Autor Tema: Razón de cambio

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15 Junio, 2022, 06:19 pm
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Ben

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola, tengo este problema y no estoy muy seguro de cómo debo resolverlo, podría alguien darme alguna pista de cómo debo responder las preguntas.
La luz de un faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a 0? 5 kilómetro del punto que está enfrente del faro?
Gracias.



15 Junio, 2022, 08:59 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola, tengo este problema y no estoy muy seguro de cómo debo resolverlo, podría alguien darme alguna pista de cómo debo responder las preguntas.
La luz de un faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a 0? 5 kilómetro del punto que está enfrente del faro?
Gracias.

 Observa el dibujo.


Sea \( \gamma(t) \) el ángulo que forma el haz de luz con la recta que une el faro con el punto \( B \) más cercano de la costa en un instante \( t \).

 Se tiene que \( \gamma'(t)=2\cdot 2\pi \) radianes por minuto.

 Además si \( x(t) \) es la distancia del punto donde el faro ilumina a la playa al punto \( B \) se tiene que:

\(   tan(\gamma(t))=\dfrac{x(t)}{1}\quad \Rightarrow{}\quad x(t)=tan(\gamma(t)) \)

 Tienes que hallar \( x'(t_0) \) en el instante \( t_0 \) que cumple que \( x(t_0)=0.5 \).

 ¿Sabes terminar?.

Saludos.

CORREGIDO  (Gracias hméndez)

15 Junio, 2022, 09:33 pm
Respuesta #2

hméndez

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Hola

 Bienvenido al foro.

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Hola, tengo este problema y no estoy muy seguro de cómo debo resolverlo, podría alguien darme alguna pista de cómo debo responder las preguntas.
La luz de un faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a 0? 5 kilómetro del punto que está enfrente del faro?
Gracias.

 Observa el dibujo.


Sea \( \gamma(t) \) el ángulo que forma el haz de luz con la recta que une el faro con el punto \( B \) más cercano de la costa en un instante \( t \).

 Se tiene que \( \gamma'(t)=2\cdot 2\pi \) radianes por minuto.

 Además si \( x(t) \) es la distancia del punto donde el faro ilumina a la playa al punto \( B \) se tiene que:

\(   tan(\gamma(t))=\dfrac{1}{x(t)}\quad \Rightarrow{}\quad x(t)=cotan(\gamma(t)) \)

 Tienes que hallar \( x'(t_0) \) en el instante \( t_0 \) que cumple que \( x(t_0)=0.5 \).

 ¿Sabes terminar?.

Saludos.

¡Ojo Luis! Las ecuaciones no están bien.

Saludos.

16 Junio, 2022, 04:19 pm
Respuesta #3

Ben

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Hola

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Hola, tengo este problema y no estoy muy seguro de cómo debo resolverlo, podría alguien darme alguna pista de cómo debo responder las preguntas.
La luz de un faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a 0? 5 kilómetro del punto que está enfrente del faro?
Gracias.

 Observa el dibujo.


Sea \( \gamma(t) \) el ángulo que forma el haz de luz con la recta que une el faro con el punto \( B \) más cercano de la costa en un instante \( t \).

 Se tiene que \( \gamma'(t)=2\cdot 2\pi \) radianes por minuto.

 Además si \( x(t) \) es la distancia del punto donde el faro ilumina a la playa al punto \( B \) se tiene que:

\(   tan(\gamma(t))=\dfrac{x(t)}{1}\quad \Rightarrow{}\quad x(t)=tan(\gamma(t)) \)

 Tienes que hallar \( x'(t_0) \) en el instante \( t_0 \) que cumple que \( x(t_0)=0.5 \).

 ¿Sabes terminar?.

Saludos.

CORREGIDO  (Gracias hméndez)

Hola, ¿sería este el procedimiento?
\( tan \theta =\displaystyle\frac{x}{1} \)
\( sec^2 \theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{1}\frac{dx}{dt} \)
\( sec^2 \theta = 1 + tan^2 \theta \)
\( tan \theta = \frac{0.5}{1} \)
\( sec^2 \theta = 1 + (\frac{0.5}{1})^2 \)
\( sec^2 \theta = 1.25 \)
\( 1.25(4\pi) = \displaystyle\frac{1}{1}\displaystyle\frac{dx}{dt} \)
\( \frac{dx}{dt}= 15.70 km/min \)

Me he basado también en lo de este vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=o2MIMmBajak

17 Junio, 2022, 09:43 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, ¿sería este el procedimiento?
\( tan \theta =\displaystyle\frac{x}{1} \)
\( sec^2 \theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{1}\frac{dx}{dt} \)
\( sec^2 \theta = 1 + tan^2 \theta \)
\( tan \theta = \frac{0.5}{1} \)
\( sec^2 \theta = 1 + (\frac{0.5}{1})^2 \)
\( sec^2 \theta = 1.25 \)
\( 1.25(4\pi) = \displaystyle\frac{1}{1}\displaystyle\frac{dx}{dt} \)
\( \frac{dx}{dt}= 15.70 km/min \)

Me he basado también en lo de este vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=o2MIMmBajak

Está bien.

Saludos.