[zimbawe]

Hola, tengo una pregunta. ¿Cuál es en general la relación entre el polinomio característico de \( AB \) y \( BA \)?

[zimbawe]

Ya encontré algo al respecto, gracias.

[martiniano]

Hola Zimbawe.

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada.

Saludos y gracias. 

[Fernando Revilla]

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada. 

Mira el apartado 1 de Formas de Jordan de \( AB \) y \( BA \).

[martiniano]

Hola.

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada. 

Mira el apartado 1 de Formas de Jordan de \( AB \) y \( BA \).

Estupendo, muchas gracias. Todo aclarado. Muy hábil jugada.

Saludos.

[feriva]

Hola, tengo una pregunta. ¿Cuál es en general la relación entre el polinomio característico de \( AB \) y \( BA \)?

Supongo que habrá que usar la semejanza de matrices para AB y BA.

Quizá también se puede ver con el teorema de Hamilton-Cayley (o Cayley-Hamilton).

Su enunciado es muy sencillo, dice que si tienes un cierto polinomio característico asociado a una matrzi “M”, por ejemplo, éste

\( \lambda^{3}+a\lambda^{2}+b\lambda+c=0
  \)

Entonces

\( M^{3}+aM^{2}+bM+cI=(0)=matriz\ cero
  \) donde I es la matriz indentidad y a,b,c son los mismos coeficientes que en el anterior polinomio.

Sabiendo esto, hagamos ahora \( \lambda=xy
  \) por una parte y \( \lambda=yx
  \) por otra. Si operamos respetando los lados (como si fueran matrices, sin usar la conmutativa) es trivial admitir que llegaremos a que \( P(\lambda)=P(xy)=P(yx)
  \), pues se trata del mismo escalar escrito de otra forma y operar así, como si fueran matrices, no puede cambiar el resultado (podemos meternos en “despejes” y entretenernos un rato con el juego algebraico, que siempre está muy bien y es provechoso y divertido, pero estamos seguros de que tiene que ser así).

Por tanto, por el teorema de Cayley-Hamilton, tendrá que ocurrir también que \( P(M)=P(AB)=P(BA)
  \); me atrevo a asegurarlo sin miedo.

Saludos.

[martiniano]

Hola feriva.

Ciertamente puedes asegurar sin miedo que ambas matrices tienen el mismo polinomio característico. Tienes una demostración en el enlace sugerido por Fernando Revilla. Échale un vistazo porque es muy buena.

Tu demostración no me gusta demasiado. Ten en cuenta que el producto de mstrices no es conmutativo, y que el hecho de que una matriz anule un polinomio, no quiere decir que ése sea su polinomio característico. Es muy fácil encontrar contraejemplos, piénsalo.

Saludos. 

[feriva]

Hola feriva.


Tu demostración no me gusta demasiado. Ten en cuenta que el producto de mstrices no es conmutativo, y que el hecho de que una matriz anule un polinomio, no quiere decir que ése sea su polinomio característico. Es muy fácil encontrar contraejemplos, piénsalo.

Saludos. 

Hola, martiniano.

Con eso no quería recomendar a Zimbawe que no hiciera las operaciones, sólo que yo no veo peligro en lo que digo (pero, como me equivoco mucho, esto no quiere decir que no lo haya, no digo que no).

No parto de las matrices, sino del polinomio normal en lambda, con escalares. Lambda es una variable tal que existen infinitos representantes x,y que cumplen todos, \( \lambda=xy
  \); existen y da igual cuáles puedan ser tomados, porque en todo caso se cumple \( xy=yx \), la cuestión es que ese producto toma el valor de lambda (que no es un vector ni una matriz).

Ahora supongamos que yo opero con ambas cosas, (xy) y (yx), como si fueran matrices (sin serlo). ¿Podría existir la posibilidad de que me saliera \( P(xy)\neq P(yx)
  \)? Eso es lo mismo que preguntar que si me puede salir \( P(\lambda)\neq P(\lambda)
  \) por culpa de operar sin la conmutativa. Yo creo que es bastante obvio que no (pero “obvio es una palabra peligrosa, es verdad). Si fuera al revés, usando matrices y operando como si no lo fueran, sí, ahí sí puede salir mal.

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso \( P(xy)=P(yx)
  \); ahí está mi confianza.

Tal afirmación, aisladamente, no me da seguridad todavía, pero tengo el teorema de Cayley-Hamilton, donde puedo cambiar las (xy) y (yx) por (AB) y (BA) y operar exactamente igual; y, como sólo son letras distintas... tendrá que pasar igual, \( P(AB)=P(BA)
  \), porque si pudiera pasar \( P(AB)\neq P(BA)
  \) también existiría la misma posibilidad para lo otro, \( P(xy)\neq P(yx)
  \), lo que implicaría la posibilidad de una imposibilidad: \( P(\lambda)\neq P(\lambda)
  \).

