Las flechas que tienen cola y doble cabeza son isomorfismos y es fácil ver en el diagrama que todos los caminos entre dos puntos (si pueden ser recorridos) definen las mismas funciones, es lo que se denomina un diagrama conmutativo. Entonces a partir de ahí podemos ver lo que nos interesa, es decir, que la función \( \pi \circ i \) es un isomorfismo ya que \( \pi \circ  i=(\tilde f)^{-1}\circ (f\circ i) \) (y lo de la derecha es la composición de dos isomorfismos), y llegar a la conclusión de que \( G=NK \). Luego utilizando la normalidad de \( N \) (y de \( K \)) podemos crear un isomorfismo entre \( NK \) y \( N\times K \), finalizando el ejercicio.

Edición: cambiamos imagen por código de \( \LaTeX \), lo cual es más cómodo y eficiente.

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Sea \( {G} \) un grupo y \( S,T \subseteq{G} \). Demuestre que \(  \left<{S\cap{T}}\right> \subset \left<{S}\right>\cap\left<{T}\right> \); de un ejemplo en donde \( \left<{S\cap{T}}\right> \neq \left<{S}\right>\cap\left<{T}\right> \).

Observa que para demostrar esto \(  \left<{S\cap{T}}\right> \subset \left<{S}\right>\cap\left<{T}\right> \) es suficiente con demostrar que \(  \left<{S\cap{T}}\right> \subset \left<{S}\right> \) y que \(  \left<{S\cap{T}}\right> \subset \left<{T}\right> \).

Para el ejemplo dado mira a ver \( S=\{2\} \) y \( T=\{3\} \) para \( 2,3\in \mathbb{Z} \) (donde la suma es la operación de grupo).

Citar
Establezca \( \left<{S\cup{T}}\right> = \left<{\left<{S}\right> \cup \left<{T}\right>}\right> \).


Para demostrar esto primero observa que \( \langle S\cup T \rangle \subset \langle \langle S \rangle \cup \langle T \rangle \rangle \) es obvio ya que \( (S\cup T)\subset \langle S \rangle \cup \langle T \rangle \). Ahora observa que \( \langle  S\rangle \subset \langle S\cup T \rangle \) y \( \langle  T\rangle \subset \langle S\cup T \rangle \), por tanto \( \langle  S\rangle \cup \langle T \rangle \subset \langle S\cup T \rangle \), de donde finalmente se sigue que \( \langle\langle  S\rangle \cup \langle T \rangle\rangle \subset \langle S\cup T \rangle \).

Citar
Compare los subgrupos de \( G^2:\left<{S}\right>\times\left<{T}\right> \) y \( \left<{S\times T}\right> \).

Por "comparar" creo que se refiere a que mires si uno contiene al otro o viceversa. Prueba a ver lo que encuentras con \( S=\{2\} \) y \( T=\{3\} \) como subconjuntos de \( \mathbb{Z} \).

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Hola a todos! (De antemano muchas gracias si me pueden ayudar)

Estoy escribiendo mi tesis en lyx y ahora tengo un problema con el índice de contenidos al generar el pdf. Tengo 4 apéndices (A, B, C, D) y no sé porque en los títulos "sección" me los arroja en distintas hojas para el apéndice C y D, dejando cortado el índice.

Si alguien sabe como poder solucionar ese error, estaría infinitamente agradecida.

Me parece que LYX tiene una opción para importar a LaTeX, en ese caso yo intentaría exportar a LaTeX (o TeX) y ver el código generado para intentar ver cuál pueda ser el problema.

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Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo de grupo
« en: 03 Mayo, 2021, 12:42 pm »
Añado: no estoy del todo seguro pero me parece que la normalidad de \( N \) es un dato superfluo.
Sí es necesario. Sin esa condición lo más que puedes decir es que es un producto semidirecto. Por ejemplo, considera el grupo diedral \[ D_{2n} \] con generadores \[ \rho \] de orden \[ n \] (rotación) y \[ \sigma \] de orden \[ 2 \] (reflexión). El morfismo \[ f:D_{2n} \to \Bbb Z/2 \] con \[ f(\sigma)=1, f(\rho)=0 \] cumple con las condiciones del enunciado, con \[ K=\langle \rho \rangle \] y \[ N=\langle \sigma \rangle \], pero sin embargo \[ D_{2n} \not\cong K \times N \]. Lo que falla aquí es que \[ N \] no es normal.

Ya lo veo, claro en \( D_{2n} \) aunque podamos representar los elementos de la forma \( x^jy^k \) para \( j\in\{0,\ldots,n-1\} \) y \( k\in\{0,1\} \) tenemos que en general \( x^{j_1}y^{k_1} x^{j_2}y^{k_2}\neq x^{j_1+j_2}y^{k_1+k_2} \). Y sin embargo \( NK=KN \) si alguno (\( K \) o \( N \)) es normal. Había supuesto que demostrando que \( G=NK \) ya con eso era suficiente para tener \( NK\cong N\times K \), pero ya veo que no.

