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Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: Hauss en 16 Noviembre, 2019, 01:01 am

Título: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 16 Noviembre, 2019, 01:01 am
Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.

"¿Existe una función creciente  \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}}  \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "

De antemano, gracias.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Masacroso en 16 Noviembre, 2019, 01:51 am
Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.

"¿Existe una función creciente  \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}}  \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "

De antemano, gracias.

La función \( f(x):=x^2 \) demuestra que el teorema es falso. ¿Que cómo lo sé? Porque cuando una función es diferenciable y su derivada está acotada entonces es Lipschitz continua y por tanto uniformemente continua.

Ah, no, el contra-ejemplo de arriba no funciona. La función \( g(x):=\sqrt x \) es uniformemente continua.

EDICIÓN: ya está, ya tengo un contra-ejemplo válido:
\( \displaystyle{
f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)\lceil x \rceil^{(-1)^{\lceil x \rceil}}+\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}k^{(-1)^k}
} \)

La idea de la función de arriba era construir una función que fuese una recta a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes, y que fuese además continua, claro.

Entonces la inversa de esa función tiene las mismas propiedades (rectas a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes). Por construcción ni la función, ni su inversa, pueden ser uniformemente continuas. No sé si habrá un ejemplo más sencillo.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 16 Noviembre, 2019, 05:12 am
Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.

"¿Existe una función creciente  \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}}  \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "

De antemano, gracias.

La función \( f(x):=x^2 \) demuestra que el teorema es falso. ¿Que cómo lo sé? Porque cuando una función es diferenciable y su derivada está acotada entonces es Lipschitz continua y por tanto uniformemente continua.

Ah, no, el contra-ejemplo de arriba no funciona. La función \( g(x):=\sqrt x \) es uniformemente continua.

EDICIÓN: ya está, ya tengo un contra-ejemplo válido:
\( \displaystyle{
f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)\lceil x \rceil^{(-1)^{\lceil x \rceil}}+\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}k^{(-1)^k}
} \)

La idea de la función de arriba era construir una función que fuese una recta a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes, y que fuese además continua, claro.

Entonces la inversa de esa función tiene las mismas propiedades (rectas a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes). Por construcción la función, ni su inversa, pueden ser uniformemente continuas. No sé si habrá un ejemplo más sencillo.

Gracias al ejemplo que me plasmaste me di otra idea, gracias antes que nada, por ejemplo, la función:

\(  f(x)=\begin{cases} x^{2} & \text{si}& 5>x\geq{0}\\\sqrt(x) & \text{si}& x\geq{5}\end{cases}  \)

¿Cumpliria con lo requerido?, digo esto, ya que la función no seria continua en \( 5>x\geq{0} \) y entonces su inversa tampoco lo sería en \( x\geq{5} \), les agradeceria mucho si me ayudaran a saber si estoy en lo correcto, o en su defecto, saber porque.

Gracias.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Masacroso en 16 Noviembre, 2019, 05:23 am
Gracias al ejemplo que me plasmaste me di otra idea, gracias antes que nada, por ejemplo, la función:

\(  f(x)=\begin{cases} x^{2} & \text{si}& 5>x\geq{0}\\\sqrt(x) & \text{si}& x\geq{5}\end{cases}  \)

¿Cumpliria con lo requerido?, digo esto, ya que la función no seria continua en \( 5>x\geq{0} \) y entonces su inversa tampoco lo sería en \( x\geq{5} \), les agradeceria mucho si me ayudaran a saber si estoy en lo correcto, o en su defecto, saber porque.

Gracias.

Es que si no es continua entonces no tiene inversa en el mismo dominio, tendría inversa en un dominio disconexo. Igualmente esa función tiene una sola discontinuidad, de salto, en \( x=5 \), y no es creciente ya que \( f(4)>f(5) \).

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 16 Noviembre, 2019, 06:04 am
Es que si no es continua entonces no tiene inversa en el mismo dominio, tendría inversa en un dominio disconexo. Igualmente esa función tiene una sola discontinuidad, de salto, en \( x=5 \), y no es creciente ya que \( f(4)>f(5) \).

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).


Pero en este caso ya no sería ejemplo para el enunciado que puse verdad? esto ya que en el enunciado nos dice especificamente que el dominio es [0,\( \infty \))
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Masacroso en 16 Noviembre, 2019, 06:39 am
Es que si no es continua entonces no tiene inversa en el mismo dominio, tendría inversa en un dominio disconexo. Igualmente esa función tiene una sola discontinuidad, de salto, en \( x=5 \), y no es creciente ya que \( f(4)>f(5) \).

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).


Pero en este caso ya no sería ejemplo para el enunciado que puse verdad? esto ya que en el enunciado nos dice especificamente que el dominio es [0,\( \infty \))

Si \( f \) es discontinua y estrictamente creciente entonces tiene una inversa, pero su dominio no sería conexo. En el ejercicio nos dicen que el dominio de \( f \) es \( [0,\infty ) \) pero no nos dicen nada del dominio de \( f^{-1} \) así que en principio se podrían considerar funciones discontinuas y estrictamente crecientes cuya inversa no sea uniformemente continua.

