[Albersan]

Hola, ¿qué tal?

Quisiera que me ayudaran por favor con lo siguiente:


1) Supóngase que la ramificación principal del logarítmo \( f(z)=Ln(z)=log_e|z|+iArg(z) \), se expande en su serie de Taylor, con centro \( z_0=-1+i \). Explique por qué  \( R=1 \) es el radio del círculo más grande centrado en \( z_0=-1+i \) dentro del cual \( f \) es analítica.

2) Demuestre que en el interior del círculo \( |z-(-1+i)|=1 \), la serie de Taylor para \( f \) es: \( Ln(z)=\displaystyle\frac{1}{2}log_e2+\displaystyle\frac{3\pi}{4}i-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}(\displaystyle\frac{1+i}{2})^n}(z-(-1+i))^n \)

3) Demuestre que el radio de convergencia para la serie de potencias del inciso b) es \( R=\sqrt[ ]{2} \). Explique por qué ésto no contradice el resultado del inciso a).


Para 1), la distancia más cercana del punto \( z_0=-1+i \) al corte de ramificación (\( (-\infty,0] \)), es \( 1 \).

Para 3), para calcular el radio de convergencia la serie de potencias en 2), evaluo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right |}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{n}{n+1}\left |{\displaystyle\frac{1+i}{2}}\right |=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \). Por lo tanto \( R=\sqrt[ ]{2} \).


Quisiera saber porqué \( Ln(z) \) y su serie de Taylor señalada en 2) convergen al mismo valor en el interior de \( |z-(-1+i)|=\sqrt[ ]{2} \) con  \( Im(z)\geq{0} \).
Y porqué no converge a su serie de Taylor en el interior de \( |z-(-1+i)|=\sqrt[ ]{2} \) con  \( Im(z)<0 \).


Muchas gracias

[Masacroso]

Quisiera saber porqué \( Ln(z) \) y su serie de Taylor señalada en 2) convergen al mismo valor en el interior de \( |z-(-1+i)|=\sqrt[ ]{2} \) con  \( Im(z)\geq{0} \).
Y porqué no converge a su serie de Taylor en el interior de \( |z-(-1+i)|=\sqrt[ ]{2} \) con  \( Im(z)<0 \).

Te estás confundiendo: \( \operatorname{Ln} \) es una función, no "converge" a nada, simplemente está definida por la rama principal del argumento. Lo que ocurre es que su serie de Taylor alrededor de \( -1+i \) no sólo representa a \( \operatorname{Ln} \) sino también a muchas otras funciones logaritmo que tienen a \( -1+i \) como un punto interior de su dominio.

Su radio de convergencia indica que existe una función logaritmo analítica en \( \{z\in\mathbb{C}: |z-(-1+i)|<\sqrt{2}\} \). Además \( \sqrt{2} \) es una limitación absoluta al radio de convergencia de cualquier serie de Taylor de una función logaritmo en \( -1+i \), porque toda función logaritmo tiene una singularidad en el cero, y \( |-1+i|=\sqrt{2} \).

[Albersan]

Hola, gracias Masacroso por tu mensaje, la verdad creo estar entendiendo donde estaba la duda que tenía.


Pues hice algunos cálculos considerando \( Ln(z) \), donde se toma el corte de ramificación en el eje real positivo incluyendo el \( 0 \), es decir, rama del logaritmo en \( [0,2\pi) \). Calculé el valor tanto en la serie como en el logaritmo antes descrito en el punto \( -1-0.4i \) (punto que cumple con \( |z-(-1+i))|<\sqrt[ ]{2} \)) y llegué al mismo resultado, situación que no ocurre con el logaritmo con rama principal.

Quisiera saber si \( Ln(z) \) con corte de ramificación \( [0,2\pi) \), es representada por la serie en  \( \{z\in\mathbb{C}: |z-(-1+i)|<\sqrt{2}\} \)
Y también saber si \( Ln(z) \) con corte de ramificación \( (-\pi,\pi] \), es representada por la serie en \( \{z\in\mathbb{C}: |z-(-1+i)|<1\} \) (Qué sucede con los puntos fuera de este disco unitario en donde la serie converge al valor del logaritmo).


Muchas gracias

[Masacroso]

Quisiera saber si \( Ln(z) \) con corte de ramificación \( [0,2\pi) \), es representada por la serie en  \( \{z\in\mathbb{C}: |z-(-1+i)|<\sqrt{2}\} \)

Sí.

Y también saber si \( Ln(z) \) con corte de ramificación \( (-\pi,\pi] \), es representada por la serie en \( \{z\in\mathbb{C}: |z-(-1+i)|<1\} \)

Sí.

(Qué sucede con los puntos fuera de este disco unitario en donde la serie converge al valor del logaritmo).

La serie en torno a \( -1+i \), en su máximo radio de convergencia (que es \( \sqrt{2} \) porque el logaritmo de cero no está definido) también representa a muchos otros logaritmos diferentes del principal pero compatibles con él en el sentido de que si \( f_1 \) y \( f_2 \) son dos logaritmos analíticos e iguales en una bola \( \mathbb{D}(w,r) \) y además \( f_2 \) es también analítico en \( \mathbb{D}(w,r+\epsilon ) \) para algún \( \epsilon >0 \) entonces ambos logaritmos tendrán la misma serie de Taylor alrededor de \( w \), pero la serie no puede distinguir entre un logaritmo u otro, por tanto el máximo radio de convergencia de esa serie representa un logaritmo que maximiza el radio de tal bola.

En este caso todos los logaritmos cuyo corte venga definido por una función argumento tal que haga que sean iguales en una bola alrededor de \( -1+i \) tendrán siempre la misma serie de Taylor alrededor de ese punto, aunque luego en la definición del logaritmo peguemos un corte en algún lado y el radio de convergencia máximo de esa serie ya no coincida con el radio de convergencia en el cual la serie representa al logaritmo en cuestión.

[Albersan]

Gracias Masacroso, muy agradecido.