Rincón Matemático
Matemática => Matemáticas Generales => Esquemas de demostración - Inducción => Mensaje iniciado por: nathan en 04 Enero, 2018, 02:57 am
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Saludos amigos, quiero demostrar este resultado.
Si \( 0<x<1 \) entonces \( x<\sqrt[ ]{x} \)
No puedo demostrarlo, se que es cierto, pero no puedo demostrarlo, ¿Me echan una mano?
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Si \( 0 < \alpha < 1 \) entonces \( 0 < \alpha^2 < \alpha < 1 \) multiplicando la primera desigualdad por \( \alpha \)
\( 0 < \sqrt{x} < 1 \) multiplica por \( \sqrt{x} \)
Donde la función \( f(x) = \sqrt{x} \) es creciente como \( x < 1 \) entonces \( \sqrt{x} < \sqrt{1} = 1 \)
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Hola nathan. Sea \( 0<x<1 \).
Si \( x>\sqrt{x} \) (ojo que llegaremos a una contradicción al suponer esto), entonces
- en particular \( \boxed{1>\sqrt{x}} \), pues supusimos \( 0<x<1 \),
- pero además multiplicando por \( \sqrt{x} \) obtenemos
\( x\sqrt{x}>\sqrt{x}\sqrt{x}\Rightarrow x\sqrt{x}>x\Rightarrow \boxed{\sqrt{x}>1} \),
llegando a una contradicción.
P.D. Me demoré en responder, pero dejo la respuesta de todas formas por si es de utildad. Nota que, a diferencia de la respuesta anterior, para obtener el resultado no uso que la función raíz es decreciente.
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En particular :
Si \( \alpha > 1 \) entonces \( 1 < \alpha \) multiplico por \( \alpha \) y queda \( \alpha < \alpha^2 \)
Si \( 1 > \alpha > 0 \) entonces \( 0 < \alpha < 1 \) multiplico por \( \alpha \) y queda \( 0 < \alpha^2 < \alpha \)
Toma el segundo caso \( \alpha^2 = x \).
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Hola, nathan.
También puedes ver que si “x” es un positivo y “r” una raíz positiva, tienes
\( x=r\cdot r\Rightarrow\dfrac{x}{r}=r
\); de donde trivialmente o por definición tienes que \( r<1\Rightarrow x<r
\) o viceversa (para que el valor de la fracción sea menor que uno el numerador tiene que ser menor que el denominador; esto es axiomático, no se puede demostrar; al menos no sin marear la perdiz).
intuitivamente, al multiplicar un número menor que la unidad se dobla la cantidad de ceros a la izquierda: \( 0,01*0,01=0,0001
\); aunque yo a esto no le llamaría “intuitivamente”, es la observación de cómo operamos, de un mecanismo o método que es así por definición y, por tanto, la conclusión obtenida es rigurosa; lo que se deduce no puede ser de otra manera, no alberga duda ninguna.
Saludos.