Por otro lado, te agradezco que hayas dejado la demostración. Sin embargo, me cuesta un poco ver por qué si descompongo \( m \) y \( n \) en factores primos, se observa que \( a=[n,m]k_{3} \)
Supón que \( \{p_k\}_{k\in\mathbb{N}} \) es una enumeración de los números primos en \( \mathbb{N} \), entonces \( n=\prod_{k\in \mathbb{N}}p_k^{n_k} \) y \( m=\prod_{k\in \mathbb{N}}p_k^{m_k} \) para determinados \( n_k,m_k\in \mathbb{N}\cup \{0\} \) donde, excepto un número finito de \( n_k \) y de \( m_k \), todos esos números son iguales a cero. Entonces \( [n,m]=\prod_{k\in \mathbb{N}}p_k^{\max\{n_k,m_k\}} \).
Ahora observa que, para cada \( k\in \mathbb{N} \), o bien \( p_k^{\max\{ n_k,m_k \}}\mid n \) o bien \( p_k^{\max\{ n_k,m_k \}}\mid m \), y por tanto \( p_k^{\max\{ n_k,m_k \}}\mid a \) en todo caso (ya que \( a \) es divisible por \( n \) y por \( m \)), de donde se sigue que \( [n,m]\mid a \) (ya que todos los factores primos de \( [n,m] \) dividen a \( a \)). Dime si ahora lo ves más claro.
Añadido: para hacer esta última afirmación en paréntesis una demostración rigurosa podemos usar el siguiente teorema:
Teorema: si \( \operatorname{MCD}(x,y)=1 \) y tanto \( x \) como \( y \) dividen a \( g \), entonces \( x\cdot y \) también divide a \( g \).
Demostración: tenemos que \( g=x\cdot k \) para algún \( k\in \mathbb{N} \). Si \( y\nmid k \) entonces en particular alguno de los factores primos de \( y \), llamémosle \( p \), no divide a \( k \), y como \( y\mid x\cdot k \) entonces \( p\mid x \), pero eso contradice el que \( x \) e \( y \) sean primos entre sí, por tanto \( y\mid k \).∎
Del teorema anterior, y teniendo en cuenta que en la descomposición \( [n,m]=\prod_{k\in \mathbb{N}}p_k^{\max\{n_k,m_k\}} \) cada factor \( p_k^{\max\{ n_k,m_k \}} \) es primo relativo a cualquier otro factor \( p_j^{\max\{ n_j,m_j \}} \) con \( j\neq k \), utilizando inducción en \( N \) podemos demostrar que, para todo \( N \), \( \prod_{k=1}^N p_k^{\max\{ n_k,m_k \}} \) divide a \( a \), y como existe \( R\in \mathbb{N} \) tal que \( \prod_{k=1}^R p_k^{\max\{ n_k,m_k \}}=\prod_{k\in \mathbb{N}} p_k^{\max\{ n_k,m_k \}} \), ya habríamos demostrado con más formalidad que \( [n,m]\mid a \).