[imaginaryboy]

Hola

Sea \( f(x)=x^{3}ln(x) \). Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de \( f \) en \( a=1 \)  y estimar el error, acotando el resto que se comete al calcular \( f(0.8) \)
por medio del polinomio.

Calculo del polinomio de Taylor de grado 3 en el punto \( a = 1 \) :

\( T(x)_{3,1}=(x-1)+\displaystyle\frac{5}{2}(x-1)^{2}+\displaystyle\frac{11}{6}(x-1)^{3} \)

Para aproximar \( f(0.8) \) hago la siguiente cuenta:

\( f(0.8)=(0.8-1)+\displaystyle\frac{5}{2}(0.8-1)^{2}+\displaystyle\frac{11}{6}(0.8-1)^{3}=-0.11466666 \)     

Acotando el error (Lagrange form):

\( R(x)_{4,1}\displaystyle\frac{(0.8-1)^{4}}{4\xi} \)

Calculo auxiliar:

\( \displaystyle\frac{1}{4\xi}<\displaystyle\frac{1}{4} \) ,pues \( \xi\in{(0.8,1)} \)


\( \displaystyle\frac{(0.8-1)^{4}}{4\xi}<\displaystyle\frac{(0.8-1)^{4}}{4} \), multiplico la inecuación por \( (0.8-1)^{4} \)

Osea que el error es menor a 0.0004
Yo me imagino una especie de manguera por la cual le paso un alambre en su interior (el alambre viene a ser la función que estoy aproximado), de esta forma veo el error como la distancia que hay entre el alambre y los bordes de la manguera... ahora no me doy cuenta de la relación que hay entre el calculo de \( f(0.8) \) y el error \( |R(x)_{4,1}|=0.00004 \).
Si alguien me da una mano con esto estaría muy agradecido.

Saludos.

[delmar]

Hola

Se ve bien hasta antes del cálculo auxiliar, en ese punto se tiene :

\( 0.8\leq{\xi}\leq{1}\Rightarrow{\displaystyle\frac{5}{4}\geq{\displaystyle\frac{1}{\xi}}\geq{1}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{5(x-1)^4}{16}\geq{\displaystyle\frac{(x-1)^4}{4 \xi}}\geq{\displaystyle\frac{4(x-1)^4}{16}}} \)

Si sumas el valor aproximado del polinomio de Taylor es decir  \( T_f(0.8)=-0.11466666 \) se tiene :

\( T_f(0.8)+\displaystyle\frac{5(x-1)^4}{16}\geq{T_f(0.8)+\displaystyle\frac{(x-1)^4}{4 \xi}}\geq{T_f(0.8)+\displaystyle\frac{4(x-1)^4}{16}} \) y ahora si se puede acotar el valor real \( f(0.8)=T_f(0.8)+R(0.8) \)

\( T_f(0.8)+\displaystyle\frac{5(0.8-1)^4}{16}\geq{f(0.8)}\geq{T_f(0.8)+\displaystyle\frac{4(0.8-1)^4}{16}} \)

Se obtiene el intervalo en el cual se encuentra necesariamente \( f(0.8) \).

Saludos

[Fernando Revilla]

Tus cálculos son correctos, ahora bien,

\( \displaystyle\frac{1}{4\xi}<\displaystyle\frac{1}{4} \) ,pues \( \xi\in{(0.8,1)} \)

Tenemos \( 0.8 < \xi \Rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\xi} < \displaystyle\frac{1}{0.8}\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{4\xi} < \displaystyle\frac{1}{4\cdot 0.8} \).

P.D. Se adelantó delmar.

[imaginaryboy]

Gracias por su ayuda muchachos, veo que ambos señalan mismo:
No tuve cuidado con el 0.8

Saludos