[ani_pascual]

Hola:
Propongo el siguiente ejercicio a colación de este hilo  propuesto por Nub:
El bloque de la figura (con masa \( M \) y longitud \( L \)) se halla en reposo sobre una superficie sin rozamiento. La bala tiene una masa \( m \) y una velocidad \( v \), golpea al bloque y lo atraviesa de lado a lado. Supóngase que mientras la bala atraviesa el bloque, la fuerza de rozamiento \( F \) entre ambos cuerpos es constante.

a) ¿Se conserva el momento lineal del sistema bala-bloque? ¿Y la energía cinética?
b) Calcúlense las velocidades de la bala y del bloque después de que la bala se separa del bloque.
Datos: \( m=20\,g,\,\,v=300\,m/s,\,\,M=400\,g,\,\,L=20\,cm,\,\,F=578\,N \)

Respuestas

a) El momento lineal del sistema bala-bloque sí se conserva porque la resultante de las fuerzas tanto exteriores como interiores es cero. La energía cinética no se conserva porque el trabajo de las fuerzas interiores no es cero.
b) Hay que resolver el sistema:
\( \left\{\begin{array}{l}mv_1+Mv_2=mv_1'+Mv_2'\\\Delta E_c=W^{int}\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}mv_1+Mv_2=mv_1'+Mv_2'\\\dfrac{1}{2}m(v_1')^2+\dfrac{1}{2}M(v_2')^2-\left(\dfrac{1}{2}mv_1^2\textcolor{red}{+}\dfrac{1}{2}Mv_2^2\right)=-F\cdot L\end{array}\right. \)
Tras sustituir datos se obtiene \( \boxed{v_1'=280\,m/s},\,\,\,\boxed{v_2'=1\,m/s} \)

[cerrar]

Errata corregida. Gracias Richard R Richard
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:
Propongo el siguiente ejercicio a colación de este hilo  propuesto por Nub:
El bloque de la figura (con masa \( M \) y longitud \( L \)) se halla en reposo sobre una superficie sin rozamiento. La bala tiene una masa \( m \) y una velocidad \( v \), golpea al bloque y lo atraviesa de lado a lado. Supóngase que mientras la bala atraviesa el bloque, la fuerza de rozamiento \( F \) entre ambos cuerpos es constante.



a) ¿Se conserva el momento lineal del sistema bala-bloque? ¿Y la energía cinética?
b) Calcúlense las velocidades de la bala y del bloque después de que la bala se separa del bloque.
Datos: \( m=20\,g,\,\,v=300\,m/s,\,\,M=400\,g,\,\,L=20\,cm,\,\,F=578\,N \)

Respuestas

a) El momento lineal del sistema bala-bloque sí se conserva porque la resultante de las fuerzas tanto exteriores como interiores es cero. La energía cinética no se conserva porque el trabajo de las fuerzas interiores no es cero.
b) Hay que resolver el sistema:
\( \left\{\begin{array}{l}mv_1+Mv_2=mv_1'+Mv_2'\\\Delta E_c=W^{int}\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}mv_1+Mv_2=mv_1'+Mv_2'\\\dfrac{1}{2}m(v_1')^2+\dfrac{1}{2}M(v_2')^2-\left(\dfrac{1}{2}mv_1^2\color{blue}\mathbf{+}\color{black}\dfrac{1}{2}Mv_2^2\right)=-F\cdot L\end{array}\right. \)
Tras sustituir datos se obtiene \( \boxed{v_1'=280\,m/s},\,\,\,\boxed{v_2'=1\,m/s} \)

[cerrar]

Saludos

Hola, nada que discutir , ani_pascual solo un signo que  no te ha salido en la fórmula.

Ahora, les dejo una inquietud, el problema estaría bien resuelto si la colisión fuera instantánea...


Pero pensemos lo siguiente mientras la bala atraviesa el bloque, el bloque va acelerando, por lo que se desplaza ligeramente durante el tiempo en que la bala lo atraviesa y ésta desciende de velocidad, bien visto desde punto de vista de un observador externo, la longitud que recorre la bala en contacto con la fuerza de rozamiento será mayor... cambia entonces el trabajo realizado por la fricción?.... Dónde está el truco?




Saludos

[delmar]

Hola

a) Se conserva la cantidad de movimiento, solo hay fuerzas internas en la dirección horizontal, la energía cinética no, parte de la energía de la bala se disipa en la rotura  del bloque.

A pesar que se conserva la cantidad de movimiento, no se por que, he usado otra forma y obtengo otros resultados, la expongo :

Spoiler

Considero una referencia XY solidaria a tierra,, origen de coordenadas punto de contacto inicial entre bala y bloque, parte positiva del eje X hacia la derecha (dirección de la velocidad de la bala), referencia temporal t=0, se corresponde con el momento de contacto.

Aplicando la segunda ley de Newton a la bala, se obtiene la velocidad y la posición por integraciones sucesivas

\( -F=mx''_b\Rightarrow{-(F/m)t=x'_b-v}\Rightarrow{vt-(F/m)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_b} \)

Aplicando la segunda ley de Newton al bloque, se obtiene la velocidad y la posición del centro de masa, por integraciones sucesivas,

\( F=Mx''_B\Rightarrow{(F/M)t=x'_B}\Rightarrow{(F/M)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_B-L/2} \)

Hay movimiento relativo de la bala respecto al bloque, se busca el T tal que \( x_b(T)-x_B(T)=L/2 \) esto implica :

\( (vt-(F/m)\displaystyle\frac{t^2}{2})-(L/2+(F/M)\displaystyle\frac{t^2}{2})=L/2\Rightarrow{F(M+m)T^2-2MmvT+2MmL=0} \)

Resolviendo se obtiene dos valores, de ellos se coge el menor, el mayor es cuando regresa la bala, cosa imposible, la fuerza de rozamiento solo actúa durante un tiempo.

