[argentinator]

La demostración del Último Teorema de Fermat no ha llegado por la vía sencilla.

El objetivo de este hilo es que entre todos discutamos, paso a paso, la prueba de Wiles, y todas las herramientas de álgebra y teoría de números que sean necesarias para su completa comprensión.

Todos los comentarios que sean ajenos a este objetivo serán borrados automáticamente, y así el hilo podrá seguir abierto para beneficio de todos.

También habrá un thread aledaño a éste, en el que se colocarán los comentarios y conversaciones antiguas que ya no sirvan, o aquellos dichos que tengan poca relación con los cálculos de la prueba misma.

Comentarios del thread "Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente)."


Así que comencemos.

Pierre Fermat dejó anotada en el margen de su ejemplar de Arithmetica de Diofanto la conjetura siguiente:

• Dado un entero positivo \( n\geq 3 \), no existen enteros positivos \( a,b,c \), tales que \( a^n+b^n=c^n \).
  

Fermat dijo tener una prueba maravillosa, pero jamás fue hallada, y durante más de 300 años los matemáticos intentaron probar la conjetura. Esos intentos dieron lugar a fantásticos descubrimientos en teoría de números, y al fin, Wiles en 1995 dio la prueba definitiva, aunque aprovechando todo el bagaje intelectual sembrado por otros matemáticos en estos 3 siglos.

El artículo puede leerse (o bajarse) en su versión original en inglés en la siguiente dirección:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

Conviene tener a mano la siguiente página web:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/

En adelante usaremos la abreviatura UTF (Último Teorema de Fermat).
Usualmente, el UTF se enuncia en todo el anillo de números enteros, del siguiente modo:

• Dado \( n\geq 3 \), no existen enteros no triviales \( a,b,c \), tales que \( a^n+b^n=c^n \)

• Entero no trivial significa simplemente no nulo. Es fácil hallar ejemplos de igualdad cuando alguno de los términos es igual a 0.

 

Lo ideal es que la demostración quede completa y clara para todo el mundo, paso a paso.
Se esperan aportes.

________________

Nota importante: Los aportes en este hilo tienen que ser exclusivamente en torno a la historia "oficial" de la prueba del UTF, y esto involucra a los métodos empleados por Fermat, Euler y sus sucesores, hasta llegar a Wiles.

Para discutir demostraciones alternativas, o intentos o ideas o enfoques distintos,
POR FAVOR abrir otro hilo distinto en el subforo del Teorema de Fermat.

[argentinator]

Según mi opinión personal, muchas cuestiones intelectuales (no siempre todas) conviene estudiarlas del mismo modo en que fueron surgiendo históricamente, debido a que el grado de comprensión que se fue alcanzando gradualmente a lo largo de los años, es más o menos el mismo proceso que un ser humano individual hubiera llevado a cabo si hubiera podido vivir durante todos esos años.

Así que me parece que empezar directamente por el artículo de Wiles es empezar por lo más difícil, y nos vamos a frustrar.

Voy a usar como guía histórica el artículo siguiente:

From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem (Israel Kleiner).

• Fermat comenzó probando el caso n = 4 en el año 1630.
• Euler dio una prueba del caso n = 3 en el año 1760, pero al parecer contenía un error.
• Al parecer Gauss probó los casos n = 3 y n = 5, a mediados del siglo 19. No sé bien la fecha.
• En 1825 Legendre y Dirichlet probaron independientemente el caso n = 5.
• En 1832, Dirichlet probó el caso n = 14.
• En 1839, Lamé probó el caso n = 7.

A partir de aquí las cosas se complican.
Así que propongo empezar con estos casos, como para entrar en calor.

En lo que sigue, voy a usar la notación UTF(n)
para indicar el Último Teorema de Fermat en el caso de exponente prefijado n,
y también podemos usar la notación UTF(a,b,c,n) para indicar la desigualdad \( a^n+b^n\neq c^n \).

Antes que nada, unas observaciones sencillas.

• Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

Demostración:

Sean \( a, b, c, \) enteros no nulos.
Si n es par, entonces \( a^n+b^n-c^n=\left |{a}\right |^n+\left |{b}\right| ^n-\left |{c}\right | ^n \neq 0 \), pues \( \left |{a}\right| ,\left |{b}\right| ,\left |{c}\right|  \), son positivos.
Podemos suponer, pues, que n es impar.

Si \( a,b,c, \) son todos positivos, entonces \( a^n+b^n\neq c^n \), por hipótesis.
Si \( a,b>0, c<0 \), es trivial que \( a^n+b^n>0> c^n \).
Si \( a>0, b<0,c>0 \), tenemos que \( a^n+b^n - c^n=-( c^n+\left |{b}\right | ^n -   a^n)\neq 0 \), pues \( a,\left |{b}\right| , c \) son todos positivos.

Los demás casos son análogos, salvo algún cambio de signo.

[cerrar]

El significado de esto es que basta pensar en enteros positivos \( a,b,c \).
Sin embargo, creería que esta restricción no se aplica al usar los métodos avanzados.

• Suponiendo cierto el UTF(n), entonces para todo entero positivo k resulta cierto el UTF(nk).

Demostración:

Supongamos que para ciertos enteros positivos \( a,b,c \), tenemos que \( a^{nk}+b^{nk}=c^{nk} \).
En ese caso, definiendo \( A=a^k,B=b^k, C=c^k \), obtenemos los enteros positivos \( A,B,C \), que satisfacen la igualdad \( A^n+B^n=C^n \).
Pero esto contradice el supuesto UTF(n).

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Sabemos también que, para n = 2 el UTF(2) es falso, debido a la existencia de las infinitas ternas pitagóricas.
Por ejemplo \( 3^2+4^2=5^2 \).

De manera que, para probar el UTF, es suficiente probar el UTF(p), para todo primo p > 2, y para p = 4 (que no es primo),
debido a que todo exponente \( n\geq3  \) es múltiplo de un primo p > 2, o bien de 4.

• Lema. Sea \( n \geq 1 \) prefijado. Dados \( a,b,c,k \)enteros positivos,
  si \( a^n+b^n=c^n \), entonces \( (ak)^n+(bk)^n=(ck)^n \)
  
  La prueba es trivial, y lo que significa es que uno puede restringirse a estudiar ternas \( (a,b,c) \) sin factores comunes.
  

• Hay otro caso sencillo a estudiar, pero lo agregaré más adelante en este mismo post...

A continuación procuraré escribir las pruebas de los casos n = 4, 3, 5, 14, 7.
Si alguien más se anima, puede hacerlo también.


Dejo aquí listados enlaces a libros de Ivorra del Castillo, que muchos conocemos por lo ameno y útil de su contenido:

Teoría de Números (Carlos Ivorra del Castillo)
Álgebra (Carlos Ivorra del Castillo)

Más de una vez usaré o me basaré en el contenido de estos textos.

[argentinator]

En lo que sigue, será útil tener en cuenta lo que ocurre con el caso n = 2.

Ternas Pitagóricas.

Una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos es una terna pitagórica, si se satisface la igualdad

• \( a^2+b^2=c^2 \)

Teorema. Todas las ternas pitagóricas son de la forma \( (a,b,c)=(r^2-s^2,2rs,r^2+s^2) \), donde \( r,s \) son enteros positivos, \( r>s \), \( r,s \) sin factores comunes y de distinta paridad, o bien un múltiplo \( (ka,kb,kc), k\in\mathbb{Z}^+ \) de las anteriores.

La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas


En el siguiente desplegable listamos Resultados básicos de Teoría de Números y Divisibilidad.
Los vamos a usar continuamente, así que conviene echarles una ojeada, y revisarlos en caso de duda en algún paso de las pruebas.
Las demostraciones se omiten.

Resultados básicos de Teoría de Números y Divisibilidad

A menos que se diga lo contrario, las letras indicarán números enteros.

Resultados Básicos de Divisibilidad de Enteros.

Dados dos enteros \( a,b \), se dice que \( a \) divide a \( b \), y se denota \( a|b \), si existe otro entero \( k \) tal que \( b=ak \).

• Para todo \( a \): \( 1|a \), \( -1|a \)
• Para todo \( a \): \( a|0 \)
• Para todo \( a \): \( a|a \), \( -a|a \), \( a|-a \).
• Para todo \( a \): si \( c|a \) entonces \( -c|a \), \( c|-a \).
• Si \( a|b \) y \( b|c \), entonces \( a|c \).
• Si \( a|b \) y \( a|c \), entonces \( a|b+c \).
• Si \( a|b \), entonces, para todo \( k \): \( a|bk \).

Máximo Común Divisor.

Dados dos enteros \( m,n \), tal que al menos uno de ellos es no nulo, existe un máximo entero positivo \( d \) tal que \( d|m \) y \( d|n \). Se dice que \( d \) es el máximo común divisor de \( m \) y \( n \), y se lo denota por \( mcd(m,n) \).

Si \( mcd(m,n)=1 \), se dice que \( m,n \) no tienen factores comunes, o que son coprimos.

• Algoritmo de División de Euclides. Dados \( a\in \mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}^+ \), existen únicos enteros no negativos \( b,r \) tales que:
  \( a=bm+r \), y además \( 0 \leq r < m \).
  El número \( b \) se llama cociente (entero) y el número \( r \) es el resto de la división.
  

Números Primos.

Un número entero \( p \), distinto de 1 y -1, se dice primo si sus únicos divisores son \( 1,-1,p,-p \).

• Teorema. Existen infinitos primos positivos.
• Se denotará \( p_1,p_2,p_3,\dots, \) a la sucesión de primos positivos
• Teorema Fundamental de la Aritmética. Dado un entero positivo \( m \), existe una única lista de enteros no negativos \( (e_1,e_2,\dots) \), de tal manera que
                     \( \displaystyle m=\prod_{i=1}^\infty p_i^{e_i} \).
  Observemos que a partir de cierto índice \( i_0 \) se debe tener \( e_i=0 \) para todo \( i\geq i_0 \).
  