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Entiendo.
Yo ahora acabo de ver lo siguiente, no sé si estoy  bien.

En general, si \( f_k\to f \) en \(  L^p  \) entonces \( T_{f_k}\to T_f \) en \( \mathcal{S}'. \)
Dem: Sin perder generalidad, lo anterior es equivalente a \( g_k\to 0 \) en \(  L^p \) entonces \( T_{g_k}\to 0 \) en \( \mathcal{S}' \) con \(  g_k=f_k-f \).
Por Desigualdad de Holder, \( |g_k\psi|_1\leq |g_k|_{p}|\psi|_{p'}\to 0 \) luego  \( |g_k\psi|_1\to 0  \), es decir, \( \int g_k(x)\psi(x)dx\to 0 \) para cada \(  \psi\in\mathcal{S} \).
Por lo tanto, \( T_{g_k}\to 0 \) en \(  \mathcal{S}'. \)

Yo lo veo correcto, la argumentación es clara y el resultado también.


Citar
Usando el resultado anterior, si \( T_{\sigma}\varphi_k\to f \) en \( L^p \) entonces \( T_{\sigma}\varphi_k(\psi)\to f(\psi) \) para cada \( \psi\in\mathcal{S} \), es decir, \( \int T_{\sigma}\varphi_k(x)\psi(x)dx\to \int f(x)\psi(x) \), es decir, \( (T_{\sigma}\varphi_k,\psi)\to (f,\psi) \)
¿Estaría bien de esta forma?

Claro, la desigualdad de Hölder nos muestra que es así, ya que \( |(T_\sigma \varphi_k -f,\psi )|\leqslant \|T_\sigma \varphi _k-f\|_p\|\psi \|_{p'} \). Al menos yo no veo nada raro ahí.

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La verdad es que no estoy seguro  como comprobarlo. Podría intentar buscar el Polinomio característico para comprobar si es verdad? El problema que tengo con lo de buscar el polinomio es que nunca hemos derivado una rotación en el \( \Bbb R^3 \), por eso no estoy seguro donde empezar.

Salu2

El polinomio característico es un polinomio de grado tres de coeficientes reales, y por tanto su gráfica corta el eje de abscisas en al menos un punto, por tanto tiene una raíz real, así que...

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Otro aquí presente que vio el vídeo de Santaolalla, jeje  :P

Spoiler
Para los que no entiendan la referencia:


Añado una pequeña reflexión: en mi (más que mi actual) juventud pensé bastante sobre este tipo de paradojas, lo que me llevó a leer algo de filosofía, especialmente me interesó el punto de Wittgenstein que dice, grosso modo, que las paradojas no existen sino que son más bien limitaciones del lenguaje humano o juegos gramaticales creados adrede.

La idea de "limitación del lenguaje" también se puede entender como limitación de un modelo determinado al poner unos determinados conceptos en contradicción. La paradoja del barbero, o la de Bertrand Russel, en esencia se fundan en una muy pobre o vaga definición de conjunto. Siempre que un concepto no sea lo suficientemente concreto se puede escribir una paradoja en base a él, lo que nos lleva a darnos cuenta que siempre se pueden dar paradojas al no ser nuestro lenguaje lo suficientemente definido o contextualizado, y que nuestro lenguaje siempre tendrá sentido dentro de un marco limitado.

Es por eso que el desarrollo humano (y en particular tecnológico) implica siempre la creación de un nuevo lenguaje que de cuenta de los nuevos fenómenos que, de otro modo, serían lingüísticamente paradójicos o contradictorios.

El siguiente ensayo es interesante respecto a lo recién comentado:
www.filosoficas.unam.mx/~tomasini/ENSAYOS/Contras.pdf
[cerrar]

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Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo de grupo
« en: 03 Mayo, 2021, 06:56 am »
Hola necesito una pista para la siguiente demostración

Sea \( N \) un subgrupo normal del grupo \( G \) y \( f : G \longrightarrow{} H \) un homomorfismo de grupos tal que la restricción de \( f  \)a \( N \) es un isomorfismo \( N \cong H \). Muestre que \( G \cong N \times  K \) donde \( K \) es el núcleo de \( f \)

De antemano gracias

Saludos


Del primer teorema de isomorfismos de grupos tienes que \( G/K\cong H \) y por tanto \( G/K\cong N \). Como \( f=\tilde f\circ \pi \) para una única función \( \tilde f:G/K\to H \) (que es un isomorfismo) definida por \( \tilde f(gK)=f(g) \), siendo \( \pi: G\to G/K,\, g\mapsto gK \) (usando la notación multiplicativa de grupos) la proyección canónica, entonces \( f|_N=\tilde f\circ \pi|_N \)... y con eso creo que ya puedes resolverlo.

Añado: no estoy del todo seguro pero me parece que la normalidad de \( N \) es un dato superfluo.

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