[franma]

Buenas a todos,

El enunciando dice lo siguiente:
Mostar que la bola unidad cerrada de \( \ell^1 \) es la envolvente convexa cerrada de sus puntos extremales.

Mi primera idea al leer el enunciado fue acudir al teorema de Krein-Milman pero me di cuenta que no se lo puedo aplicar "directamente" pues si la bola fuese compacta entonces \( \ell^1 \) tendría dimensión finita, lo cual no es cierto.

Ahora, haciendo cuentas "a mano", llegue a que \( \text{ext}(B)=\{\pm e_n: n\in \mathbb{N} \} \), ¿es correcto?, si alguien quiere puedo escribir las cuentas.

Me esta costando un poco ver que cualquier elemento \( x\in B \) se puede escribir como limite de combinaciones convexas de los \( \pm e_n \):
Si \( x\in B \) entonces \( ||x||_1\leq 1 \) luego \( |x_1|\leq 1 \) luego podemos tomar \( y_1:= |x_1| (\text{sgn}(x_1)e_1)+ (1-|x_1|)e_2 \) pero no creo que esta idea funcione ya que no la pude adaptar para por ejemplo aproximar las primeras dos coordenadas de \( x \) ¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Y por ejemplo la sucesión:

 \( y_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}|x_i|signo(x_i)e_i+(1-\sum_{i=1}^n|x_i|)e_{n+1} \)?

NO, ESTO NO FUNCIONA.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya lo veo (creo).

1) Primero nos convencemos de que cualquier sucesión de \( B\subset \ell 1 \) con un número finito de términos no nulos puede escribirse de manera exacta como combinación lineal convexa de los elementos \( \{pm e_n\} \).

2) Después para aproximar una sucesión \( x\in B\subset \ell 1 \) cualquiera, basta ir tomando las sucesión de elementos formada por las sucesiones que resultan de \( x \) quedándose sólo con los \( n \) primeros términos.

 En cuando a las pruebas, creo que (2) es obvio.

 Para (1) se puede razonar inductivamente que una sucesión \( x\subset B \) con los sólo los primeros \( n \) términos no nulos puede escribirse como combinación lineal convexa de \( \pm e^n \) y una sucesión \( x'\subset B \) con los sólo los primeros \( n-1 \) términos no nulos

 La idea para construir \( x' \) es tomar el corte de la recta que une \( signo(x_n) e^n \) y \( x \) con el hiperplano "coordenada \( n \) igual a  cero". (al estilo de la proyección estereográfica).

Spoiler

Como ejemplo si tenemos un punto en \( P=(x_0,y_0,z_0)\in \Bbb R^3 \) con \( |x_0|+|y_0|+|z_0|\leq 1 \) y \( z_0 \), tomas la recta que une \( (0,0,1) \) con \( P \) y la cortas con el plano \( z=0 \). Obtendrás un punto \( Q=(x_1,y_1,0) \) con \( |x_1|+|y_1|\leq 1 \) de manera que \( P \) está en el segmento que une \( Q \) y \( (0,0,1) \).

[cerrar]

 Si tienes problemas con los detalles o quizá he metido la pata de nuevo y no funciona vuelve a preguntar.

Saludos.

[franma]

Hola Luis ,

Muchas gracias por escribir todo el proceso detallado, pero investigando un poco en MSE  creo que encontré una idea similar a la primera que se te ocurrió:

Escribimos:

\( \displaystyle y_n:= \sum_{k=1}^n |x_k| \text{sgn}(x_k) e_k + \dfrac{1}{2}\left( 1 - \sum_{k=1}^n |x_k|  \right)e_1 + \dfrac{1}{2}\left( 1 - \sum_{k=1}^n |x_k|  \right)(-e_1) \)

Y ahora es inmediato que \( y_n \) converge a \( x \).

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis ,

Muchas gracias por escribir todo el proceso detallado, pero investigando un poco en MSE  creo que encontré una idea similar a la primera que se te ocurrió:

Escribimos:

\( \displaystyle y_n:= \sum_{k=1}^n |x_k| \text{sgn}(x_k) e_k + \dfrac{1}{2}\left( 1 - \sum_{k=1}^n |x_k|  \right)e_1 + \dfrac{1}{2}\left( 1 - \sum_{k=1}^n |x_k|  \right)(-e_1) \)

Y ahora es inmediato que \( y_n \) converge a \( x \).

  ¡Mira qué me compliqué la vida!.

 Al final era fácil deshacerse del sobrante \( 1 - \sum_{k=1}^n|x_k|  \) repartiéndolo entre dos puntos extremos opuestos. 

Saludos.

[franma]

Hola

(...)

 Al final era fácil deshacerse del sobrante \( 1 - \sum_{k=1}^n |x_k| \) repartiéndolo entre dos puntos extremos opuestos. 

Saludos.

¡Si! 

Terminando de escribir el ejercicio me di cuenta que tenia un fallo en la primera parte, al calcular los puntos extremales de \( B \), pues solamente comprobé que si \( x\neq \pm e_n \) entonces \( x\not\in \text{ext}(B) \).
Ahora he intentado probar que efectivamente \( \pm e_n\in \text{ext}(B) \) , pero no se si esta correcto:

Supongamos que existen \( x,y\in B \) y \( t\in (0,1) \) de forma que \( \pm e_n=(1-t)x+ty \), luego tendríamos que:

\( \pm 1=(1-t)x_n+t y_n \)

aquí se me ocurre que al tener \( x,y\in B \) tenemos \( x_n,y_n \in [-1,1] \) luego como \( \pm 1 \) es un punto extremal de \( [-1,1] \) necesariamente tenemos que \( x_n=y_n=\pm 1 \)

Pero como \( ||x||_1 \leq 1 \) y \( ||y||_1 \leq 1 \) el hecho de que \( x_n=y_n=\pm 1 \) implica automáticamente que \( x_k=y_k=0 \) para todo \( k\neq n \) (pues si no, tendríamos que \( ||x||_1> 1 \) o \( ||y||_1> 1 \))

¿Está bien?

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Terminando de escribir el ejercicio me di cuenta que tenia un fallo en la primera parte, al calcular los puntos extremales de \( B \), pues solamente comprobé que si \( x\neq \pm e_n \) entonces \( x\not\in \text{ext}(B) \).
Ahora he intentado probar que efectivamente \( \pm e_n\in \text{ext}(B) \) , pero no se si esta correcto:

Supongamos que existen \( x,y\in B \) y \( t\in (0,1) \) de forma que \( \pm e_n=(1-t)x+ty \), luego tendríamos que:

\( \pm 1=(1-t)x_n+t y_n \)

aquí se me ocurre que al tener \( x,y\in B \) tenemos \( x_n,y_n \in [-1,1] \) luego como \( \pm 1 \) es un punto extremal de \( [-1,1] \) necesariamente tenemos que \( x_n=y_n=\pm 1 \)

Pero como \( ||x||_1 \leq 1 \) y \( ||y||_1 \leq 1 \) el hecho de que \( x_n=y_n=\pm 1 \) implica automáticamente que \( x_k=y_k=0 \) para todo \( k\neq n \) (pues si no, tendríamos que \( ||x||_1> 1 \) o \( ||y||_1> 1 \))

Yo lo veo bien.

Saludos.

[franma]

¡Muchas gracias por revisarlo!

Saludos,
Franco.