Esto es una demostración de que todo lo que dices está mal:
Estás más perdido que un pato en alta mar. Es un teorema sobre la integral KH que si una función es KH-integrable es un rectángulo (y eso implica por definición que la integral es finita), entonces es KH-integrable en cualquier rectángulo menor. Eso está demostrado en el libro que te acabo de citar y en mensajes anteriores te he dado la referencia exacta. Resulta que la integral en la esfera (para la componente \( E_y \), por ejemplo) se reduce a una integral (siempre KH, si así lo quieres) sobre el rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \), y la integral en media esfera es la integral del mismo integrando sobre \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), pero tú mismo has reconocido que la integral sobre la semiesfera es infinita, a pesar de lo cual, la integral en la semiesfera es infinita. Por el teorema que te cito, la integral sobre toda la esfera no puede ser finita, al contrario de lo que pretendes.
Esto es una demostración, y toda ella se basa en definiciones y teoremas sobre la integral KH, no sobre la integral de Lebesgue, aunque también valdría y sobraría. Considerar la integral KH no aporta nada realmente, pero sólo te digo que, como as en la manga, no te vale
Y tu respuesta es no decir nada sobre ella:
Palabrería sobre la integral de Lebesgue que no viene al caso
Carlos quiero dejar mi postura de una forma más escueta y resumida para puntualizar mejor:
1) Para que una función f(x) que tiene primitiva F(x), sea Lebesgue integrable, \( \int_a^b f(x) dx \) y la \( \int_a^b |f(x)| dx \) deben ser finita.
2) Sin saber si una función \( f(x) \) es o no integrable Lebesgue y utilizamos la regla de Barrow obteniendo que \( \int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a) = infinito \):
a) Entonces la función f(x) no es integrable Lebesgue pues al diverger la integral indica que la función f(x) no está acotada, y esto es condición necesaria para ser integrable Lebesgue.
b) Por lo tanto si la \( f(x) \) no es integrable Lebesgue , \( \int_a^b f(x) dx \) no existe o no tiene sentido en Lebesgue y no se puede dar ningún valor como resultado.
c) Por lo tanto si sumamos, restamos, esta integral (divergente aplicando la regla de Barrow) con otras integrales el resultado de la suma, resta, etc no existe o no tiene sentido en Lebesgue y no se puede dar ningún valor como resultado.
d) Por lo tanto si integramos esa misma función (divergente en el intervalo inicial, aplicando la regla de Barrow) en un intervalo mayor que incluya al inicial, la integral en este intervalo mayor no existe o no tiene sentido en Lebesgue y no se puede dar ningún valor como resultado.
3) Si una función \( f(x) \) tiene primitiva , entonces siempre es integrable en HK y siempre podremos utilizar la regla de Barrow para calcular la integral siendo el resultado de la integral:
\( \int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a) \). Este es el teorema que os he compartido.
Eso es el teorema 1.13 del libro de Fonda que te he citado, pero, como buen embaucador, omites que el teorema requiere como hipótesis de \( f \) admita primitiva \( F \) en un intervalo cerrado \( [a, b] \), con lo que el valor \( F(b)-F(a) \) siempre es finito. Salvo que conozcas otra versión (con su demostración correspondiente, claro) de ese teorema con hipótesis más débiles. En tal caso, indica la referencia.
a) EN LA INTEGRABILIDAD DE HK , NO HAY NINGUNA RESTRICCIÓN SOBRE EL VALOR DE LA INTEGRAL PARA QUE SEA INTEGRABLE O NO EN HK .[/b]
Eso es en la integrabilidad unicorniorrosa. En la integral HK el valor de la integral tiene que ser finito, según la definición 1.5 del libro de Fonda. Si tienes otra definición más general, indica la referencia.
b) Si \( \int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a) = infinito \) indica que la superficie entre la curva de la función y el eje X es infinita siendo el valor de la integral \( F(b)-F(a) \).
EN HK SI LA FUNCIÓN TIENE PRIMITIVA Y LA INTEGRAL SALE INFINITO, ESTA FUNCIÓN ES INTEGRABLE EN HK (POR TENER PRIMITIVA) Y LA INTEGRAL INFINITA INDICA QUE EL ÁREA DE LA CURVA CON EL EJE X ES INFINITA.
Según el teorema 1.13, la primitiva tiene que ser una función \( F: [a, b]\longrightarrow \mathbb R \) (definición 1.12), luego el teorema al que haces referencia no admite la posibilidad de que \( F(b)-F(a) \) sea infinito. Si conoces otra versión de ese teorema (con su demostración correspondiente), indica la referencia. Si no, es uno más de tus unicornios rosa.
