[ancape]

Hola

Propongo el siguiente ejercicio que no he sabido resolver.

Sea \( AB \) un segmento. Se construyen los triángulos isósceles \( ABC \) que tienen \( AB \) como lado desigual. Probar que el lugar de los puntos \( D \) intersección de la bisectriz del ángulo \( \widehat{CAB} \) y el lado \( CB \) cuando varía \( C \) es un arco de hipérbola (ver figura adjunta) en el que \( E,F \) son puntos fijos, \( E \) está situado de forma que \( AB=BE \), \( AB\perp{BE} \), \( F\in{AB} \) y \( BF=\displaystyle\frac{AB}{3} \)

                                                                         
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Sin pérdida de generalidad puedes suponer \( A=(0,0) \), \( B=(2,0) \) y \( C=(1,a) \)

 La recta \( AB \) es \( y=0 \).

 La recta \( AC \) es \( ax-y=0 \)

 La bisectriz igualando distancia a las rectas es:

 \( ax-(1+\sqrt{1+a^2})y=0 \)

 El lado \( BC \) es \( ax+y-2a=0 \).

 Despejando \( a \) en la segunda ecuación \( a=\dfrac{y}{2-x} \) y sustituyendo en la primera:

\( \dfrac{xy}{2-x}=y\left(1+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{(2-x)^2}}\right) \)

\( \dfrac{x}{2-x}=1+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{(2-x)^2}} \)

\( \dfrac{2x-2}{2-x}=\sqrt{1+\dfrac{y^2}{(2-x)^2}} \)

 Elevando al cuadrado y quitando denominadores:

\( (2x-2)^2=(2-x)^2+y^2 \)

\( 3x^2-4x-y^2=0 \)

 Es una hipérbola que también puede escribirse en forma canónica como:

\( \dfrac{(x-2/3)^2}{(2/3)^2}-\dfrac{y^2}{1^2}=1 \)

 El puntos extremo superior del arco aparece cuando \( a=\infty \) que equivale en \( a=\dfrac{y}{2-x} \), a \( x=2 \). Sustituyendo en la cónica queda \( E=(2,2) \) El punto \( F \) cuando \( y=0 \) es \( F=(4/3,0) \).

Saludos.

[ancape]

 Sin pérdida de generalidad puedes suponer \( A=(0,0) \), \( B=(2,0) \) y \( C=(1,a) \)
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 El puntos extremo superior del arco aparece cuando \( a=\infty \) que equivale en \( a=\dfrac{y}{2-x} \), a \( x=2 \). Sustituyendo en la cónica queda \( E=(2,2) \) El punto \( F \) cuando \( y=0 \) es \( F=(4/3,0) \).

Gracias por tu rápida respuesta. El método es impecable (sólo tienes que corregir un pequeño error \( F=(2/3,0) \)) pero al ser una demostración analítica no responde al problema inicial que motivó mi planteamiento. Paso a exponer el problema original que me llevó a enunciar éste.

Estaba pensando en los típicos problemas de lugares de puntos que ven a dos fijos dados a distancias proporcionales. Problemas muy importantes en la percepción de objetos y que resuelve fácilmente el Circulo de Apolonio. Pensé entonces en identificar los lugares intersección de radios vectores a dos puntos fijos pero no por su distancia sino por su ángulo, esto es, Cuál es el lugar de los puntos \( P \) tales que los ángulos \( \hat{PAB} \) y \( \hat{PBA}  \) son proporcionales. Hice varias pruebas con Geogebra y vi que el factor de proporcionalidad \( k \) no sólo cambia de manera cuantitativa el aspecto del lugar sino que lo hace de manera cualitativa. En la hoja de Geogebra que adjunto puedes ver el resultado (en rojo) para factores \( 1 \) la mediatriz que al fin y al cabo es una cónica, \( 2 \) que lleva asociada una hipérbola y cualquier otro valor que asocia curvas extrañas que no son siquiera cónicas. Mi deseo era ver geométricamente porqué \( k=2 \) era un caso tan especial.



Si me puedes ayudar te estaré muy agradecido.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por tu rápida respuesta. El método es impecable (sólo tienes que corregir un pequeño error \( F=(2/3,0) \))

Me sigue pariendo que da \( (4/3,0) \).

Pero al ser una demostración analítica no responde al problema inicial que motivó mi planteamiento. Paso a exponer el problema original que me llevó a enunciar éste.

Estaba pensando en los típicos problemas de lugares de puntos que ven a dos fijos dados a distancias proporcionales. Problemas muy importantes en la percepción de objetos y que resuelve fácilmente el Circulo de Apolonio. Pensé entonces en identificar los lugares intersección de radios vectores a dos puntos fijos pero no por su distancia sino por su ángulo, esto es, Cuál es el lugar de los puntos \( P \) tales que los ángulos \( \hat{PAB} \) y \( \hat{PBA}  \) son proporcionales. Hice varias pruebas con Geogebra y vi que el factor de proporcionalidad \( k \) no sólo cambia de manera cuantitativa el aspecto del lugar sino que lo hace de manera cualitativa. En la hoja de Geogebra que adjunto puedes ver el resultado (en rojo) para factores \( 1 \) la mediatriz que al fin y al cabo es una cónica, \( 2 \) que lleva asociada una hipérbola y cualquier otro valor que asocia curvas extrañas que no son siquiera cónicas. Mi deseo era ver geométricamente porqué \( k=2 \) era un caso tan especial.

No veo que tenga mucho que ver que la demostración sea o no analítica para justificar lo que pides.

Lo particular de la bisectriz, o de tomar una recta que forme dos ángulos iguales con dos dadas, es que eso equivale al lugar geométrico de puntos:

\( d((x,y),recta_1)=d((x,y),recta_2) \)

Sin embargo si pensamos en una recta que forme dos ángulos con una proporción diferentes entonces el lugar geométrico es de la forma:

\( d((x,y),recta_1)=k\cdot d((x,y),recta_2) \)

pero el factor \( k \) no depende sólo de la proporción fijada, sino también del ángulo que forman las rectas originales.

Si ambas rectas forman un ángulo \( \alpha \) y queremos una recta intermedia de manera que forme un ángulo con una recta \( k \) veces mayor que el otro, la proporción de ambas distancias es:

\( \dfrac{sin\left(\dfrac{k\alpha}{k+1}\right)}{sin\left(\dfrac{\alpha}{k+1}\right)} \)

Si \( k=1 \) ese cociente es uno; pero en otro caso depende de \( \alpha \).

Saludos.