[Dibu]

Hola este problema no la pude hacer
Sea \( U\subset{R}^m \) una bola abierta de centro \( 0 \). Una aplicación \( f:U\longrightarrow{R}^n \) se llama par cuando \( f(-x)=f(x) \) para todo \( x\in{U} \) e impar cuando \( f(-x)=-f(x) \) si \( f \) es par, mostrar que sus derivadas de orden par también lo son y sus derivadas de orden impar también lo son.

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar basta probar el resultado para cada componente y por tanto podemos trabajar con funciones sobre \( R \):

\( f:U\subset R^m\longrightarrow R \)

 Ahora si \( f \) es par:

\(  f(x)=f(-x) \)

 Calculando la derivada parcial respecto a \( x_i \) y aplicando  la regla del cadena:

\(  \dfrac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x)=- \dfrac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(-x) \)

 Es decir las parciales de orden uno son impares.

 Si \( f \) es impar:

\(  f(x)=-f(-x) \)

 Calculando la derivada parcial respecto a \( x_i \) y aplicando  la regla del cadena:

\(  \dfrac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x)= \dfrac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(-x) \)

 Es decir las parciales de orden uno son pares.

 Ahora el resultado pedido sale aplicando inducción.

Saludos.