\( T_1=0.000669909089072\Rightarrow{v_b=298.064} \) m/s y \( v_B=0.968 \) m/s

Calculando las energías cinéticas finales :

\( Ec_b=\displaystyle\frac{1}{2}mv_b^2=8884.213 \) J y \( Ec_B=\displaystyle\frac{1}{2}Mv_B^2=0.187 \) J

\( Ec_f=8884.4 \) J

\( Ec_i=9000 \) J

Luego hay una disminución de la energía cinética, comprobé que la cantidad de movimiento si se conserva.

[cerrar]

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola, nada que discutir , ani_pascual solo un signo que  no te ha salido en la fórmula.
Ahora, les dejo una inquietud, el problema estaría bien resuelto si la colisión fuera instantánea...
Pero pensemos lo siguiente mientras la bala atraviesa el bloque, el bloque va acelerando, por lo que se desplaza ligeramente durante el tiempo en que la bala lo atraviesa y ésta desciende de velocidad, bien visto desde punto de vista de un observador externo, la longitud que recorre la bala en contacto con la fuerza de rozamiento será mayor... cambia entonces el trabajo realizado por la fricción?.... Dónde está el truco?

Supongo que será porque  ....   si el bloque ejerce una fuerza de rozamiento \( (-F) \) sobre la bala mientras ésta lo atraviesa, por la ley de acción-reacción, la bala ejerce una fuerza \( F \) sobre el bloque, de tal forma que mientras la bala frena, el bloque acelera. Así, si la distancia que recorre el bloque es \( s \), la bala recorre para atravesarlo una distancia \( L+s \), con lo que el trabajo de las fuerzas interiores es \( W^{int}=-F\cdot (L+s)+F\cdot s=-F\cdot L \). Si estoy equivocado, ya me corregirás...   
Saludos

[ani_pascual]

Hola

a) Se conserva la cantidad de movimiento, solo hay fuerzas internas en la dirección horizontal, la energía cinética no, parte de la energía de la bala se disipa en la rotura  del bloque.

A pesar que se conserva la cantidad de movimiento, no se por que, he usado otra forma y obtengo otros resultados, la expongo :

Spoiler

Considero una referencia XY solidaria a tierra,, origen de coordenadas punto de contacto inicial entre bala y bloque, parte positiva del eje X hacia la derecha (dirección de la velocidad de la bala), referencia temporal t=0, se corresponde con el momento de contacto.

Aplicando la segunda ley de Newton a la bala, se obtiene la velocidad y la posición por integraciones sucesivas

\( -F=mx''_b\Rightarrow{-(F/m)t=x'_b-v}\Rightarrow{vt-(F/m)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_b} \)

Aplicando la segunda ley de Newton al bloque, se obtiene la velocidad y la posición del centro de masa, por integraciones sucesivas,

\( F=Mx''_B\Rightarrow{(F/M)t=x'_B}\Rightarrow{(F/M)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_B-\textcolor{red}{L/2}} \)
...

[cerrar]

Me parece que si consideras \( x_b=x_B+L \) se llega a que \( t\simeq 6,908\cdot 10^{-4}\,s \) de donde la velocidad de salida de la bala es \( 280,0358399\simeq 280\,\,m/s \) y la del bloque \( 0,998208004\simeq 1\,m/s \)
...
Saludos

[delmar]

Hola

Hola

a) Se conserva la cantidad de movimiento, solo hay fuerzas internas en la dirección horizontal, la energía cinética no, parte de la energía de la bala se disipa en la rotura  del bloque.

A pesar que se conserva la cantidad de movimiento, no se por que, he usado otra forma y obtengo otros resultados, la expongo :

Spoiler

Considero una referencia XY solidaria a tierra,, origen de coordenadas punto de contacto inicial entre bala y bloque, parte positiva del eje X hacia la derecha (dirección de la velocidad de la bala), referencia temporal t=0, se corresponde con el momento de contacto.

Aplicando la segunda ley de Newton a la bala, se obtiene la velocidad y la posición por integraciones sucesivas

\( -F=mx''_b\Rightarrow{-(F/m)t=x'_b-v}\Rightarrow{vt-(F/m)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_b} \)

Aplicando la segunda ley de Newton al bloque, se obtiene la velocidad y la posición del centro de masa, por integraciones sucesivas,

\( F=Mx''_B\Rightarrow{(F/M)t=x'_B}\Rightarrow{(F/M)\displaystyle\frac{t^2}{2}=x_B-\textcolor{red}{L/2}} \)
...

[cerrar]

Me parece que si consideras \( x_b=x_B+L \) se llega a que \( t\simeq 6,908\cdot 10^{-4}\,s \) de donde la velocidad de salida de la bala es \( 280,0358399\simeq 280\,\,m/s \) y la del bloque \( 0,998208004\simeq 1\,m/s \)
...
Saludos

El proceso esta correcto, hay un error en la solución de la ecuación cuadrática \( T_1=0.000690801 \) s y con ello \( v_b=280.036 \) m/s y \( v_B=0.998 \) m/s evidentemente hay una pérdida de energía cinética.

Saludos