Para decir las cosas "como son", ahí concreto la trastienda "política" del platonismo.
Aceptar que hay ideas matemáticas en un mundo ideal, como hacía Platón,
es aceptar una especie de dogma de fe.
Nuestro mundo está muy susceptible con las discusiones que involucran a Dios.
Creyentes contra no creyentes.
Aceptar un mundo ideal es equivalente, se huele, a aceptar la existencia de un mundo espiritual, o angelical.
Por eso molesta el platonismo a los que son excesivamente materialistas (positivismo dicen que se llama el "partido político" de tales individuos).
Esta lucha entre Dios y no-Dios, entre "creer que existe un mundo espiritual" y "creer que sólo existe materia fría y dura", se mezcla en todos los aspectos de la cultura humana.
Es inevitable, porque la cultura actual, incluida la ciencia moderna, es parte de discusiones e ideas que se han desarrollado por siglos.
Hay cierta continuidad en el hilo filosófico de todo lo que nos inquieta intelectualmente.
Ahora bien, la matemática hereda, quiérase no, varios de tales asuntos.
Entre otras razones, porque no queremos deshacernos de los hermosos descubrimientos de la geometría griega... que era platónica.
Tampoco queremos deshacernos de los infinitos de Cantor... que por no ser finitos ya requieren "saltarse" el contraste empírico, irse más allá de lo "manejable a escala humana".
Otro acto de fe.
Ahora bien. Cuenta la leyenda que Hilbert por el 1900 quiso unir lo mejor de los dos mundos, y dejar bases matemáticas sólidas e incuestionables.
Por una parte quería un método "finitario", o sea, "visible a simple vista", una construcción de la matemática tan elemental que podía hacerse en forma mecánica, comprobarse en forma empírica, y mediante métodos que no invoquen el cuestionado "infinito" en su seno.
En resumen, una matemática así no tendría nada de Platónico, y sería un logro intelectual muy grande: la demostración de que no hace falta recurrir a "conejos sacados mágicamente de la galera", hablar de mundos ideales, ni cosas así.
Por otro lado, a Hilbert le gustaban la geometría griega y los números infinitos de Cantor.
Pero, para no volverse platonista, decidió que todo eso eran símbolos sin significado de una teoría abstracta. El significado de los infinitos, por ejemplo, ya no estaría dado por "la intuición de conjunto infinito", sino por meras reglas de un sistema axiomático dado en forma precisa, y algorítmicamente finito.
Así, el signo \( \infty \) indicaría el infinito en la teoría matemática formal, pero no tendría por qué existir realmente un conjunto infinito en la dimensión de las ideas perfectas de Platón.
Se lo manipularía como a cualquier otro símbolo, acorde a reglas frías sin significado, y en todo caso, si a uno le interesa conservar la "intuición" de infinito para "visualizar" mejor los conceptos, estaría bien, pero no agregaría ni quitaría nada a las demostraciones o cálculos formales.
Más tarde, en 1930, Godel mostró las limitaciones de un método como ese.
Para hacer una analogía de lo que Godel "le hizo" a la teoría formalista o axiomática de Hilbert, digamos que sería el equivalente de que venga un nuevo Papa a demostrar fehacientemente con el uso de la Biblia misma que Dios no existe.
Esa es la mente de Godel, un matemático que cuestionaba todo profundamente y con gran inteligencia.
Un matemático tan riguroso como Godel, es de esperar que sea realmente exquisito, desconfiado, y por lo tanto "ideológicamente" lejano a cualquier "acto de fe", como lo sería por ejemplo el "platonismo".
Sin embargo se dice por ahí que Godel aceptaba una visión platónica de la matemática.
¿Cómo es tal cosa posible?
No creo yo que Godel haya sido tan ingenuo de tomarse al pie de la letra los discursos de Platón.
Pero estoy seguro de que tenía muy buenas razones para tomar una postura u otra.
Yo no sé si el mundo perfecto de las ideas matemáticas están en un "más allá" (que no lo creo), o si están conectadas con cierta esencia del Universo mismo, a la cual el cerebro accede de alguna manera (cosa que se acerca mas a lo que me parece que "puede ser cierto"), pero estimo que Godel habrá pensado en algún momento que adoptar una actitud "platónica" en matemáticas era, como mínimo, algo fecundo. O sea, útil de alguna manera, en tanto y en cuanto no sepamos con mayor certeza cómo es que el cerebro humano llega a producir conocimiento o entendimiento matemático.
El formalismo absoluto es maquinal, puede llevarlo a cabo una computadora, pero sin entender lo que está haciendo.
El ser humano abstrae aspectos de la realidad en base a su intuición y experiencia, y luego sistematiza y formaliza. Para el ser humano hay un sentido de fondo, está resolviendo un problema práctico "a la larga", y la abstracción surge tras un proceso de aprendizaje de problemas que se comportan todos de igual modo.
Ahora ha surgido la teoría de categorías.
A mí me da la sensación de que está mal fundamentada.
No tiene el rigor que tiene la teoría de conjuntos, los lenguajes de primer orden, y el formalismo en general, que a pesar de sus fallas o limitaciones, se lo puede adoptar.
Sin embargo, si la teoría de categorías hallase fundamento riguroso, sería un fiel reflejo del proceso de abstracción humano, en el que en realidad uno establece relaciones entre objetos o fenómenos, que van y vienen, y se abstrae al comprobar que un par de "situaciones" se modelan de la misma forma.
Hay un componente de "infinitud" en la mente humana, que aunque lo restrinjamos al "infinito potencial" de los intuicionistas, sigue siendo un misterio.
Tratando de comprender a Godel, si es que de verdad era platonista, llego a pensar o vislumbrar que el mero hecho de aceptar algo tan básico como los números naturales ya nos hace platonistas. Quizá no tanto como Platón mismo... pero ya estaríamos pisando su territorio de la frontera "para adentro".
Uno podría decir, bueno, en el Universo el infinito no existe, y por lo tanto la matemática exagera y habla de cosas que no están ahí, hay que modificarla...
Pero el mero hecho de que alguna vez hayamos podidos "pensar" en lo infinito, ¿no le da al infinito algún tipo de realidad?
¿Dónde están los infinitos números naturales?
¿Y por qué siempre puedo, dado un número, obtener el siguiente de él, distinto a todos los demás que le preceden? Esta posibilidad de un "proceso infinito", esa "cosquillita recursiva", ¿dónde es que reside?
