[picuartos]

Hola, ¿alguien me puede ayudar con este problema?,(he probado a multiplicar las matrices, para ver que ocurría pero no se si ha sido el mejor camino) :

Sea \( T = diag(t_{11}, . . . , t_{nn}) \) una matriz diagonal con elementos diagonales no nulos.
Supongamos que hacemos un reescalado de filas del sistema original Ax = b, transformándolo en el sistema TAx = Tb. Deducir que las iteraciones del método de GaussSeidel del sistema con filas reescaladas TAx = Tb coinciden con las iteraciones del
método de Gauss-Seidel del sistema original Ax = b si partimos del mismo vector
inicial \( x_0 \)

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿alguien me puede ayudar con este problema?,(he probado a multiplicar las matrices, para ver que ocurría pero no se si ha sido el mejor camino) :

Sea \( T = diag(t_{11}, . . . , t_{nn}) \) una matriz diagonal con elementos diagonales no nulos.
Supongamos que hacemos un reescalado de filas del sistema original Ax = b, transformándolo en el sistema TAx = Tb. Deducir que las iteraciones del método de GaussSeidel del sistema con filas reescaladas TAx = Tb coinciden con las iteraciones del
método de Gauss-Seidel del sistema original Ax = b si partimos del mismo vector
inicial \( x_0 \)

Si no me equivoco en Gauss-Seidel descompones:

\( A=N-P \)

con \( N \) triangular superior y tomas \( M=N^{-1}P. \)

Iteras:

\( x_{k+1}=Mx_k+c \) con \( c=N^{-1}b \).

Ahora para el sistema \( A'x=b' \), con \( A'=TA \) y \( b'=Tb \) se tiene:

\( A'=TA=\underbrace{TN}_{N'}-\underbrace{TP}_{P'} \) (porque el producto de una diagonal por una t.superior es t.superior).

Entonces:

\( M'=N'^{-1}P'=(TN)^{-1}TP=N^{-1}T^{-1}TP=N^{-1}P=M \)
\( c'=N'^{-1}b'=(TN)^{-1}Tb=N^{-1}T^{-1}Tb=N^{-1}b=c \)

Luego efectivamente la iteración es la misma.

Saludos.

[picuartos]

Vale,  muchas gracias

[picuartos]

Otra pregunta, que viene relacionada con el ejercico anterior, tengo el siguiente enunciado:

Supongamos que hacemos un reescalado del vector de incógnitas \(  x'= T^{-1} \) con la matriz diagonal \( T \), transformando el sistema original en el sistema \(  ATx' = b \) con matriz de coeficientes \(  AT \). Demostrar que el método de Gauss-Seidel para el sistema con matriz \(  AT \) converge si y solo si converge para el sistema con matriz \( A  \) y que la velocidad de convergencia es la misma.

Yo he empezado de la manera siguiente:

Supongamos que Gauss-Seidel es convergente para  el sistema con matriz \( A \) entonces, es consistente y  el radio espectral de \( P=M^{-1}N \) es menor que 1. Como aplicamos el método al sistema \( Ax=b \) entonces podemos descomponer \( A=M-N \).

Como es consistente entonces ocurre que \( Px+c=M^{-1}Nx+M^{-1}b=...=M^{-1}(Mx-Ax+b)=x \)
Escribimos  \( ATx'=b \) si y solo si \( (MT-NT)x'=b \)  donde \( N'=NT \) y \( M'=MT \)
Entonces,

\( P'x'+c'=(M')^{-1}N'x'+(M')^{-1}b=...=(MT)^{-1}[(M-A)Tx'+b]= \) entonces aplicamos que
                 
                                                      \( x'=T^{-1}x \)

y nos queda que

 \( =(MT)^{-1}[(M-A)TT^{-1}x+b]=(MT)^{-1}[(M-A)x+b]=T^{-1}M^{-1}[(M-A)x+b]=T^{-1}x=x' \)

por lo tanto Gauss-Seidel para el sistema con matriz \( AT \) es consistente si y solo si Gauss-Seidel para el sistema con matriz A es consistente.

Ahora me quedaría ver que el radio espectral de P' es menor que cero, entonces sabemos que como el radio espectral de P es menor que uno entonces existe una cierta norma matricial tal que \( \left\|{P}\right\|=R<1 \) de manera que restando la ecuación del método y la ecuacion de la consistencia obtenemos que

           \( x^{(k)}-x=P(x^{(k-1)}-x)=...=P^{k}(x^{0}-x) \)

Tomando normas y acotando

\( \left\|{x^{(k)}-x}\right\|\leq{} \) \( \left\|{P^{k}}\right\|\left\|{x^{0}-x}\right\| \)\( \leq{} \)\( {\left\|{P}\right\|}^{k}\left\|{x^{0}-x}\right\|=R^k\left\|{x^{0}-x}\right\|  \)

si tomamos límites obtenemos que tiende a cero

Lo que pasa es que no se como relacionar esto con \( P' \) y no sé si la primera parte de la demostración es un si y solo si o faltaría hacer el reciproco

Un saludo y gracias por contestar de antemano

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que pasa es que no se como relacionar esto con \( P' \)

Ten en cuenta que:

\( P'=(MT)^{-1}NT=T^{-1}MNT=T^{-1}PT \) (*)

Por tanto \( P,P' \) son matrices semejantes y tienen los mismos autovalores y por tanto el mismo radio espectral. Supongo que eso es un resultado que conoces. En cualquier caso es muy inmediato ver de (*) que ambas matrices tienen el mismo polinomio característico.

y no sé si la primera parte de la demostración es un si y solo si o faltaría hacer el reciproco

Está bien. De hecho fíjate que pasas de un sistema a otro multiplicando por \( T \) o por \( T^{-1} \) luego el argumento que funciona en un sentido funciona en el otro.

Saludos.