[Simo]

Buenas.

Tengo dudas sobre esta demostración, debería ser sencillo, pero no lo veo, que no sé cuál es la mejor forma de resolverlo.
¿Qué pasos tendría que seguir?

demostrar que \(((\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}-1i)^{60}=-2^{90}\)

Son números complejos como pueden notar y se que debo calcular el modulo y el ángulo con arco tangente pero la parte real me da \( 2(\sqrt{3}+1) \) y al realizar operaciones no logro llegar a números que no sean decimales, estoy tratando de usar la formula de De Moivre

Gracias por vuestra atención.
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas.

Tengo dudas sobre esta demostración, debería ser sencillo, pero no lo veo, que no sé cuál es la mejor forma de resolverlo.
¿Qué pasos tendría que seguir?

demostrar que \(((\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}-1i)^{60}=-2^{90}\)

Son números complejos como pueden notar y se que debo calcular el modulo y el ángulo con arco tangente pero la parte real me da \( 2(\sqrt{3}+1) \) y al realizar operaciones no logro llegar a números que no sean decimales, estoy tratando de usar la formula de De Moivre

 Pues antes de nada revisa el enunciado, porque esa igualdad NO es cierta.

Saludos.

[Simo]

Gracias, pero debe haber una manera de demostrar que es o que no es

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Qué pasos tendría que seguir?

demostrar que \((\textcolor{red}{(}\sqrt{3}+1\textcolor{red}{)}+\sqrt{3}-\textcolor{red}{1}i)^{60}=-2^{90}\)

Me pregunto ¿qué sentido tienen los paréntesis en rojo y el uno que acompaña al número \( i \)?  ¿No sería más claro pedir si es cierta o no la igualdad \( (2\sqrt{3}+1-i)^{60}=-2^{90} \)? Bienvenido al foro
Añadido:
Algo me dice que el enunciado sería \(  ((\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i)^{60}=-2^{90} \)

Spoiler

\(  ((\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i)^{60}=(2\sqrt{2})^{60}_{60\,\theta}=2^{90}_{180^{\circ}}=-2^{90} \) donde \( \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \)
Téngase en cuenta que \( \tan^2 15^{\circ}=\tan^2\dfrac{30^{\circ}}{2}=\dfrac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)^2 \) de donde \( \theta=15^{\circ}\Longrightarrow 60\cdot 15^{\circ}=900^{\circ}=180^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

[Simo]

  muchísimas, listo