Hola
Suponga que \( f \) es analítica en el disco abierto unitario y que existe una constante \( M \) tal que \( \left| f^{(k)}(0)\right|\leq M^k \) para toda \( k \). Muestre que \( f \) puede ser extendida a una función entera.
Si es analítica en el disco tienes que \( f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kx^k \). Como:
\( \left| f^{(k)}(0)\right|\leq M^k \)
entonces:
\( |a_k|\leq \dfrac{M^k}{k!} \)
y
\( |f(x)|\leq \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{{M|x|}^k}{k!}=e^{M|x|} \)
y así la serie converge en todo el plano complejo.
Saludos.