• Lema de Euclides. Si \( p \) es primo, y \( p|ab \), entonces \( p|a \) ó \( p|b \).
• Teorema. Divisores de una n-potencia de Coprimos son también n-potencias.
  Si \( mcd(v,w) = 1 \) and \( vw = z^n \), entonces existen \( x,y \) tal que \( v = x^n \), \( w = y^n \).
  

Teoría de Congruencias.

Sea \( m \) un entero positivo. Dados dos enteros \( a,b \), se dice que son congruentos módulo \( m \), si \( m \) divide a \( b-a \), y denotamos este hecho escribiendo \( a\equiv{b}\;(\textsf{mód\ } m) \). En símbolos, tenemos:

• \( a\equiv{b}\;(\textsf{mód\ } m) \), si, y sólo si,  \( m|(b-a) \)

Una interpretación de esto es que, al dividir por \( m \) tanto a \( a \) como a \( b \), se obtiene el mismo resto.

• Si al dividir \( a \) por \( m \), se obtiene resto \( r \), entonces \( a\equiv{r}(\textsf{mód\ }m) \).
• Si \( a\equiv{r}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( a\equiv{r-m}(\textsf{mód\ }m) \).
• Para cualesquiera enteros \( a,b,c \):
  
  • \( a\equiv{a}(\textsf{mód\ }m) \)
  • Si \( a\equiv{b}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( b\equiv{a}(\textsf{mód\ }m) \).
  • Si \( a\equiv{b}(\textsf{mód\ }m) \), \( b\equiv{c}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( a\equiv{c}(\textsf{mód\ }m) \).  
• Para cualesquiera enteros \( a,b,a',b' \), tales que \( a\equiv{a'}(\textsf{mód\ }m) \), \( b\equiv{b'}(\textsf{mód\ }m) \). Se tienen las propiedades algebraicas:
  
  • \( a+b\equiv{a'+b'}(\textsf{mód\ }m) \)
  • \( ab\equiv{a'b'}(\textsf{mód\ }m) \)

[cerrar]

Por último agregamos una lista de enlaces a otras páginas que pueden resultar de interés.

• Bluff your way in Fermat's Last Theorem (Annals of Mathematics)
• Fermat's Last Theorem: proof for n = 3
• Fermat's Last Theorem: proof for n = 5

[argentinator]

En el siguiente artículo está la prueba del UTF(4): (El enlace ha caído: no funciona)

Voy a reproducirla aquí para quienes quieran tener todo a mano, o por si el enlace cae.

Primero se prueba el siguiente

Teorema. No existen enteros positivos \( a, b, \gamma \), tales que \( a^4+b^4=\gamma^2 \).

Demostración:

Sean \( a,b,\gamma \) enteros positivos sin factores comunes,
y supongamos por el absurdo que satisfacen la igualdad \( a^4+b^4=\gamma^2 \).
Haciendo \( \alpha=a^2,\beta=b^2 \), obtenemos \( \alpha^2+\beta^2=\gamma^2 \).
Esto significa que \( (\alpha,\beta,\gamma) \) es una terna pitagórica. Además es fácil comprobar que \( \alpha,\beta,\gamma \), no pueden tener factores comunes (pues \( a,b,\gamma \) no los tienen).
Inmediatamente, debe cumplirse que existen enteros positivos \( p,q,p>q \), sin factores comunes, y de distinta paridad,
tales que \( \alpha=p^2-q^2 \), \( \beta=2pq \), \( \gamma=p^2+q^2 \).

Analicemos el caso en que \( p \) es impar y \( q \) es par.

La cantidad \( 2pq \) es el cuadrado de un entero (\( =b^2 \)).
Por lo tanto, existen enteros \( u, v \), tales que \( p=v^2,q=2u^2 \).

Como \( \alpha^2+q^2=p^2 \), resulta que \( (\alpha,q,p) \) es otra terna pitagórica,
y así, deben existir enteros positivos \( r,s,r>s \), sin factores comunes, de distinta paridad,
tales que \( \alpha=r^2-s^2 \), \( q=2rs \), \( p=r^2+s^2 \).

Tenemos \( u^2=q/2=rs \), y ahora deben existir enteros positivos \( \rho,\sigma \)
tales que \( r=\rho^2 \), \( s=\sigma^2 \).

Ahora tenemos que
\( \rho^4+\sigma^4=r^2+s^2=p=v^2 \).

Debido a que \( \gamma=p^2+q^2=v^4+q^2 \), y todas las cantidades son positivas,
resulta que \( v \leq v^4<\gamma \).

Por lo tanto, hemos hallado una terna \( (\rho,\sigma,v) \) con \( v<\gamma \), satisfaciendo \( \rho^4+\sigma^4=v^2 \).

Pero esto implica, por el criterio del descenso infinito, que la igualdad original \( a^4+b^4=\gamma^2 \) era falsa.

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Ahora es fácil obtener el UTF(4), por reducción al absurdo:

Si fuese cierto que \( a^4+b^4=c^4 \) para ciertos enteros positivos \( a,b,c \), entonces, definiendo \( \gamma=c^2 \) tendríamos que \( a^4+b^4=\gamma^2 \), lo cual sabemos que no puede ser.


En la prueba del UTF(4) hemos usado el método del descenso infinito.
Lo explicamos y justificamos en el siguiente desplegable

Método del Descenso Infinito.

Sabemos que el conjunto \( \mathbb{Z}^+ \) de los enteros positivos satisface el principio de buena ordenación:

• Dado un subconjunto A de \( \mathbb{Z}^+ \), o bien A es vacío o bien, existe un elemento mínimo en A.

Esta propiedad es equivalente al principio de inducción...

Ahora bien. Si tengo un conjunto A de enteros positivos, tal que cada vez que un entero positivo u está en A, implica que algún otro entero positivo más pequeño v está también en A, quiere decir esto que A no tiene elemento mínimo.
Pero por ser subconjunto de \( \mathbb{Z}^+ \), no le queda otro remedio que ser vacío.

Si ahora estudiamos una propiedad P(k) para los enteros positivos k, definimos \( A=\{k\in \mathbb{Z}^+: P(k)\;\;vale \} \).
Si P(k) implica P(k') para algún k' < k, estamos diciendo que A es vacío, y así P(k) es falsa para todo k.
Esto es el método de demostración del descenso infinito, lo cual resume que:
si puedo descender infinitamente en \( \mathbb{Z}^+ \) es que he supuesto algo falso.

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[argentinator]

En este post va algo de teoría algebraica, la cual hace un poco de falta para estudiar el caso n = 3 del UTF, siguiendo la demostración de Euler.

Lo relevante es comprender la factorización en el anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), pero aprovecharemos a explicar cosas más generales.

Para detalles de las demostraciones y ejemplos, remitimos al libro de Álgebra de Ivorra del Castillo: Ivorra-Algebra.pdf

Teoría Elemental de Grupos, Anillos y Cuerpos

Puede haber alguna controversia respecto al uso de los términos monoide, semigrupo, etc.
Así que no queda otra opción que elegir una de las tantas versiones, y procurar el mayor consenso posible.
Cada estructura algebraica consta de una lista de objetos primitivos, sometidos a una lista de axiomas.

Monoide

Un par \( (M,*) \) se dice monoide si:

• \( * \) es una apli¡cación binaria de \( M \) en \( M \). Escribimos \( *:M\times M\to M \)

Para todo \( a,b\in M \), usamos la notación \( a*b = *(a,b) \).

\(  \bullet \) Si \( N\subset M \) es tal que \( a,b\in N\Rightarrow{a*b\in N} \), entonces \( (N,*) \) también es un monoide (con \( * \) restringida a \( N \)).
\(  \bullet \) Se dice en este caso que \( N \) es submonoide de \( M \).

Semigrupo

Un par \( (S,*) \) se dice semigrupo si:

• \( (S,*) \) es un monoide.
• \( * \) es asociativa: Para todo \( a,b,c\in M \): \( (a*b)*c=a*(b*c) \)

\(  \bullet \) Por mera deinición, todo semigrupo es también un monoide.
\(  \bullet \) Si \( (R,*) \) es submonoide de \( (S,*) \), entonces \( (R,*) \) también es un semigrupo, debido a que se hereda trivialmente la propiedad asociativa de \( * \) dentro de \( R \). En este caso decimos que \( R \) es un subsemigrupo de \( S \).

Grupo

Una terna \( (G,*,e) \) se dice grupo si:

• \( (G,*) \) es un semigrupo.
• \( e \) es un elemento de \( G \).
• \( e \) es una identidad en \( G \): para todo \( a\in G \): \( a*e=a \).
• Todo elemento de G tiene inverso: para todo \( a\in G \), existe \( a'\in G \) tal que \( a'*a=e \).

\(  \bullet \) Puede probarse que \( e*a=a \) para todo \( a\in G \).
\(  \bullet \) Además, hay un único elemento identidad en \( G \) (el propio \( e \)).
\(  \bullet \) También, todo elemento \( a\in G \) tiene un único inverso, y lo denotaremos \( a^{-1} \).

\(  \bullet \) Una terna \( (H,*',e') \) se dice subgrupo de G, si \( (H,*',e') \) es un grupo, y además: \( H\subset G \), \( *' \) es la restricción de \( * \) a \( H \), y \( e'=e \).
\(  \bullet \) Se puede probar que \( H \) es subgrupo de G si, y sólo si, \( H\subset G \), y para todos los \( a,b\in H \) vale que \( a* b^{-1}\in H \).

Grupo Abeliano o Conmutativo

Una terna \( (G,*,e) \) es un grupo abeliano o conmutativo, si \( (G,*,e) \) es un grupo y
\( \bullet \) \( * \) es conmutativa: Para todo \( a,b\in G \): \( a*b=b*a \).

\(  \bullet \) Un subgrupo de un grupo abeliano es también grupo abeliano, pues la conmutatividad se hereda trivialmente.
\(  \bullet \) Para los grupos abelianos suele preferirse el uso del signo \( + \) para la operación de grupo, del 0 para indicar la identidad (que ahora se llama neutro), y el inverso de \( a \) se denotaría \( -a \) (ahora se llama elemento opuesto).

