[Juan Hernández]

Sea \( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \) una serie de potencias con radio de convergencia \( R>0 \). Si \( 0<r<R \),
muestre que existe una constante \( M>0 \) tal que \( \left|a_n\right|\leq Mr^{-n} \) para \( n=0,1,\ldots \)

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \) una serie de potencias con radio de convergencia \( R>0 \). Si \( 0<r<R \),
muestre que existe una constante \( M>0 \) tal que \( \left|a_n\right|\leq Mr^{-n} \) para \( n=0,1,\ldots \)

Por hipótesis tienes que:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n \) converge.

Por tanto \( |a_n|r^n\to 0 \) y así es una sucesión acotada. es decir existe \( M>0 \) tal que \( |a_n|r^n\leq M \) para \( n\geq 0 \).

Saludos.