[franma]

Buenas a todos,

Un poco de contexto:
Dado un espacio vectorial \( X \) (sobre \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)) y \( \{(X_i,\tau_i)\}_{i\in I} \) una familia de espacios vectoriales topológicos junto con \( \mathcal{F}=\{f_i:X\to X_i\}_{i\in I} \) una familia de mapas lineales, consideramos \( \tau_\mathcal{F} \) la topología inicial inducida por \( \mathcal{F} \) en \( X \) (la mínima topología que hace a toda \( f_i \) continua).

Ya he logrado probar que \( (X,\tau_\mathcal{F}) \) es un espacio vectorial topológico y que \( \beta=\{\bigcap_{i\in F} f_i^{-1}(B_i) : B_i\in\beta_i \land F\subseteq I \text{ finito}\} \) es una base local, donde \( \beta_i \) es una base local de \( (X_i,\tau_i) \).

Lo que me interesa probar ahora es que \( E\subseteq X \) es \( \tau_\mathcal{F} \) acotado si y sólo si \( f_i(E) \) es \( \tau_i \) acotado para todo \( i\in I \).

Intente lo siguiente:

\( \begin{align*}
    E \text{ acotado} &\Longleftrightarrow \forall V\in \mathcal{N}_0\  \exists t_0>0 \text{ tal que } E\subseteq tV \ \forall t\geq t_0 \\

& \Longleftrightarrow \forall V\in \beta \  \exists t_0>0 \text{ tal que } E\subseteq tV \ \forall t\geq t_0 \\

& \Longleftrightarrow \forall F\subseteq I \text{ finito y } B_i\in \beta_i \ \exists t_0>0 \text{ tal que } E\subseteq t \bigcap_{i\in F} f_i^{-1}(B_i) \ \forall t\geq t_0 \\

& \Longleftrightarrow \forall F\subseteq I \text{ finito y } B_i\in \beta_i \ \exists t_0>0 \text{ tal que } E\subseteq \bigcap_{i\in F} f_i^{-1}(tB_i) \ \forall t\geq t_0 \\

& \Longleftrightarrow \forall F\subseteq I \text{ finito y } B_i\in \beta_i \ \exists t_0>0 \text{ tal que } E\subseteq f_i^{-1}(tB_i) \ \forall t\geq t_0 \ \forall i\in F \\

& \Longleftrightarrow \forall F\subseteq I \text{ finito y } B_i\in \beta_i \ \exists t_0>0 \text{ tal que } f_i(E) \subseteq tB_i \ \forall t\geq t_0 \ \forall i\in F \\

& \Longleftrightarrow f_i(E) \text{ es acotado para todo } i\in I\\

\end{align*} \)

(\( \mathcal{N}_0 \) son los entornos de \( 0 \)).

¿Lo ven bien?

Saludos,
Franco.

[ani_pascual]

¿Lo ven bien?

Saludos,
Franco.

Hola:
Yo diría que sí, no obstante te propongo otra forma similar, aunque con algún detalle...

Spoiler

Se observa que \( \forall\,i\in I \) y \( \forall\,B_i\in\beta_i \) es \( f_i^{-1}(B_i)\in \beta \), por tanto, si \( E \) es \( \tau_{\cal F} \)-acotado, dados \( i\in I,B_i\in\beta_i \), se tiene que \( \exists\,t_0>0 \) tal que \( E\subseteq tf_i^{-1}(B_i)=f_i^{-1}(tB_i)\,\forall\,t\geq t_0\Longrightarrow f_i(E)\subseteq tB_i\,\forall\,t\geq t_0 \), luego \( f_i(E) \) es \( \tau_i \)-acotado. Recíprocamente, dado \( V\in\beta \), es decir, dado \( F\subset I \) finito y dados \( B_i\in\beta_i,\,\forall\, i\in F \), existe \( t_{0,i}>0 \) para cada \( i\in F \) tal que \( f_i(E)\subseteq tB_i,\,\forall\,t\geq t_{0,i} \). Basta tomar \( t_0=\max\limits_{i\in F}t_{0,i} \) y se tiene que \( f_i(E)\subseteq tB_i,\,\forall\,i\in F,\,\forall\,t\geq t_0\Longrightarrow E\subseteq \bigcap\limits_{i\in F}f_i^{-1}(tB_i)=t\bigcap\limits_{i\in F}f_i^{-1}(B_i)=tV,\,\forall\,t\geq t_0 \), luego \( E \) es \( \tau_{\cal F} \)-acotado.

[cerrar]

Saludos

[franma]

Hola ani_pascual

Gracias por revisarlo, y me parece que tu solución también es correcta.

Un saludo,
Franco.