Anillo

Un cuarteto \( (A,+,0,*) \) se dice un anillo si

• \( (A,+,0) \) es un grupo abeliano.
• \( (A,*) \) es un semigrupo.
• \( + \) y \( * \) cumplen la ley distributiva:
          \(  \bullet \)  Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( (a+b)*c=(a*c)+(b*c) \)
          \(  \bullet \)  Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( c*(a+b)=(c*a)+(c*b) \)
  

\(  \bullet \) Se considera que la precedencia de \( * \) es más alta (se evalúa primero) que la de \( + \), luego, una expresión como \( (a*c)+(b*c) \) equivale a escribir \( a*c+b*c \).
\(  \bullet \) Supongamos que \( A'\subset A \) es tal que para todo \( a,b\in A \) se tiene \( a+b\in A \) y \( a*b\in A \). En tal caso \( (A',+,0,*) \) es un anillo, y se dice que es un subanillo de \( A \).
\(  \bullet \) En particular, como \( A \) es grupo, un subanillo de \( A \) es también subgrupo de \( A \).
\(  \bullet \) Para que \( A' \) sea subanillo de \( A \) es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a, b\in A' \) se cumpla que \( a+(-b) ,a* b^{-1} \in A' \).

\(  \bullet \) Un subconjunto \( I \) de un anillo \( A \) es un ideal derecho (resp. izquierdo) de \( A \), si \( (I,+,0) \) es un subgrupo de \( (A,+,0) \), y además para todo \( x\in I, a\in A \), se cumple que \( x*a\in I \) (resp. \( a*x\in I \)).
\(  \bullet \) Un ideal es un conjunto \( I \) que es a la vez ideal derecho e ideal izquierdo.

Anillo unitario

\(  \bullet \) Un quinteto \( (A,+,0,*,1) \) es un anillo unitario si \( (A,+,0,*) \) es un anillo, además \( 1\in A \), \( 0\neq 1 \), y \( 1 \) es elemento identidad para \( * \), vale decir, que para todo \( a\in A: a*1 = a \).

Dominio de integridad

Un cuarteto \( (A,+,0,*) \) es un dominio de integridad si cada vez que \( a,b\in A \), \( a*b=0 \), necesariamente ocurre que \( a=0 \) ó \( b=0 \). Se dice que \( A \) no tiene divisores de cero.

Anillo de División

Un anillo unitario es un anillo de división, si todo elemento \( a\neq 0 \) tiene inverso, o sea, existe \( a^{-1} \) tal que \( a*a^{-1}=1 \).

\(  \bullet \) Todo anillo de división es un dominio de integridad.

Anillo Conmutativo

Un anillo \( (A,+,0,*) \) es conmutativo, si la operación \( * \) es conmutativa.

Cuerpo

Un quinteto \( (F,+,0,*,1) \) es un cuerpo o campo, si \( (F,+,0,*,1) \) es un anillo unitario conmutativo, tal que todo elemento no nulo es invertible respecto \( * \).

\(  \bullet \) Se verifica que todo cuerpo es un anillo conmutativo, y además es un dominio de integridad.
\(  \bullet \) Un subconjunto \( E \) de \( F \) es un subcuerpo de F, si \( (E,+,0,*,1) \) es un cuerpo.
\(  \bullet \) Para que un subconjunto \( E \) de un cuerpo \( F \) sea un subcuerpo, es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a,b\in E \) se tenga \( a-b\in E \) y \( a*b^{-1}\in F \) (si \( b\neq 0 \)).
\(  \bullet \) Un cuerpo \( (C,+,0,*,1) \) se caracteriza por ser \( (C,+,0) \) y \( (C\setminus\{0\},*,1) \) grupos abelianos, de tal suerte que \( + \) y \( * \) se conectan vía la ley distributiva.

Dominio de Factorización Única (DFU)

Es un tipo especial de dominio de integridad en los que se puede hablar de descomposición en primos.
Esto lo explicamos en el siguiente desplegable...

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Dominios de Factorización Única (DFU)

Sea \( (D,+,0,\cdot,1) \) un Dominio de Integridad (un anillo sin divisores de cero), que tiene   identidad multiplicativa 1, y supongamos además que la operación de producto \( \cdot \) es conmutativa.

Resumamos algunos hechos básicos:

• Para todo \( a\in D \), se tiene que \( -a=(-1)\cdot a \).
• Para todo \( a\in D \), se tiene que \( a\cdot 0=0=0\cdot a \).

Un elemento \( u\in D \) se llama unidad si es distinto de 0, y tiene un inverso multiplicativo, vale decir, existe \( u^{-1}\in D \) tal que \( u^{-1}\cdot u = 1 \).

Como \( D \) no tiene divisores de 0, resulta que \( (D\setminus\{0\},\cdot,1) \) es un semigrupo conmutativo con identidad 1. Se puede probar a partir de esto que los inversos multiplicativos, cuando existen, son únicos. Con esto descartamos toda posible ambigüedad.

Denotamos \( U(D) \) al conjunto de todas las unidades de \( D \).
Se puede probar que \( (U(D), \cdot, 1) \) es un grupo (conmutativo) con 1 como elemento identidad.

Un elemento \( q\in D \) no nulo se llama irreducible si no existen dos elementos \( r,s\in D \), que no sean unidades, y tal que \( r\cdot s=q \). Dicho de otro modo, para cualesquiera \( r,s\in D \) tales que \( r\cdot s=q \), implica que \( r\in U(D) \) o bien \( s\in U(D) \).

Dados \( a,b\in D \), se dice que \( a \) divide a \( b \), y se denota \( a|b \), si existe un elemento \( d\in D \) tal que \( a\cdot d = b \).

Un elemento \( p\in D \) se llama primo si no es nulo, no es una unidad, y si para todo \( a,b\in D \) tales que \( p|ab \) necesariamente ocurre que \( p|a \) ó \( p|b \).

\( \bullet \) Se puede probar que todo primo en \( D \) es irreducible en \( D \).
\( \bullet \) Sin embargo la recíproca no siempre es cierta.

Dominios de Factorización Única (DFU)

Sea \( (D,+,0,\cdot,1) \) como antes. Se dice que es un Dominio de Factorización Única (DFU) si:

• Todo elemento \( m\in D \) puede factorizarse como producto de un número finito de factores irreducibles:
              \( \exists{q_1,\ldots,q_k\in D, \textsf{(irreducibles)}  }: m = q_1\cdot\ldots \cdot q_k \).
  
• La factorización es esencialmente única.
  Esto significa que si \( q'_1,\ldots q'_l \) es otra lista de factores irreducibles tales que \( m = q'_1\cdot\ldots \cdot q'_l \), implica que \( k=l \), y además existen unidades \( u_1,\ldots ,u_k \), y una permutación \( \rho:\{1,\ldots ,k\}\to\{1,\ldots ,k\} \), de tal manera que:
              \( q'_{\rho(1)}=u_1\cdot q_1,\ldots , q'_{\rho(k)}=u_k\cdot q_k \).
  

Un resultado importante es el siguiente:

Teorema. Sea \( D \) un Dominio de Factorización Única. Se tiene que todo elemento de \( D \) es primo en \( D \) si, y sólo si es irreducible en \( D \).

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El anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Propiedades y Definiciones Elementales

Vamos a estudiar este anillo de forma casera, sin demasiada jerga formal, que pueda espantar.
¿Qué significa \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)?
Básicamente, son polinomios de coeficientes enteros con símbolo \( x=\sqrt{-3} \).
No es necesario entrar en los detalles de esa teoría en este momento, pero estoy tentado a hacerlo pronto, para desarrollar los casos más generales.

Los elementos de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son los números complejos de la forma \( a+b\sqrt{-3} \), donde \( a,b \), son elementos del conjunto \( \mathbb{Z} \) (números enteros).
Claramente, se trata de un subconjunto de los números complejos (estamos entendiendo que \( \sqrt{-3}=i\sqrt 3 \)).
En ese conjunto, se consideran las operaciones de suma y multiplicación de complejos, restringidas.
Si operamos, vemos que no nos salimos del conjunto  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y además, el neutro de la adición, a saber, \( 0+0\cdot \sqrt{-3} \), está en el conjunto.

Comprobación;
Sean \( a,b,a',b' \) enteros, nos queda:
\( (a+b\sqrt{-3})+(a'+b'\sqrt{-3})=(a+a')+(b+b')\sqrt{-3} \)
\( (a+b\sqrt{-3})\cdot(a'+b'\sqrt{-3})=(a\cdot a' - 3b\cdot b')+(a\cdot b'+a'\cdot b)\sqrt{-3} \)
Estos números pertenecen a  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), pues \( a+a',b+b',a\cdot a' - 3b\cdot b',a\cdot b'+a'\cdot b \) son todos números enteros.

También, el elemento identidad \( 1=1+0\sqrt{-3} \) está en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Luego,  \( (\mathbb{Z}[\sqrt{-3}],+,0,\cdot,1) \) es un subanillo (con unidad y conmutativo), del anillo (con unidad y conmutativo) de números complejos \( (\mathbb{C},+,0,\cdot,1) \).

Es claro que \( \mathbb{Z} \) es un subanillo de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
Cabe preguntarse, en tal caso, si todavía son ciertos, en este anillo más grande, los resultados acerca de números primos, divisibilidad, etc.

En primer lugar, hay que preguntarse sobre el significado de todos esos términos, si es que todavía son válidos.
Meditando un poco la cuestión, se ve que no hay mucha dificultad en extender las nociones más elementales.
Por ejemplo, dados \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \), \( \gamma=c+d\sqrt{-3} \), con \( a,b,c,d, \) enteros, decimos que \( \alpha \) divide a \( \gamma \) si existe un elemento \( \eta=e+f\sqrt{-3} \), con \( e,f \), enteros, tal que \( \alpha\cdot\eta = \gamma \).

Haciendo las cuentas, se obtiene que:
\( c+id\sqrt{3}=\gamma=\alpha\cdot\eta=(a+ib\sqrt3)\cdot(e+if\sqrt3)=(ae-3bf)+i(af+be)\sqrt3 \).
De manera que \( c=ae-3bf \) y \( d=af+be \).
Estas expresiones nos pueden ser útiles.