*(Pero también reconozco que si no fuera porque he hecho unas cuentas para mirarlo no me hubiera atrevido a decirlo )

Saludos.

[martiniano]

Hola feriva.

Lamento no haberme acordado en el mensaje de antes de agradecer tu aportación. Bueno, lo hago ahora. En fin, más vale tarde que nunca  .

Lo que sucede es que hay cosas que no acabo de ver. Se me debe estar escapando algo...

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso \( P(xy)=P(yx)
  \); ahí está mi confianza.

Esto último, es en general falso si x e y son matrices, ¿no? Basta que tomes el polinomio identidad para verlo. Es cierto si P es el polinomio característico de \( xy \), ya que, debido precisamente a lo que queremos demostrar y al teorema de Cayley-Hamilton que tú mismo citas se tiene que: \( P(xy)=P(yx)=0 \)

si pudiera pasar \( P(AB)\neq P(BA)
  \) también existiría la misma posibilidad para lo otro, \( P(xy)\neq P(yx)
[/quote]

Esta última afirmación no la entiendo, ¿te importaría detallarla un poco?. Doy por hecho que [tex]A  \) y \( B  \) son matrices y \( x  \) e \( y \) escalares. Vuelvo a remarcar que es cierta para polinomios particulares, pero falsa en general por lo que ya he dicho, ¿qué opinas tú?.

Saludos, y gracias.

[feriva]

Hola feriva.

Lamento no haberme acordado en el mensaje de antes de agradecer tu aportación. Bueno, lo hago ahora. En fin, más vale tarde que nunca  .

Lo que sucede es que hay cosas que no acabo de ver. Se me debe estar escapando algo...

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso \( P(xy)=P(yx)
  \); ahí está mi confianza.

Esto último, es en general falso si x e y son matrices, ¿no? Basta que tomes el polinomio identidad para verlo. Es cierto si P es el polinomio característico de \( xy \), ya que, debido precisamente a lo que queremos demostrar y al teorema de Cayley-Hamilton que tú mismo citas se tiene que: \( P(xy)=P(yx)=0 \)

si pudiera pasar \( P(AB)\neq P(BA)
  \) también existiría la misma posibilidad para lo otro, \( P(xy)\neq P(yx)
[/quote]

Esta última afirmación no la entiendo, ¿te importaría detallarla un poco?. Doy por hecho que [tex]A  \) y \( B  \) son matrices y \( x  \) e \( y \) escalares. Vuelvo a remarcar que es cierta para polinomios particulares, pero falsa en general por lo que ya he dicho, ¿qué opinas tú?.

Saludos, y gracias.

Soy yo quien te agradezco que tomes en consideraciones mis cosas, tan poco formales y poco serias

...

Sí, haré un esfuerzo por explicarme mejor; aunque ya digo que me convence a mí, yo lo “veo” (o creo verlo) pero no pretendo que me lo admitas como demostración; (por supuesto, la de Fernando es muy cortita, fácil y no requiere esfuerzos ni intuiciones, todo esto que digo sobra).

Si operamos los polinomios de matrices (característicos, se entiende) llegaremos a saber si son iguales o no: o sea, si ocurre \( P(AB)=P(BA)
  \) ó \( P(AB)\neq P(BA)
  \); sin operar sabemos que se puede resolver (quede esto como proposición)

Además, por Cayley-Hamilton sabemos que existen los polinomios característicos de (AB) y (BA) asociados a los autovalores de cada matriz; el del “lambda” de (AB) tiene los mismos coeficientes que el de la \( (AB) \) y el de \( (BA) \) los mismos que el de la \( (BA) \); son los mismos perros con otros collares.

Ahora dejamos esto a aparte, nos olvidamos un poco de momento.

Consideramos unos polinomios en lambda y beta (con escalares) tales que \( \lambda=(xy)
  \) y \( \beta=(yx)
  \). En este caso sabemos de antemano que, operemos como operemos, con conmutativa o sin ella (siempre que operemos sin errores) tendremos que tener \( P(xy)=P(yx)\Rightarrow P(\lambda)=P(\beta)
  \). Como máximo y a modo de objeción, puedo admitir que, si operara sólo con las propiedades de las matrices, podría ocurrir que no llegara a resolver el problema algebraicamente por falta de herramientas, al dejar de usar alguna propiedad de los cuerpos. Sin embargo, si hemos admitido la primera proposición (que había hecho para el caso de las matrices) habrá que admitir que aquí también podremos resolver el problema algebraicamente, que no faltarán herramientas para llegar al final (porque es exactamente lo mismo con otras letras, y las letras no saben si son matrices o escalares, podemos hacer lo mismo con unas que con otras; tan sólo son elementos que soportan operaciones o propiedades comunes y alguna no común).

A partir de ahí yo afirmo (que no demuestro) sólo si pudiera ocurrir \( P(xy)\neq P(yx)\Rightarrow P(\lambda)\neq P(\beta)
  \), con estas letras, podría ocurrir también con las otras.

Saludos.