[nathan]

Saludos amigos, quiero demostrar este resultado.

Si \( 0<x<1 \) entonces \( x<\sqrt[ ]{x} \)

No puedo demostrarlo, se que es cierto, pero no puedo demostrarlo, ¿Me echan una mano?

[Juan Pablo Sancho]

Si \(  0 < \alpha < 1  \) entonces \(  0 < \alpha^2 < \alpha < 1  \) multiplicando la primera desigualdad por \( \alpha \)

\(  0 <  \sqrt{x}  < 1  \) multiplica por \( \sqrt{x} \)

Donde la función \(  f(x) = \sqrt{x}  \) es creciente como \(  x < 1  \) entonces \( \sqrt{x} < \sqrt{1} = 1  \)

[mathtruco]

Hola nathan. Sea \( 0<x<1 \).

Si \( x>\sqrt{x} \)   (ojo que llegaremos a una contradicción al suponer esto),   entonces

    - en particular \( \boxed{1>\sqrt{x}} \),  pues supusimos \( 0<x<1 \),

    - pero además multiplicando por \( \sqrt{x} \) obtenemos

        \( x\sqrt{x}>\sqrt{x}\sqrt{x}\Rightarrow x\sqrt{x}>x\Rightarrow \boxed{\sqrt{x}>1} \),

llegando a una contradicción.

P.D. Me demoré en responder, pero dejo la respuesta de todas formas por si es de utildad. Nota que, a diferencia de la respuesta anterior, para obtener el resultado no uso que la función raíz es decreciente.

[Juan Pablo Sancho]

En particular :

Si \( \alpha > 1  \) entonces \( 1 < \alpha  \) multiplico por \( \alpha \) y queda \( \alpha < \alpha^2  \)


Si \( 1 > \alpha > 0  \) entonces \( 0 < \alpha < 1  \) multiplico por \( \alpha \) y queda \( 0 < \alpha^2 < \alpha  \)

Toma el segundo caso \(  \alpha^2 = x  \).

[feriva]

Hola, nathan.

También puedes ver que si “x” es un positivo y “r” una raíz positiva, tienes

\( x=r\cdot r\Rightarrow\dfrac{x}{r}=r
  \); de donde trivialmente o por definición tienes que \( r<1\Rightarrow x<r
  \) o viceversa (para que el valor de la fracción sea menor que uno el numerador tiene que ser menor que el denominador; esto es axiomático, no se puede demostrar; al menos no sin marear la perdiz).

intuitivamente, al multiplicar un número menor que la unidad se dobla la cantidad de ceros a la izquierda: \( 0,01*0,01=0,0001
  \); aunque yo a esto no le llamaría “intuitivamente”, es la observación de cómo operamos, de un mecanismo o método que es así por definición y, por tanto, la conclusión obtenida es rigurosa; lo que se deduce no puede ser de otra manera, no alberga duda ninguna.

Saludos.