Sin embargo, para entender mejor la noción de divisibilidad, procedemos un poco al revés.
Hacemos la división compleja de \( \gamma \) y \( \alpha \), y nos preguntamos si el resultado es un elemento de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
Este enfoque es válido, porque \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) es un subanillo de \( \mathbb{C} \), que es también un cuerpo. En \( \mathbb{C} \) siempre se puede dividir (por cantidades no nulas), y además el resultado de la división está determinado en forma unívoca. Si obtenemos un cociente fuera de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), quiere decir que al restringimos a \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) el cociente en cuestión no es posible.

Suponiendo que \( \alpha \) es no nulo, efectuamos las operaciones:
\( \dfrac{\gamma}{\alpha}=\dfrac{\gamma\overline{\alpha}}{\alpha\overline{\alpha}}=\dfrac{ac+3bd}{a^2+3b^2}+i\dfrac{ad-bc}{a^2+3b^2}\sqrt3 \).

Para que este cociente que hemos calculado sea un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), es necesario y suficiente que los números \( \dfrac{ac+3bd}{a^2+3b^2} \) y \( \dfrac{ad-bc}{a^2+3b^2} \) sean enteros. Pero esto quiere decir que \( a^2+3b^2 \) es un divisor tanto de \( ac+3bd \) como de \( ad-bc \) (entendiendo división en \( \mathbb{Z} \)).

Para distinguir la divisibilidad en distintos anillos, podemos hablar de \( A \)-divisibilidad entre elementos de un anillo \( A \) dado.

La cantidad \( a^2+3b^2 \) parece ser una clave importante en este asunto.
Definimos la norma de \( \alpha \) como el número entero \( N(\alpha)=\alpha\overline{\alpha}=a^2+3b^2 \).
Hemos probado que \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) es un \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \gamma=c+d\sqrt{-3} \) si, y sólo si, \( N(\alpha) \) es un \( \mathbb{Z} \)-divisor de \( ac+3bd \) y \( ad-bc \).

Como siempre, la identidad \( 1=1+0\sqrt{-3} \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de todo otro elemento del anillo, y todo elemento es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( 0=0+0\sqrt{-3} \).

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Unidades

• En el desplegable de arriba vimos por qué es importante la cantidad llamada norma de un elemento \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \). Recordamos la definición:
                                 \( N(\alpha)=\alpha\bar{\alpha}=a^3+3b^2 \).
  
  
• La norma tiene la propiedad multiplicativa siguiente: \( N(\alpha\alpha')=N(\alpha)N(\alpha') \).
  Esto es claro, pues \( N(\alpha\alpha')=\alpha\alpha'\overline{\alpha\alpha'}=\alpha\overline{\alpha}\alpha'\overline{\alpha'}=N(\alpha)N(\alpha') \).
  
• Las unidades de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son aquellos elementos del anillo que tienen inverso (dentro del mismo anillo, claro). Si \( \omega=u+v\sqrt{-3} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), quiere decir que existe \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) en el anillo, de modo que \( \alpha\cdot\omega=1 \). O sea, \( \alpha \) es inverso multiplicativo de \( \omega \).
  Como venimos arrastrando el mismo producto de los números complejos, sólo hay un inverso posible, y se trata del inverso de \( \omega \) en el cuerpo \( \mathbb{C} \).
  Si este inverso es también un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), entonces \( \omega \) tiene inverso en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y si no, no.
  
  Usando la propiedad multiplicativa de la norma, resulta que
              \( 1=N(\omega\omega')=N(\omega)N(\omega') \)
  Esto quiere decir que \( N(\omega') \) es inverso multiplicativo de \( N(\omega) \), considerando el producto en \( \mathbb{Z} \).
  Sin embargo, las únicas unidades (elementos invertibles) en \( \mathbb{Z} \) son 1 y -1.
  Más aún, el inverso de 1 es el mismo 1, y el inverso de -1 es el mismo -1.
  Sin embargo la norma siempre da un número no negativo.
  De modo que sólo es posible tener \( N(\omega)=N(\omega')=1 \).
  
• No obstante, la condición \( N(\omega)=1 \) significa nada menos que \( u^2+3v^2=1 \).
  Si \( u=0 \), entonces \( 3v^2 \) no puede ser 1. Así que \( |u| \geq1 \).
  Pero si esto ocurre, necesariamente debe ser \( v=0 \), para que la cantidad \( u^2+3v^2 \) no se nos haga demasiado grande.
  
• En resumen, las únicas unidades en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son \( 1 \) y \( -1 \).

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(El material que sigue se basa en el libro de Ivorra antes citado, secciones 6.4 y 6.5, aunque se han reformulado y reordenado los resultados, y se han agregado más detalles.)


Jugando con la norma

Para poder facilitar el estudio de la divisibilidad en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) conviene enumerar hechos acerca de la cantidad \( N(\alpha) \) para \( \alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) que hemos llamado norma.

• Llamemos por un rato elementos normables a aquellos números enteros positivos que son la norma de un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  
• El producto de dos elementos normables es de nuevo un elemento normable.
  
  (Abrir para ver detalles)

  En efecto, sean \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \), \( \beta=r+s\sqrt{-3} \).
  Si \( m = N(\alpha)=a^2+3b^2 \), \( n =N(\beta)=r^2+3s^2 \), resulta que:
  

  \( mn=(ar-3bs)^2+3(as+br)^2, \)

  con lo cual \( mn=N(\eta) \), donde \( \eta = (ar-3bs)+(as+br)\sqrt{-3} \).
  

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• Si 2 divide a un elemento normable \( m \), entonces 4 también divide a \( m \), y además el entero \( m/4 \) es de nuevo un elemento normable.
  
  (Abrir para ver detalles)

  En efecto, sea \( m=N(\alpha) \), con \( \alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Como \( N(\alpha)=a^2+3b^2 \) es par, ambos \( a^2, 3b^2 \), deben tener la misma paridad, lo cual implica que ambos \( a, b, \) deben tener una misma paridad.
  Si ambos \( a, b, \) son pares, entonces \( a^2, b^2 \) son ambos múltiplos de 4, y por lo tanto 4 divide a \( N(\alpha)=a^2+3b^2 \).
  Luego \( N(\alpha)/4=(a/2)^2+3(b/2)^2=N(\tilde\alpha) \), donde \( \tilde\alpha=(a/2)+(b/2)\sqrt{-3} \).
  Este fue el caso fácil. Veamos el caso más difícil:
  Si \( a, b, \) son ambos impares, entonces son congruentes con 1 ó -1 módulo 4.
  Podemos escribir ahora \( a = 4x\pm1, b = 4y\pm1 \), con \( x, y \) ambos enteros.
  Según el signo que acompaña a los 1's, se tiene que 4 divide a \( a+b \), o bien 4 divide a \( a-b \).
  Supongamos, pues, que se da la primer situación: 4 divide a \( a+b \).
  Denotemos \( \xi=1+1\sqrt{-3} \). Tenemos que \( N(\xi)=4 \).
  Escribiendo \( 4 N(\alpha)=N(\xi)N(\alpha)=N(\xi\alpha), \) por la propiedad multiplicativa de la norma,
  Más aún, \( \xi\alpha=(a-3b)+(a+b)\sqrt{-3}=(a+b-4b)+(a+b)\sqrt{-3} \).
  Como 4 divide a \( a+b \), y obviamente divide a \( 4b \), entonces 4 también divide a \( a+b-4b \).
  Se tiene que 4 divide a las componentes individuales de \( \xi\alpha \), así que también ha de dividir a las de \( \overline{\xi\alpha} \).
  Esto implica que \( 16=4\cdot4 \) divide a \( \xi\alpha\overline{\xi\alpha}=N(\xi\alpha)=4N(\alpha) \).
  Dividiendo por 4, resulta que 4 divide a \( N(\alpha) \).
  Además, podemos escribir \( N(\alpha)/4 = N(\tilde\alpha) \), donde
  \( \tilde\alpha=\Big(\dfrac{a-3b}4\Big)+\Big(\dfrac{a+b}4\Big)\sqrt{-3}. \)
  Si hubiésemos tenido que 4 divide a \( a -b \), se razona del mismo modo, pero ahora usando el número \( \xi=1-1\sqrt{-3} \).
  

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• Supongamos que \( \alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y que \( p \) es un entero positivo primo que también es elemento normable. O sea, existe \( \varrho =r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( p=N(\varrho ) \).
  Si suponemos que \( p \) divide a \( N(\alpha) \), entonces el entero positivo \( N(\alpha)/p \) también es un elemento normable.
  Además, se tiene precisamente que \( N(\alpha)/p=N(\tilde\alpha) \), donde \( \tilde\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) es el número:
  \( \tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p \), donde \( \tilde\varrho  \) es o bien \( \varrho  \) o bien \( \bar\varrho  \) (cuál de los dos corresponde se ve en los detalles de la demostración).
  
  (Abrir desplegable para ver detalles)

  Observemos que \( p \) es también la norma de \( \bar\varrho =r-s\sqrt{-3} \), de manera que podemos escribir en forma más general:
  

  \( p=r^2+(\sigma s)^2 \),

  donde \( \sigma=1 \) ó \( -1 \), según el caso considerado.
  Nos gustaría probar que \( p \) divide a cada componente del binomio que queda en el producto \( \alpha\varrho  \) y de \( \alpha\bar\varrho  \).
  Ambos productos pueden escribirse como
  \( (r+\sigma s\sqrt{-3})\alpha=(ra-\sigma3sb)^2+3(rb+\sigma sa) \), donde \( \sigma \) depende del caso estudiado.
  Observamos lo que ocurre con la siguiente cantidad:
  \( \begin{align*}
   (rb-sa)(rb+sa)&=(rb)^2-(sa)^2=r^2b^2+3s^2b^2-3s^2b^2-s^2a^2=b^2(r^2+3s^2)-s^2(a^2+3b^2)\\
     &=b^2N(r+\sigma s\sqrt{-3})-s^2N(\alpha)=b^2p-s^2N(\alpha).
  \end{align*}
   \)
  Como \( p \) divide a \( N(\alpha) \), concluimos que \( p \) divide a \( (rb-sa)(rb+sa) \).
  Como \( p \) es \( \mathbb{Z} \)-primo, se tiene que \( p \) divide a uno de los factores.
  Elegimos el valor de \( \sigma \) (1 ó \( -1 \)) de manera que \( p \) divida a \( rb-\sigma sa \).
  Ciertamente, \( p \) divide a la cantidad
  

  \( pN(\alpha)=N(r+\sigma s\sqrt{-3})N(\alpha)=(ra-\sigma3sb)^2+3(rb+\sigma sa)^2. \)

  Como \( p \) divide al segundo sumando, y divide a toda la cantidad, también ha de dividir al primer sumando \( (ra-\sigma3sb)^2 \).
  Como \( p \) es primo, divide a la cantidad que está elevada al cuadrado, es decir \( (ra-\sigma3sb) \).
  Así que ahora, definiendo
  \( \tilde\alpha=\dfrac{ra-\sigma3sb}p+\dfrac{rb+\sigma sa}p\sqrt{-3} \),
  se tiene que \( \tilde\alpha \) es un elemento que pertenece a \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \),
  y además se puede verificar usando las relaciones previas que \( N(\alpha)/p = N(\tilde\alpha) \).
  Esto muestra que \( N(\alpha)/p \) es un elemento normable, como deseábamos establecer.
  
