[alumnolibre]

Hola, encontre la siguiente proposición en un libro junto con su demostración que no llego a entender bien, si alguien podría ayudarme con una explicación más detallada por favor


Proposición: Sea $$(X,<,>)$$ un espacio producto interno. La función $$<.>:X \times X \longrightarrow{\mathbb{C}}$$ es continua

Demostración: Es suficiente tener en cuenta que:

$$<x,y>=\dfrac{1}{4}\left[||x+y||^2+||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2\right]$$ y que la función norma es continua

[Masacroso]

Hola, encontre la siguiente proposición en un libro junto con su demostración que no llego a entender bien, si alguien podría ayudarme con una explicación más detallada por favor


Proposición: Sea $$(X,<,>)$$ un espacio producto interno. La función $$<.>:X \times X \longrightarrow{\mathbb{C}}$$ es continua

Demostración: Es suficiente tener en cuenta que:

$$<x,y>=\dfrac{1}{4}\left[||x+y||^2+||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2\right]$$ y que la función norma es continua

La norma es siempre una función continua si la topología en \( X \) es aquella definida por la norma. Del mismo modo suma y resta de vectores y multiplicación por escalares en un espacio normado definen funciones continuas. Por tanto debido a la igualdad anterior se tiene que el producto interior es composición de funciones continuas y por tanto continuo.

Pregunta de nuevo si no entiendes algo.

Añado un pequeño comentario sobre la notación: para las barras de una norma se utiliza \| en vez de ||, y en vez de < y > para definir un producto interior queda mucho mejor con \langle y \rangle.

[alumnolibre]

Gracias por la respuesta, tengo dudas en esto:

- ...una función continua si la topología en $$X$$ es aquella definida por la norma.
- ...suma y resta de vectores y multiplicación por escalares en un espacio normado definen funciones continuas

[Masacroso]

Gracias por la respuesta, tengo dudas en esto:

- ...una función continua si la topología en $$X$$ es aquella definida por la norma.

Eso se sigue de la definición de continuidad de una función entre espacios normados, en este caso entre \( X \) y \( \mathbb{R} \). Es decir, \( f:X\to \mathbb{R} \) es una función continua si y solo si para cada \( x_0\in X \) y para todo \( \epsilon >0 \) existe un \( \delta >0 \) tal que si \( \|x-x_0\|<\delta  \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon  \). En el caso de una norma esta última expresión es equivalente a \( |\|x\|-\|x_0\||<\epsilon  \), pero observa que una de las propiedades de una norma es la desigualdad triangular, de donde se sigue que \( |\|x\|-\|x_0\||\leqslant \|x-x_0\| \), por tanto la norma es trivialmente continua.

- ...suma y resta de vectores y multiplicación por escalares en un espacio normado definen funciones continuas

La topología usual entre producto cartesiano de espacios topológicos es lo que se denomina la topología producto. En este caso la topología producto de dos espacios normados \( X \) e \( Y \) se puede inducir a través de una norma en \( X\times Y \) definida por \( \|(x,y)\|:=\|x\|+\|y\| \). Dicho esto intenta demostrar ahora que las funciones

\( \displaystyle{
s:X\times X\to X,\quad (x,y)\mapsto x+y\\
m:\mathbb{C}\times X\to X,\quad (\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x
} \)

son continuas aplicando la definición de continuidad antes dada entre espacios normados.

[alumnolibre]

Gracias por las aclaraciones, ahora encontré lo siguiente:



No se si es correcto decir que es el mismo ejercicio, pero también tengo dudas en la parte final que indica que usando Cauchy-Schwartz se deduce que el producto escalar es continuo en cada punto $$(u,v)$$

Si uso la definición de continuidad, tendría esto: si $$\|x-u\|<\delta$$ y $$\|y-v\|<\delta$$ entonces $$|\langle x,y \rangle - \langle u,v \rangle |$$, ¿es correcto?

[Masacroso]

si $$\|x-u\|<\delta$$ y $$\|y-v\|<\delta$$ entonces $$|\langle x,y \rangle - \langle u,v \rangle |$$, ¿es correcto?

La expresión matemática está incompleta, así como está no tiene sentido.

[alumnolibre]

Me puede indicar que esta faltando por favor

[Masacroso]

Me puede indicar que esta faltando por favor

Yo no puedo indicarte lo que falta en algo que es de tu creación, pero la frase

si $$\|x-u\|<\delta$$ y $$\|y-v\|<\delta$$ entonces $$|\langle x,y \rangle - \langle u,v \rangle |$$, ¿es correcto?

no tiene sentido matemático.

Añado: para una función como el producto interior, que tiene dominio en \( X\times X \), debes utilizar la topología producto que, como decía más arriba, es equivalente a la topología inducida por la norma \( \|(u,v)\|=\|u\|+\|v\| \). Entonces debes demostrar que para todo \( \epsilon >0 \) existe un \( \delta >0 \) tal que si \( \|(u,v)-(x,y)\|<\delta  \) entonces \( |\langle u,v \rangle -\langle x,y \rangle|<\epsilon  \).

De la norma del espacio producto tienes que \( \|(u,v)-(x,y)\|=\|(u-x,v-y)\|=\|u-x\|+\|v-y\| \), por tanto si \( \|(u,v)-(x,y)\|<\delta \) entonces \( \|u-x\|<\delta \) y \( \|v-y\|<\delta \), y por tanto de la desigualdad que te dan obtienes que \( |\langle u,v \rangle -\langle x,y \rangle|\leqslant \delta^2+\delta \|(u,v)\| \). Por tanto, dado un \( \epsilon >0 \), es suficiente con tomar un \( \delta >0 \) que cumpla la condición \( \delta^2+\delta \|(u,v)\|<\epsilon  \), por ejemplo tomando \( \delta =\frac{\min\{\epsilon ,1\}}{2+\|(u,v)\|} \).