La integral que hacemos para calcular la gravedad en la superficie de una semiesfera hueca ( en el intervalo [-1,1]x[0,\pi] ) resulta divergente ( y estoy de acuerdo) y su resultado es \( F(b)-F(a) \) pero esto es correcto decirlo en integrabilidad de HK pues la función es integrable en HK para este intervalo, pero en Lebesgue sólo podemos decir que la integral no existe por ser la función no integrable Lebesgue.
Animalada primera: Tratas de aplicar un teorema sobre integrabilidad de funciones de UNA variable a una función de DOS variables. Queda así demostrado que tu ineptitud con las matemáticas llega al punto de que no sabes contar hasta dos sin perder la cuenta.
Animalada segunda: Estás hablando de una supuesta primitiva \( F \) de una función de dos variables. ¿Eso qué quiere decir? ¿Cuál es, según tú, una primitiva de la función \( x^2y^3 \), por ejemplo?
Animalada tercera: La integrabilidad HK para funciones de varias variables está definida en 2.5 del libro de Fonda, y exige que el valor de la integral sea finito. Si tienes otra definición de integral HK sin este requisito, aporta la referencia. Si no la tienes, estás tratando de tomar el pelo al personal con tus embustes.
Es decir en Lebesgue la integral no existe, pues no la puede calcular, pero en HK se puede calcular porque la función es integrable HK (por tener primitiva) y su valor resultante es \( F(b)-F(a) \).
Estás diciendo que una función de DOS variables tiene primitiva en un rectángulo. Tendrás que explicar qué demonios significa eso.
La integral que hacemos para calcular la gravedad en la superficie de una esfera hueca ( en \( [-1,1]\times [0,2\pi] \) ) la podemos partir en 2 intervalos \( [ -1,1]\times [0,\pi] \) y en \( [-1,1]\times [\pi,2\pi] \) pero ambas integrales son integrable en HK por tener primitiva y el resultado final sale cero, como he expuesto en mi mensaje anterior. Pero desde el punto de vista Lebesgue ambas integrales no son integrables en Lebesgue y no se puede calcular su integral.
Animalada primera: no tiene sentido decir que una función de dos variables tiene primitiva.
Animalada segunda: confundes intervalos con rectángulos.
Animalada tercera: pretendes que una función integrable HK pueda tener integral infinita.
Animalada cuarta: pretendes que la indeterminación \( \infty-\infty \) sea igual a \( 0 \) por tus unicornios.
Ahora todas las animaladas juntas:
Es decir utilizando una función a integral es \( f(x,\theta) \) y sabiendo que \( f(x,\theta+\pi)= - f(x,\theta) \) para el caso de la esfera hueca , obtenemos:
\( E_y= \int_{[-1,1]x[0,2\pi]} f(x,\theta) dx d\theta = \int_{[-1,1]x[0,\pi]} f(x,y) dx d\theta + \int_{[-1,1]x[\pi,2\pi]} f(x,\theta) dx d\theta =\\\qquad\qquad =\int_{[-1,1]x[0,\pi]} f(x,y) dx d\theta - \int_{[-1,1]x[0,\pi]} f(x,y) dx d\theta = F(b) - F(a) - ( (F(b) - F(a))=0.
\)
Aporta referencias de los teoremas que te permiten dar cada uno de los pasos que das, a ver si encuentras alguna que no requiera que los integrandos sean integrables HK de acuerdo con una integral que exija que el resultado de la integral sea finito. Sin referencias que respalden tus cálculos, eso tiene el mismo rigor que si dices que es así porque eres geminis y los géminis nunca se equivocan.
Con esto, tenemos que \( E_y= 0 \) y \( E_z=0 \) tanto desde el punto de vista físico como matemático.
Lo único que has demostrado que es nulo es tu entendimiento y tu capacidad como físico y como matemático. Tus manipulaciones no están justificadas por ningún teorema demostrable, y si no es así, aporta referencias a teoremas que permitan hacer las cuentas que haces.
La diferencia entre tú y yo es que tú llevas muchos años con Lebesgue y piensas que las integrales sólo pueden dar un valor finito y en el caso de HK te digo que para ser integrable una función teniendo primitiva no hay ninguna restricción sobre el valor final de la integral como criterio de integrabilidad.