  Observemos además que, definiendo
  \( \tilde\varrho = \begin{Bmatrix}\varrho , & \mbox{ si } &\sigma=1\\\bar\varrho , & \mbox{si}& \sigma=-1\end{matrix}, \)
  obtenemos la sencilla igualdad:
  \( \tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p. \)
  

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• Supongamos que \( p,\alpha,\varrho ,\tilde\alpha,\tilde\varrho , \) son como en el ítem precedente.
  Entonces alguno de los dos, \( \varrho  \) ó \( \bar\varrho  \), divide a \( \alpha \) en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  
  (Abrir desplegable para detalles)

  Tenemos que \( \tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p \), donde \( \tilde\varrho  \) es \( \varrho  \) ó \( \bar\varrho  \).
  Supongamos primeramente que \( \tilde\varrho =\varrho  \).
  Tenemos que \( p=N(\varrho )=\varrho \bar\varrho  \), por la forma en que hemos definido \( \varrho  \).
  Por lo tanto \( \tilde\alpha=\alpha/\bar\varrho  \).
  Finalmente, multiplicando por \( \bar\varrho  \), obtenemos que \( \alpha=\tilde\alpha\bar\varrho  \).
  Pero como \( \tilde\alpha \) es un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), resulta que \( \bar\varrho  \) divide a \( \alpha \) en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  
  Si \( \tilde\varrho =\bar\varrho  \), se puede usar un razonamiento análogo para probar que \( \varrho  \) divide a \( \alpha \) en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  

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• Nos preguntamos acerca de cómo son los factores de un elemento normable, si acaso también son elementos normables. En esta dirección, tenemos la siguiente afirmación:
  Si \( m \) es un elemento normable, \( x \) es un entero positivo impar que no es elemento normable, y además \( x \) divide a \( m \), entonces \( m/x \) es un entero divisible por un factor \( q \) impar que no es elemento normable.
   
  
  (Abrir desplegable para detalles)

  Sea \( \alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( m = N(\alpha)=a^2+3b^2 \).
  Por hipótesis, \( m = xy \), para ciertos factores \( x, y \), siendo \( x \) impar que no es elemento normable.
  Si 2 divide a \( y \), entonces 2 divide a \( m \).
  En tal caso, sabemos que 4 también divide a \( m \), por ser elemento normable.
  Pero como \( x \) es impar, necesariamente 4 divide a \( y \).
  Aplicando el teorema de descomposición única en primos de \( Z \), tenemos ahora que existe algún entero no negativo \( n \) tal que \( y=4^np_1...p_k \), para ciertos primos impares \( p_1,...,p_k \), que pueden estar repetidos.
  Supongamos que todos los primos \( p_1,...,p_k \) son elementos normables.
  Entonces, al dividir por \( y \), resulta que \( x=m/y \) es un elemento normable, por aplicación repetida de los resultados obtenidos en ítems previos.
  Pero esto contradice la hipótesis sobre \( x \).
  Por lo tanto, debe haber al menos un número primo impar en la descomposición anterior (o sea, al menos \( k  \geq1 \)) y tal que además dicho número primo no es elemento normable.
  

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• Sigamos con el elemento normable \( m = N(\alpha)=a^2+3b^2 \).
  Exijamos además la propiedad de que \( d = mcd(|a|,|b|) = 1 \) (o sea, \( a, b, \) son coprimos entre sí).
  Supongamos que \( p \) es un \( \mathbb{Z} \)-primo positivo e impar que divide a \( m \).
  Entonces \( p \) es un elemento normable.
  
  Demostración (abrir desplegable)

  Razonando por el absurdo, asumamos de entrada que \( p \) no es elemento normable.
  
  Dividamos los números \( a, b, \) por \( p \).
  Tomando los restos resultantes, se obtienen enteros no negativos \( \tilde v, \tilde w \) menores que \( p \), tales que \( a\equiv{\tilde v}(\text{mod\ }p), b\equiv{\tilde w}(\text{mod\ }p) \).
  Si alguno de ellos es mayor que \( p/2 \), le restamos \( p \), y usamos las letras \( v, w, \) para estos nuevos valores, de manera que ahora nos quede \( a\equiv{v}(\text{mod\ }p), b\equiv{w}(\text{mod\ }p) \) con \( |v|,|w|< p/2 \).
  Definimos el elemento \( \omega = v+w\sqrt{-3} \), cuya norma satisface \( N(\omega)=v^2+3w^2 \equiv{N(\alpha)}=a^2+3b^2 (\text{mód\ }p) \).
  
  Pero por hipótesis, tenemos que \( N(\alpha) \equiv{0}(\text{mod\ }p) \), así que también \( N(\omega) \equiv{0}(\text{mod\ }p) \), o sea, \( p \) divide a \( N(\omega) \).
  Por lo tanto, existe un \( \mathbb{Z} \)-entero positivo \( k \) tal que \( N(\omega) = pk \).
  Una observación que podemos hacer es que \( k < p \).
  En efecto, tenemos que \( pk=N(\omega) = v^2+3w^2<\frac14p^2+3\cdot\frac14p^2=p^2 \), luego \( k<p \).
  
  Denotemos \( u=mcd(|v|,|w|) \).
  Si \( u > 1 \) y \( u \) divide a \( p \), entonces \( u = p \), implicando que \( p \) es un factor común de \( v \) y \( w \).
  Pero como  \( |v|,|w| \) son menores que \( p \), esto implica que \( v=w=0 \).
  Esto implica a su vez que \( p \) divide a \( a \) y \( b \),
  y entonces \( a \) y \( b \) tienen el factor común \( p \), lo cual no puede ser, pues \( d = mcd(|a|,|b|)=1 \).
  
  Así que \( u \) no divide a \( p \), y así divide a \( k \).
  Si \( u = 1 \), es una situación trivial.
  Luego, en cualquier caso, \( u \) divide a \( k \).
  
  Definiendo \( \epsilon=e+f\sqrt{-3}=(c/u)+(d/u)\sqrt{-3} \), tenemos pues que \( \epsilon\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y además existe un entero positivo \( l \) tal que \( N(\epsilon)=p(k/u)=pl \).
  Como \( k<p \), también \( l<p \).
  
  Ciertamente, \( N(\epsilon) \) es un elemento normable, y lo hemos escrito como el producto \( pl \).
  Como hemos supuesto que \( p \) no es elemento normable, ha de existir un entero positivo primo impar \( q \) que no sea elemento normable y que divida a \( l \) (tal como hemos probado en el ítem precedente de la lista de propiedades).
  
  Escribamos \( \alpha_0=\alpha, \alpha_1=\epsilon, p_0=p, p_1=q \).
  Lo que hemos probado es que dado un entero positivo primo impar \( p_0 \) que no es elemento normable y que divide a \( N(\alpha_0), \) tal que las componentes de \( \alpha_0 \) son coprimas,
  entonces existen \( \alpha_1\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), tal que las componentes de \( \alpha_1 \) son coprimas entre sí, y un entero positivo primo impar \( p_1 \) no es elemento normable, que divide a \( N(\alpha_1), \), y tal que \( p_1<p_0 \).
  Si aplicamos repetidamente este razonamiento, se obtendrán pares de números \( (\alpha_2,p_2),(\alpha_3,p_3), ... \) tales que:
  

  • \( \alpha_n \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) (todo \( n=0,1,2,3,... \)),
  • \( \alpha_n =a_n+b_n\sqrt{-3} \). con \( mcd(|a_n|,|b_n|)=1 \) (todo \( n=0,1,2,3,... \)),
  • \( p_n \) divide a \( N(\alpha_n) \) (todo \( n=0,1,2,3,... \)),
  • \( p_0>p_1>p_2>... \)

  Sin embargo, una tal sucesión de números \( p_n \) no puede existir porque son enteros positivos, y en tal caso una sucesión decreciente sólo puede contener un número finito de elementos.
  
  ¡¡Nos hemos encontrado con el dichoso descenso infinito!!  Aunque en una forma algo rebuscada. 
  
  Esta contradicción muestra que el supuesto original era falso.
  Por lo tanto, \( p \) es elemento normable.
  

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Elementos Irreducibles y Primos

Sea \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) un elemento no nulo, no unidad, en el anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

• \( \alpha \) es irreducible si no existen \( \beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) que no sean unidades, y de tal suerte que \( \alpha=\beta\gamma \).
• \( \alpha \) es primo si siempre que \( \alpha \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \beta\gamma \), \( \beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), necesariamente \( \alpha \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \beta \) o es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \gamma \).

En un DFU ambas definiciones resultarían equivalentes, pero lamentablemente el anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) no es un DFU.
Aún así, algún trabajo todavía puede hacerse.

Tratemos en primer lugar de comprender cuáles son los elementos irreducibles y primos del anillo.