Pero dudo mucho que sea esa la intención del ejercicio.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 16 Noviembre, 2019, 10:28 am

...en principio se podrían considerar funciones discontinuas y estrictamente crecientes cuya inversa no sea uniformemente continua.

Pero dudo mucho que sea esa la intención del ejercicio.

¿podrías darme un ejemplo de esto último?
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2019, 12:00 pm
Hola


...en principio se podrían considerar funciones discontinuas y estrictamente crecientes cuya inversa no sea uniformemente continua.

Pero dudo mucho que sea esa la intención del ejercicio.

¿podrías darme un ejemplo de esto último?

Métele un "salto" a cualquiera de las que ha indicado Masacroso.

Por ejemplo:

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+\color{red}2n\color{black} \) cuando \( x\in[n,n+1) \).

Saludos.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 23 Noviembre, 2019, 11:07 pm
Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Noviembre, 2019, 10:44 am
Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?

Considera:

\( x_n=n+1 \) y así \( f(x_n)=n+1. \)
\( y_n=n+1-\dfrac{1}{n+1} \) y así \( f(y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}+n \)

Entonces:

\( |x_n-y_n|=\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) cuando \( n\to \infty \)

y:

\( |f(x_n)-f(y_n)|=1-\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1-e^{-1} \) cuando \( n\to \infty \)

Por tanto no es uniformemente continua.

La inversa es:

\( f^{-1}(x)=(x-\lfloor x \rfloor)^{1/(n+1)}+n \) si \( x\in [n,n+1) \)

Haz algo similar tomando:

\( x_n=n \)
\( y_n=n+\dfrac{1}{n+1} \)

Saludos.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 25 Noviembre, 2019, 02:44 pm
Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?

Considera:

\( x_n=n+1 \) y así \( f(x_n)=n+1. \)
\( y_n=n+1-\dfrac{1}{n+1} \) y así \( f(y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}+n \)

Entonces:

\( |x_n-y_n|=\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) cuando \( n\to \infty \)

y:

\( |f(x_n)-f(y_n)|=1-\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1-e^{-1} \) cuando \( n\to \infty \)

Por tanto no es uniformemente continua.

La inversa es:

\( f^{-1}(x)=(x-\lfloor x \rfloor)^{1/(n+1)}+n \) si \( x\in [n,n+1) \)

Haz algo similar tomando:

\( x_n=n \)
\( y_n=n+\dfrac{1}{n+1} \)

Saludos.

Muchas gracias, saludos.
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 25 Noviembre, 2019, 06:01 pm
Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa pero \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \), ¿es continua?
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Masacroso en 25 Noviembre, 2019, 06:54 pm
Una imagen vale más que mil palabras:




En el applet de arriba se representan las gráficas de funciones del tipo \( g_m(x):=x^m \) en \( [0,1] \). Observa que la distancia entre las coordenadas en Y de los puntos \( P \) y \( Q \) siempre es igual a \( 1/2 \), sin embargo el valor que toma la coordenada en X del punto \( P \) es cada vez más cercano a la coordenada en X del punto \( Q \) conforme el valor de \( m \) se incrementa.

Yo lo que he hecho es pegar todas las funciones \( g_m \) en una sola función continua, eso es lo que significa \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Eso nos asegura, por lo dicho antes sobre los puntos \( P \) y \( Q \), que \( f \) no es uniformemente continua (aunque es creciente).

De una forma parecida se puede demostrar que la inversa tampoco es uniformemente continua ya que a las funciones del tipo \( h_m(x):=\sqrt[m]{x} \) en \( [0,1] \) les pasa algo semejante pero con puntos diferentes a lo mostrado en la gráfica anterior, y la inversa de \( f \) es un pegado de funciones del tipo \( h_m \).

AÑADO: ésta es la gráfica de \( f \):

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=111227.0;attach=21476)
Título: Re: Continuidad uniforme.
Publicado por: Hauss en 26 Noviembre, 2019, 02:33 am
Una imagen vale más que mil palabras:




En el applet de arriba se representan las gráficas de funciones del tipo \( g_m(x):=x^m \) en \( [0,1] \). Observa que la distancia entre las coordenadas en Y de los puntos \( P \) y \( Q \) siempre es igual a \( 1/2 \), sin embargo el valor que toma la coordenada en X del punto \( P \) es cada vez más cercana a la coordenada en X del punto \( Q \) conforme el valor de \( m \) se incrementa.

Yo lo que he hecho es pegar todas las funciones \( g_m \) en una sola función continua, eso es lo que significa \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Eso nos asegura, por lo dicho antes sobre los puntos \( P \) y \( Q \), que \( f \) no es uniformemente continua (aunque es creciente).

De una forma parecida se puede demostrar que la inversa tampoco es uniformemente continua ya que a las funciones del tipo \( h_m(x):=\sqrt[m]{x} \) en \( [0,1] \) les pasa algo semejante pero con puntos diferentes a lo mostrado en la gráfica anterior, y la inversa de \( f \) es un pegado de funciones del tipo \( h_m \).

AÑADO: ésta es la gráfica de \( f \):

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=111227.0;attach=21476)


De verdad muchísimas gracias, ademas de quedarme claro el ejemplo con las graficas me queda claro el concepto de continuidad uniforme.