Esta situación entre Carlos y yo es semejante como si una persona conociera solamente la integración de Riemann y dijera que una función no es integrable si el conjunto de discontinuidades de salto de una función es igual a todos los números naturales. Mientras otra persona que conoce la integración de Lebesgue, le intentara explicar que estas funciones son también integrables según Lebesgue, por que el conjunto de las discontinuidades son un conjunto de medida nula. Es decir cada vez que se sube un peldaño en la historia de las integrales se ha visto que cada vez hay más funciones integrables. Y en el caso de la integración HK, se ha llegado a lo máximo al día de hoy y entre las funciones beneficiadas son las funciones que tienen primitivas. Esto es un enorme beneficio para la física.
A lo largo de este hilo has demostrado sobradamente que tus aptitudes como físico y como matemático son nulas. Pero este párrafo es interesante, porque muestra que, para conciliar tus delirios con la realidad tu cerebro necesita renunciar incluso a las mínimas dotes de comprensión lectora. Si te aporto una prueba basada en un libro que SÓLO trata con la integral de Kurzweil-Henstock, ¿cómo puedes decir que la prueba está mal porque estoy pensando en la integral de Lebesgue? Es una frase muy simple:
El libro de Fonda trata SÓLO de la integral HK, y te he demostrado que todo lo que dices está mal basándome en teoremas de ese libro.¡¡¡Y el problema es que estoy pensando en la integral de Lebesgue??? ¿Qué no entiendes de la frase anterior? No hablamos de entender un teorema matemático que se te escape (como se te escapan todos), sino meramente de que estoy basándome en un libro que sólo habla de la integral HK. ¿De verdad no eres capaz ni de entender eso, que me sales hablando de la integral de Lebesgue? ¿Si te digo que Mickey Mouse es un ratón me dirás que estoy pensando que es un pato?
Todo lo que dice Masacroso es correcto, lo cual no apoya nada de lo que dices tú. Él calcula una integral que sí que existe (al quitar el entorno \( U_\epsilon \)) y calcula un límite que sí que existe y da lo que él dice. Pero el problema de que el integrando no sea integrable es que, cambiando los entornos \( U_\epsilon \) por otros entornos elegidos con mala idea, puedes hacer que el mismo límite de casi cualquier resultado. En particular, puedes hacer que las componentes \( E_y, E_z \) no sean nulas y valgan lo que tú quieras a priori. Por eso el límite que calcula no tiene ningún significado matemático (más allá de lo que literalmente significa, un límite de ciertas integrales) ni mucho menos físico.
Por otro lado decirte que no me creo que esta integral salga otra cosa que lo que resultó a Masacroso y a mí. Por ello sería conveniente que dieras un ejemplo de cómo sale otra cosa distinta a esto. Pero por favor, utilizando la integración de esferas huecas superficiales y no partiendo de esferas huecas de espesor finito.
Pues claro que no te lo crees. ¿Qué mayor evidencia hay de que algo es cierto que el hecho de que no te lo creas? Y, sí, a buenas horas me voy a pasar una hora detallando las cuentas que me pides para que me salgas con cualquier unicornio rosa como respuesta. Si no entiendes una prueba tan elemental como la que te he dado de que la función que quieres integrar no es integrable, no esperarás que considere la posibilidad de que vayas a entender cómo descomponer la esfera en unión numerable creciente de conjuntos donde el integrando es integrable y de modo que las integrales converjan a cualquier valor.
Carlos el motivo por el que no quieres demostrar que no llevo razón habrá dejado a la audiencia con mal sabor de boca. Sería conveniente que nos demostrara que puede salir otra cosa distinta a lo que nos ha salido a Masacroso y a mi (integrando en esferas huecas superficiales y no con esferas huecas con espesor claro).
1) ¿Cómo que no quiero demostrar que no tienes razón? Ya te lo he demostrado aquí:
Estás más perdido que un pato en alta mar. Es un teorema sobre la integral KH que si una función es KH-integrable es un rectángulo (y eso implica por definición que la integral es finita), entonces es KH-integrable en cualquier rectángulo menor. Eso está demostrado en el libro que te acabo de citar y en mensajes anteriores te he dado la referencia exacta. Resulta que la integral en la esfera (para la componente \( E_y \), por ejemplo) se reduce a una integral (siempre KH, si así lo quieres) sobre el rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \), y la integral en media esfera es la integral del mismo integrando sobre \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), pero tú mismo has reconocido que la integral sobre la semiesfera es infinita, a pesar de lo cual, la integral en la semiesfera es infinita. Por el teorema que te cito, la integral sobre toda la esfera no puede ser finita, al contrario de lo que pretendes.