Algunos primos e irreducibles interesantes de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

• El número 2 es irreducible en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  
  Demostración (abrir desplegable)

  En efecto, planteando \( 2 = \beta\gamma, \) con \( \beta=(r+s\sqrt{-3}),\gamma=(t+u\sqrt{-3}), \), y como \( 2 = \bar 2 = \bar\beta\bar\gamma, \),
  resulta que \( 4=\beta\bar\beta\gamma\bar\gamma=N(\beta)N(\gamma) \).
  Así que las únicas posibilidades son que \( N(\beta)=1,N(\gamma)=4 \), o bien \( N(\beta)=4,N(\gamma)=1 \), o bien \( N(\beta)=N(\gamma)=2 \).
  Si \( N(\beta)=1,N(\gamma)=4 \), entonces \( r^2+3s^2 = 1 \), lo cual sólo es posible si \( |r|=1, s=0 \). ´
  Así que \( \beta \) es una unidad, y la factorización de \( 2 \) es trivial.
  Lo mismo ocurre para \( N(\beta)=4,N(\gamma)=1 \).
  Finalmente, si  \( N(\beta)=N(\gamma)=2 \), entonces \( r^2+3s^2=2=t^2+3u^2 \). Necesariamente debe ser \( s=0=u \), porque si no el valor obtenido es muy grande.
  Pero entonces resulta \( r^2=2=t^2 \), que sabemos que no es posible, pues no existen enteros cuyo cuadrado sea \( 2 \).
  

  [cerrar]
• Los elementos \( \xi=1+1\sqrt{-3} \) y \( \bar\xi=1-1\sqrt{-3} \)  son irreducibles.
  
  Demostración (abrir desplegable)

  Supongamos que existen elementos \( \beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tales que \( \xi=\beta\gamma \).
  Tomando normas se tiene que \( 4=N(\xi)=N(\beta\gamma)=N(\beta)N(\gamma) \).
  A continuación se razona de la misma manera que en el ítem precedente,
  probando así que uno de los dos, \( \beta \) o \( \gamma \), es necesariamente 1 ó \( -1 \).
  
  Con \( \bar\xi \) se procede en forma análoga.
  

  [cerrar]
• Los números \( 2+0\sqrt{-3} \) y \( 1\pm1\sqrt{-3} \) no son primos en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Constituyen un ejemplo de elementos irreducibles que no son primos.
  
  (Abrir desplegable para detalles)

  La prueba es trivial, ya que el número 4 puede descomponerse de las siguientes dos maneras:
  

  \( (1+1\sqrt{-3})(1-1\sqrt{-3})=4=2\cdot2. \)

  Se ve por ejemplo que 2 divide al producto \( (1+1\sqrt{-3})(1-1\sqrt{-3}) \).
  Sin embargo 2 no divide a ninguno de los factores.
  Si lo hiciera, entonces existiría \( \beta=r+s\sqrt{-3} \) tal que \( 2\beta=1+1\sqrt{-3} \), por ejemplo.
  De allí que \( 2r=1 \), \( 2s=1 \), que no puede ser.
  Lo mismo ocurre para \( 1-1\sqrt{-3} \).
  
  Por otro lado, si por ejemplo \( 1+1\sqrt{-3} \) divide a 2, existiría \( \beta=r+s\sqrt{-3} \) tal que \( (1+1\sqrt{-3})\beta=2 \), de donde \( r-3s=2, r+s=0. \)
  Luego r=-s implicando que \( r-3s=4r \), o sea \( 4r=2 \), o bien \( 2r=1 \), que no puede ser.
  Algo similar ocurre para \( 1-1\sqrt{-3} \).
  

  [cerrar]
• Sea \( p \) un entero positivo primo impar, y sea \( \varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( p=N(\varrho) \).
  Entonces \( \varrho \) es irreducible.
  Nos preguntamos si además \( \varrho \) puede ser primo.
  La investigación sobre primalidad nos da una condición algo "parecida" a la deseada:
  Sean \( \alpha,\beta\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) y supongamos que \( \varrho \) divide al producto \( \alpha\beta \).
  Entonces alguno de los dos \( \varrho \) ó \( \bar\varrho \) divide a alguno de los factores \( \alpha \) o \( \beta \).
  
  (Abrir desplegable para ver detalles)

  Tomando normas se tiene que \( p=N(\varrho) \) divide a \( N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta) \).
  Como \( p \) es primo en \( \mathbb{Z} \), resulta que \( p \) divide a \( N(\alpha)  \) o bien \( p \) divide a \( N(\beta) \).
  Sin pérdida de generalidad supongamos que \( p \) divide a \( N(\alpha) \).
  Como \( p \) es un elemento normable, sabemos que \( \tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho/p \) es un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), donde \( \tilde\varrho \) es \( \varrho \) ó \( \bar\varrho \).
  Supongamos que \( \tilde\varrho=\bar\varrho \).
  Se sigue que \( \tilde\alpha=\alpha/\varrho \), porque \( p=\varrho\bar\varrho \).
  Por lo tanto \( \alpha=\tilde\alpha\varrho \), siendo \( \tilde\alpha \) un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Esto significa que \( \varrho \) divide a \( \alpha \) en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  
  Supongamos ahora que \( \tilde\varrho=\varrho \).
  Razonando igual que antes se obtiene ahora que \( \bar\varrho \) es quien divide a \( \alpha \).
  
  Veamos que \( \varrho \) es irreducible.
  Supongamos que \( \delta,\gamma \) son elementos de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tales que \( \varrho=\delta\gamma \).
  Resulta, tomando normas, que \( p=N(\varrho)=N(\delta\gamma)=N(\delta)N(\gamma). \)
  Como \( p \) es primo en \( \mathbb{Z} \), resulta que uno de los dos, \( N(\delta) \) ó  \( N(\gamma) \) es igual a 1.
  Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \( N(\delta)=1 \).
  Esto significa que \( \delta = 1 \) ó \( -1 \), y por lo tanto \( \varrho \) es irreducible.
  

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Descartando elementos que no son Irreducibles en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Fijemos un elemento, no nulo y no unidad, \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \).

• Si un número entero \( d \) es \( \mathbb{Z} \)-divisor tanto de \( a \) como de \( b \), entonces es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha \).
• Lo anterior nos motiva a calcular \( d=mcd(|a|,|b|) \). Si \( d \) es mayor que 1, entonces \( \alpha \) no es irreducible, pues \( d \) será un \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha \).
  Luego, debemos buscar a los irreducibles en el subconjunto de aquellos elementos con \( d = 1 \).
• Si \( \alpha=0+b\sqrt{-3} \), entonces trivialmente se ve que no es irreducible, porque es el producto de \( \beta=b+0\sqrt{-3} \) y \( \gamma=0+1\sqrt{-3} \).
  
• Obviamente, si \( \alpha=m+0\sqrt{-3} \) y \( m \) no es \( \mathbb{Z} \)-primo, entonces no es irreducible, porque existe un \( \mathbb{Z} \)-primo positivo \( {q < |m|} \) tal que \( q \) divide a \( m \), con lo cual \( q+0\sqrt{-3} \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor no trivial de \( \alpha \).
  Preguntamos ahora, ¿qué pasa si \( m \) es \( \mathbb{Z} \)-primo? ¿Necesariamente es irreducible en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)? Veremos enseguida que no.
  
• El número 3 no es irreducible, porque haciendo \( \beta = 0+1\sqrt{-3}, \bar\beta=0-1\sqrt{-3}, \) tenemos que \(  \beta \bar\beta = 3 \). A su vez \( \beta, \bar\beta \) no son unidades de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}], \) así que la factorización no es trivial.
  
• Si un número entero \( \mathbb{Z} \)-primo \( p \) es la norma de algún elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), entonces \( p \) no es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-irreducible.
  
  (Detalles abriendo desplegable)

  En efecto, si \( \beta = s+t\sqrt{-3} \) y \( p = N(\beta) \), tenemos \( p = \beta\bar\beta=s^2+3t^2 \).
  Como \( p \) es \( \mathbb{Z} \)-primo, no puede ser \( t = 0 \), porque quedaría \( p = s^2 \), que no puede ser.
  Pero si \( t \neq 0 \), entonces \( \beta,\bar\beta \) no pueden ser unidades de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Luego la factorización \( p = \beta\bar\beta \) no es trivial, y \( p \) no puede ser irreducible.

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• Si existe un \( \mathbb{Z} \)-primo impar \( p \) que divide a \( N(\alpha) \), entonces \( \alpha \) no es irreducible.
  
  (Abrir desplegable para ver detalles)

  Escribamos \( \alpha =a+b\sqrt{-3} \). Definamos \( d = mcd(|a|,|b|) \).
  
  Si \( d >  1 \), entonces \( d = d + 0\sqrt{-3} \) es un \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \).
  Este caso es trivial, y ni siquiera usa la hipótesis sobre el primo \( p \).
  
  Supongamos, pues, que \( d =1 \).
  En este caso, sabemos ya que la hipótesis sobre \( p \) implica que \( p \) es elemento normable.
  Luego, existe \( \varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( p=N(\varrho) \).
  Tenemos ahora que \( \varrho \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( N(\alpha)=\alpha\bar\alpha \).
  Sabemos que \( \varrho \) o \( \bar\varrho \) divide a alguno de los factores, ya sea \( \alpha \) o \( \bar\alpha \).
  Si alguno divide a \( \alpha \), obviamente resulta que \( \alpha \) no es irreducible.
  
  Si \( \varrho \) divide a \( \bar\alpha, \) es fácil verificar que \( \bar\varrho \) divide a \( \alpha \).
  Algo análogo sucede si \( \bar\varrho \) divide a \( \bar\alpha \).
  De modo que en este caso también \( \alpha \) no es irreducible.
  

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Factorización en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)

Quizá hay muchas propiedades algebraicas del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) que podemos estudiar,
pero procuremos mantenernos cerca de nuestro objetivo de demostrar el Último Teorema de Fermat, en este caso para el exponente \( n = 3 \).
Para este objetivo, nos falta enunciar las siguientes propiedades de factoreo:

Supongamos que \( \alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) es tal que \( mcd(|a|,|b|)=1 \). Entonces:

• Si \( N(\alpha)=a^3+3b^2 \) es par, entonces \( \xi = 1+\sigma\sqrt{-3} \) es un \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha \), donde \( \sigma=1 \) ó \( -1 \) (este signo se elige adecuadamente en la prueba que sigue).
  Además, el número \( \gamma =\alpha /\xi = x+y\sqrt{-3} \) satisface que \( mcd(|x|,|y|)=1 \).
  
  Demostración (abrir desplegable)

  Definimos \( \xi = 1+\sigma \sqrt{-3} \). Deseamos probar que \( \xi \) divide a \( \alpha \)  en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Para ello, basta ver que \( \alpha /\xi \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Sin embargo, tenemos que:
  

  \( \alpha /\xi =\alpha \bar\xi /N(\xi )=\alpha \bar\xi /4=\frac14(a-3\sigma b)+\frac14(a+\sigma b)\sqrt{-3}. \)

  Por lo tanto, es suficiente probar que 4 divide a los enteros \( a-3\sigma b \) y \( a+\sigma  b \).
  
  Como \( N(\alpha) \) es par, los enteros \( a, b, \) deben tener la misma paridad.
  Además, como \( a, b, \) son coprimos, no pueden ser ambos pares (porque tendrían el factor común 2), así que son ambos impares.
  Por lo tanto \( a, b \) son congruentes con 1 ó -1 módulo 4.
  Esto quiere decir que uno de los dos, \( a + b \) ó \( a-b \), es congruente con 0 módulo 4.
  Fijamos \( \sigma = 1 \) ó \( -1 \) según convenga para obtener que
  \( a+\sigma b \equiv{0}\textsf{\ (mod 4)} \).
  Esto significa que 4 divide a \( a+\sigma b. \)
  
  Por otro lado, manteniendo el mismo valor de \( \sigma \):
  como \( -3\equiv{1}\textsf{\ (mod 4)} \), tenemos ahora las siguientes congruencias módulo 4:
  \( a-3\sigma b\equiv{}a+\sigma b\equiv{0}\textsf{\ (mod 4)}. \)
  Esto significa que \( 4 \) divide a \( a-3\sigma b \).
  
  Tenemos que \( x+y\sqrt{-3}=\alpha /\xi  = \frac14(a-3\sigma b)+\frac14(a+\sigma  b)\sqrt{-3} \).
  Por lo tanto \( x =\frac14(a-3\sigma b), y = \frac14(a+\sigma  b) \).
  Si \( u \) fuese un entero factor común de \( x,y \), entonces \( u \) dividiría a \( x-y \) y a \( x+3y \),
  con lo cual \( u \) dividiría a \( -\sigma b \) y a \( a \).
  O sea, \( u \) sería un factor común de \( a, b \). Pero como \( a, b, \) son coprimos, necesariamente debemos tener \( |u|=1 \).
  
  Así que \( mcd(|x|,|y|)=1 \).
  

  [cerrar]
• Si \( p \) es un primo impar que divide a \( N(\alpha ) \), hemos visto anteriormente que:
  
  • \( p \) es un elemento normable. Con lo cual, existe \( \varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]  \) tal que \( p=N(\varrho ) \).
    
  • Además uno de los dos, \( \varrho \) o \( \bar\varrho \) divide a \( \alpha \)  en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
    
  • Escribiendo \( \varrho = r+s\sqrt{-3} \), se vio en los detalles de esos resultados que \( p \) divide a \(  ra-\sigma sb \), donde \( \sigma = 1 \) ó \( -1 \) (pero no necesariamente ambos).
    En caso de que \( \sigma =+1 \), quien divide a \( \alpha \) es \( \varrho \), y
    en caso de que \( \sigma =-1 \), quien divide a \( \alpha \) es \( \bar\varrho \).
    
  Además, si \( \gamma = x+y\sqrt{-3}=\alpha /\tilde\varrho \) (donde \( \tilde\varrho \) es \( \varrho \) ó \( \bar\varrho \), según que el valor de \( \sigma \) es 1 ó \( -1 \)),
  entonces \( mcd(|x|,|y|)=1 \).
  
  (Abrir desplegable para ver detalles)

  Tenemos que:
  

  \( x+y\sqrt{-3}=\frac1p(ra-\sigma 3sb)+\frac1p(rb+\sigma sa)\sqrt{-3}. \)

  (En la sección "Jugando con la norma" hicimos los detalles de estos cálculos).
  
  Luego, \(  x= \frac1p(ra-\sigma 3sb), y=\frac1p(rb+\sigma sa). \)
  Además, sabemos que \( x, y \), son enteros.
  Supongamos que \( u \) es un divisor común de \( x,y \).
  En tal caso, \( u \) es también divisor de
  \( sx-\sigma ry=-\sigma \frac1p(3 s^2+ r^2)b=-\sigma \frac1pN(\varrho )b=-\sigma \frac ppb=-\sigma b. \)
  También \( u \) es divisor de:
  \( rx+3\sigma  sy=\frac1p(r^2+3s^2) a=\frac pp a = a \).
  Por lo tanto, u es divisor común de \( a, b \).
  Esto implica que \( |u| = 1 \).
  
  Así que \( mcd(|x|,|y|)=1. \)
  

  [cerrar]
• Si \( \omega =v+w\sqrt{-3} \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \),
  entonces \( -\omega =-v-w\sqrt{-3} \) también es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \).
  Esta observación sencilla la hacemos con el fin de buscar una cierta unicidad en la factorización de un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Diremos que \( \omega =v+w\sqrt{-3} \) es estándar en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) si su primer componente \( v \) es positiva. O sea, \( v >  0 \).
  El tipo de factorización que vamos a estudiar no utiliza números \( \omega  \) con componente \( v =0 \), así que no decimos nada al respecto.
  
• El número \( \alpha =a+b\sqrt{-3} \) se puede factorizar de la siguiente manera:
  
  \( \alpha =\sigma\omega  _1\omega  _2...\omega  _k \),
  donde \( \sigma=1 \) ó \( -1 \),
  cada \( \omega  _j \) es estándar y tiene norma igual a 4, o bien normal igual a un primo impar \( p \).
  Además, si \( \omega_j \) es uno de los factores anteriores,
  entonces el conjugado \( \bar\omega _j \) no aparece en la misma factorización.
  
  Demotración (abrir desplegable para ver detalles)

  Supongamos que 2 divide a \( N(\alpha ) \). En ese caso uno de los dos, \( \xi =1+1\sqrt{-3} \) ó \( \bar\xi =1-1\sqrt{-3} \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \).
  Elegimos \( \omega  _1 \) como \( \xi  \) ó \( \bar\xi \), según el caso correcto.
  Si no, si hay un primo impar \( p \) que divide a \( N(\alpha ) \), sabemos que existe \( \varrho \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( \varrho  \) es estándar, \( N(\varrho )=p \), y tal que además, o bien \( \varrho \) divide a \( \alpha \) , o bien \( \bar\varrho \) divide a \( \alpha \).
  Elegimos \( \omega _1 \) igual a \( \varrho \) ó \( \bar\varrho \), según sea el caso correcto.
  Si \( N(\alpha ) \) no tuviera divisores primos, querría decir que \( N(\alpha )=1 \), con lo cual \(  \alpha =1 \) ó \( -1 \).
  En tal caso hacemos \( \omega _1=1 \).
  
  En cualquier caso, definimos \( \alpha _1=\alpha /\omega _1 \), y tenemos que \( \alpha _1 \) pertenece a \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Escribamos \( \alpha _1=a_1+b_1\sqrt{-3} \).
  En los ítems anteriores hemos visto que, necesariamente, los enteros \( a_1, b_1 \) han de ser coprimos.
  (He aquí uno de los "puntos clave" que permiten la factorización).
  
  Esto significa que podemos aplicar a \( \alpha _1 \) el mismo procedimiento que aplicamos a \( \alpha  \).
  Obtenemos un divisor \( \omega _2 \) que es \( \xi \) ó \( \bar\xi \), o bien existe un primo impar \( p \) tal que \( N(\omega _2)=p \), o bien \( \omega _2=1 \).
  Definimos en cualquier caso \( \alpha _2=\alpha _1/\omega _2 \).
  
  Podemos continuar así definiendo números \( \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3, \) etc., que pertenecen todos a \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}], \) y tales que cada uno \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divide al anterior en de la secuencia.
  
  Si alguno de los \( \alpha _k \) tiene norma 1, entonces \( \alpha _k = 1 \) ó \( -1 \), y así todos los que le sigan en la secuencia tendrán norma 1.
  Por otra parte, si \( \alpha _k \) tiene norma mayor que 1, el que le sigue en la secuencia tiene norma estrictamente menor que la norma de \( \alpha _k. \)
  Esto muestra que en un número finito de pasos se obtendrá un elemento \( \alpha _k \) con norma 1.
  
  Quedémonos con el último índice \( k \) tal que \( N(\alpha _k)> 1 \).
  En ese caso, podemos escribir:
  

  \( \alpha =\sigma \omega _1\omega _2...\omega _k, \)

  donde \( \sigma = 1 \) ó \( -1 \).
  
  Por último, veamos que cuando \( \omega _j \) aparece en la factorización, el conjugado \( \bar \omega _j \) no aparece en esa misma factorización.
  Sea \( p=N(\omega _j)=N(\bar\omega _j).  \)
  Si ambos \( \omega _j, \bar\omega _j \) aparecieran juntos en la misma factorización anterior,
  entonces \( \omega _j \bar\omega _j \) sería \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \).
  Pero \( \omega _j\bar\omega _j=N(\omega _j)=p \), con lo cual \( p \) sería \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \alpha  \).
  Esto quiere decir que \( \frac1p\alpha=\frac ap+\frac bp\sqrt{-3} \) es un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
  Pero entonces \( \frac ap \) y \( \frac bp \) son enteros, con lo cual \( p \) es divisor común de \( a  \) y \( b \).
  Esto contradice el supuesto general de que \( a \) y \( b \) son coprimos.
  
  Por lo tanto, no pueden aparecer ambos \( \omega _j, \bar\omega _j  \) a la vez en la misma factorización.
  