Esto es una demostración, y toda ella se basa en definiciones y teoremas sobre la integral KH, no sobre la integral de Lebesgue, aunque también valdría y sobraría. Considerar la integral KH no aporta nada realmente, pero sólo te digo que, como as en la manga, no te vale
Y no has dicho nada que rebata esa demostración. Para rebatirla tendrás que probar que alguno de los teoremas que cito es falso o tendrás que probar que no se ajustan a nuestro caso, pero no has hecho ni lo uno ni lo otro.
2) ¿Por qué crees que la audiencia se habrá quedado con mal sabor de boca? No sé si tienes claro que la audiencia de este hilo viene sólo a reírse un rato con las tonterías que dices. Se quedaría con mal sabor de boca si dejaras de decir cosas graciosas, o tus unicornios se volvieran grises en vez de tener su lozano color rosado, pero no creo que nada que yo diga o deje de decir pueda dejar a nadie con mal sabor de boca.
3) ¿Has visto cuánta gente en este hilo te ha dado respuestas detalladas con cálculos minuciosos que prueban infinitamente más allá de lo necesario que no dices más que bobadas? ¿Y qué has hecho tú con esas respuestas? Salirte por la tangente y despacharlas con dos de tus bobadas sin más. No sé si otros seguirán creyendo que merece la pena gastar tiempo escribiendo y revisando cálculos técnicos para que tú los desprecies respondiendo con vaguedades, pero yo no tengo tiempo para eso. Con lo que te he argumentado sobra para probar que no tienes ni idea ni de la primera cartilla. No hace falta más.
4) Lo que a mí me parece que puede dejar a la audiencia con mal sabor de boca es que en un foro serio como éste entres tú a decir tus memeces que —cono está sobradamente probado— hacen aguas por todas partes, de modo que cualquier visitante casual pueda ver este hilo y pensar que aquí alguien te toma en serio. Ésa es la única razón de mi presencia en este hilo. Al principio intervine porque pensé que existían algunas posibilidades de hacerte ver que no tienes ni idea, pero, tras varios intentos fallidos, hace ya tiempo que me he dado cuenta de que tu cerebro no está en condiciones de ser influido por argumentos racionales (no digo que no pueda estarlo si algo te destraumatiza, pero, hoy por hoy, tu estado mental —tu convicción profunda de que eres un iluminado— te inhabilita para todo razonamiento físico o matemático), así que si intervengo es sólo para dejar constancia de que sólo estás en este foro en calidad de entretenimiento para la audiencia, pero que nadie en este foro se toma en serio nada de lo que dices.
Yo sería partidario de cerrar este hilo, porque deteriora la imagen del foro, como si en un periódico serio se publica en primera plana un artículo que afirme categóricamente que los extraterrestres están entre nosotros y están suplantando personalidades para hacerse con el control del planeta. Eso reduce el prestigio del periódico. Pero, si no se cierra, lo mínimo es que en este foro quede constancia de que todo lo que dices es menos serio que la noticia sobre los extraterrestres invasores, y que esta sección es un apéndice de la sección de humor del foro.
Carlos fíjate en el esquema
Esquema de integrabilidad
Las integrales de Riemann Generalizada son las HK. fíjate en la diferencia entre el tamaño del conjunto de las integrales de Riemann, de Lebesgue y las integrales HK.
¿No crees que merece la pena estudiarlas en profundidad ahora que las conoces mejor?
Curioso. Parece que crees que el dibujo que has hecho está "a escala", de modo que permite comparar los tamaños. ¡¡¡Pero si te estoy demostrando que todo lo que dices está mal usando la integral HK!!! ¿Qué más quieres? ¿No tendrías que estudiarte tú el libro de Fonda, u otro análogo, a ver si así dejas de decir las tonterías que dices sobre la integral HK?
Creo que el quedarse anclado en las integrales de Lebesgue es algo no aconsejable en el tema de la integrabilidad de las funciones.
¿De verdad no entiendes la frase "El libro de Fonda trata sólo sobre la integral HK"?
Es impresionante como después de 300 años de formalización sobre la integración de funciones se haya vuelto a los orígenes de los co-inventores, para funciones que tienen primitiva gracias a Henstock-Kurzweil.
Esto es importantísimo para la Física pues las funciones de las físicas, normalmente, tienen primitiva y esto quiere decir que siempre podremos integrarlas. En física las funciones son de las que llamo, buenas, con buen comportamiento y nada que ver con los contraejemplos que en mensajes atrás se expusieron.
Al final todos estamos aprendiendo en este hilo, yo de los que más.
Si lo que dices en este párrafo es lo que has aprendido, entonces sigues en tu línea. Lo que entiendes de la integral HK es lo mismo que lo que entiendes de todo en general, es decir, nada.