  [cerrar]
• Sea \( \omega=v+w\sqrt{-3} \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( p =N(\omega) \) es un primo impar.
  Si hubiera otro elemento \( \varrho=r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) tal que \( p =N(\varrho) \),
  entonces \( r=\pm v, s=\pm w \).
  
  Demostración (abrir desplegable)

  Primero observemos que necesariamente \( d=mcd(|v|,|w|)=1 \), porque si no, \( d^2 \) sería divisor de \( N(\omega)=p \), que no puede ser porque \( p \) es primo.
  Aplicando lo visto en ítems anteriores, vemos que alguno de los dos,\(  \varrho \) ó \( \bar\varrho \), es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \omega \).
  Supongamos sin pérdida de generalidad que \( \varrho \) es el caso correcto.
  Tenemos que \( N(\omega/\varrho)=N(\omega)/N(\varrho)=p/p=1 \).
  Esto quiere decir que el cociente entre \( \omega  \) y \( \varrho \) sólo puede ser 1 ó \( -1 \).
  
  Esto prueba la afirmación.
  

  [cerrar]

[argentinator]

Ahora analizamos el caso n = 3, demostrado por Euler.

Euler dio dos pruebas de UTF(3). Una de ellas contenía un error, pero las ideas involucradas tuvieron relevancia en desarrollos posteriores en relación a nuestro tema.
La segunda prueba fue la correcta, y usa el método del descenso infinito.
La he copiado y traducido del Blog de Larry Freeman:

Fermat's Last Theorem: proof for n = 3 (Larry Freeman)

A pesar de estar en inglés, se entiende perfectamente.

Se utilizan algunos Lemas, que aquí expongo.

Lema 1. Para \( a,b,c\in\mathbb{Z}^+ \), si es cierta la igualdad \( a^3+b^3=c^3 \), entonces existen \( p,q\in \mathbb{Z}^+ \) tales que

• \( mcd(p,q)=1, \)
• \(  p,q  \) tienen distinta paridad,
• \(  2p(p^2 + 3q^2) \) es el cubo de un entero positivo.

Demostración.

Demostración.

• Como vimos en #1, se puede asumir que \( a,b,c \) no tienen factores comunes.
• En tal caso, a lo sumo uno de los tres términos es par.
• Además, observemos que también al menos uno de los tres debe ser par.
• Así que la prueba se puede dividir en dos casos: cuando \( c \) es par, y cuando \( a \) (o \( b \)) es par.

1er Caso: \( c \) es par.

• En este caso \( a, b \), son impares. Sin pérdida de generalidad, asumamos que \( a>b \).
• Luego \( a+b,a-b \), son pares.
• Definamos \( p,q \), mediante las relaciones \( 2p=a+b \), \( 2q=a-b \).
  (En particular, resulta que \( p,q \), son enteros positivos).
  
• Obtenemos
  \( a = \frac12\big((a + b) + ( a - b )\big) = p + q \)
  \( b = \frac12\big((a + b) - ( a - b )\big) = p - q \)
  (En particular, resulta \( p>q \)).
  
• Probemos que \( mcd(p,q) = 1 \).
  
  • Asumamos lo contrario, que \( f = mcd(p,q)>1 \).
  • Por lo tanto existen \( P,Q\in\mathbb{Z}^+ \) tales que \( p = fP, q = fQ \).
  • Pero entonces \( f \) divide tanto a \( a \) como a \( b \), pues \( a = f(P + Q) \), \( b = f(P - Q) \).
  • Esto contradice que \( a,b \) no tienen factores comunes.
• El caso \( b>a \) se analiza de modo análogo.
• \( p,q \) tienen distinta paridad pues \( a,b \), son ambos impares.
• Por último, veamos que \( 2p(p^2 + 3q^2) \) es un cubo.
  \( c^3 = a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) =  \)
  \( {}\;\;\;\; =(p+q+p-q)\big((p+q)^2-(p+q)(p-q)+(p-q)^2\big) = 2p(p^2 + 3q^2) \).
  

2do caso: \( a \) es par.

• Ahora \( c,b \) son impares, y \( c+b, c-b \) son pares.
• Existen \( p,q\in\mathbb{Z}^+ \) tales que \( 2p = c - b \), \( 2q = c + b \).
• Como antes \( c=p+q \), \( b=q-p \).
• El argumento sigue como antes, y se prueba que \( p,q \) son enteros positivos con distinta paridad,
   que \( mcd(p,q)= 1 \), y ahora  \( a^3=c^3-b^3=\cdots=2p(p^2 + 3q^2) \)

[cerrar]

Lema 2: Si \( p,q\in\mathbb{Z}^+ \), son coprimos y de distinta paridad, entonces \( \mcd(2p,p^2 + 3q^2)= 1 \) ó \( 3 \).

Demostracion.

(Topo23)

• Supongamos que existe un primo \( f \) que divide a ambos \( 2p \) y \( p^2 + 3q^2 \).
  
• Sabemos que no puede ser \( f=2 \) porque \( p^2 +3q^2 \) es impar (se usa que \( p \) y \( q \) tienen distinta paridad).
  
• Supongamos que \( f>3 \). Luego existen enteros positivos \( P \) y \( Q \) tales que \( 2p=fP \), \( p^2+3q^2=fQ \).
  
  • Ahora como \( f\neq 2 \), sabemos que 2 debe dividir a \( P \).
  • Sea \( H=P/2 \). Se obtiene \( p = fH \).
  • Combinando las dos ecuaciones tenemos: \( 3q^2 = fQ - p^2 = fQ - f^2H^2 = f(Q - fH^2) \).
  • \( f \) no divide a 3, porque habiamos supuesto que es mayor que 3, entonces por el lema de Euclides, \( f \) debe dividir a \( q \).
  • Pero \( f \) también divide a \( p \). Esto contradice que \( p \) y \( q \) son coprimos, porque también \( f \) divide a \( p \), luego nuestra suposición sobre \( f \) está equivocada.
• Nota: Hemos probado que \( mcd(2p,p^2 + 3q^2) \) puede ser a lo sumo una potencia de 3. Para terminar falta ver que si es una potencia de exponente mayor que 1 se contradice la suposición de que \( p \) y \( q \) son coprimos.
• Sea pues \( f=3^k \), con \( k\geq2 \). En este caso claramente \( 3^k \) divide a \( p \), y en particular también divide a \( p^2 \). Por otro lado, también \( 3^k \) divide a \( p^2 + 3q^2 \). Por lo tanto \( 3^k \) divide al término \( 3q^2 \). Luego \( 3^{k-1} \) divide a \( q^2 \).
  Observando con atención, y ya que \( k\geq2 \), resulta que 3 divide tanto a \( p \) como a \( q \), lo cual nos da una contradicción.
  

[cerrar]

Lema 3. Si \( P,Q \) son enteros (positivos) coprimos, con distinta paridad, tales que \( P^2 + 3Q^2  \) es cubo (de un entero), entonces existen enteros \( x,y \), coprimos tales que: \( P = x^3 - 9xy^2 \), \( Q = 3x^2y - 3y^3 \).

Demostración.

(Nota: Esta prueba se basa en el libro de Ivorra Ivorra-Algebra.pdf (secciones 6.4 y 6.5), y usa la maquinaria del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) desarrollada en el post anterior)

Sea \( \gamma=P+Q\sqrt{-3} \), con \( mcd(|P|,|Q|)=1 \).
Obtenemos que \( N(\gamma)=P^2+3Q^3 \), que es la cantidad que nos interesa estudiar.

Sabemos que la norma \( N(\gamma) \) admite una factorización de la forma:

\( N(\gamma)=4^np_1...p_k \),

donde \( n \geq 0 \), y \( p_1,...,p_k \) son primos impares.
Sabemos también que cada \( p_j \) es la norma de sólo un par de elementos \( \varrho_j, \bar\varrho_j, \) conjugados entre sí, tales que \( \varrho_j =r_j+s_j\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), si es que requerimos además la condición de que su primer componente \( r_j>0 \).

Sabemos también que \( \gamma \) se puede factorizar en la siguiente forma:

\( \gamma = \sigma \xi^{n'} \omega_1...\omega_{k'}, \)

donde \( \sigma = 1 \) ó \( -1 \), \( \xi \) es sólo uno de los números \( 1+1\sqrt{-3} \) ó \( 1-1\sqrt{-3} \),
y cada \( \omega_j  \) satisface que \( N(\omega_j) \) es un primo impar \( p \), el cual divide a \( N(\gamma) \). O sea que dicho \( p \) es un factor que aparece en la factorización única del entero \( N(\gamma) \).

Sabemos que cada factor en la descomposición de \( \gamma \) corresponde necesariamente a uno de los factores \( 4 \) ó \( p \) primo impar de la descomposición de \( N(\gamma) \).
(Si hay dudas, meditarlo un poco).

Más aún, sabemos que si aparece un factor \( \omega_j \) en la factorización de \( \gamma \),
el conjugado \( \bar\omega_j \) no aparece en dicha factorización.

Reuniendo estos hechos resulta que \( n'=n, k'=k \).

Supongamos ahora que \( N(\gamma) = z^3 \), para algún entero \( z \).
Sea \( p \) un primo que divide a \( z \). Entonces \( p^3 \) divide a \( z^3 \), y en particular a \( N(\gamma) \).
El número 2 divide a \( N(\gamma) \) con exponente par, así que 2 divide a \( N(\gamma) \) con exponente múltiplo de 6.

Sea \( q = 4 \) ó un primo \( p \) impar que divide a \( z \) (el cual resulta también un divisor de \( N(\gamma) \), claro).
Escribamos

\( \gamma = \sigma \xi^{n} \omega_1...\omega_{k}. \)

Sea \( \omega \) uno de los factores de esa descomposición que provienen del factor \( q \) de \( z \).
Dado que los factores \( \omega_j \) que aparecen en la factorización están "estandarizados", 
aquellos que provengan de \( q \), son todos iguales.
De manera que, como \( q \) aparece con exponente múltiplo de 3 en \( N(\gamma) \), resulta que \( \omega \) aparecerá con exponente múltiplo de 3 en la factorización anterior de \( \gamma \).
O sea, habrá una lista \(  \omega_{j_1},...,\omega_{j_m} \), de factores todos iguales a \( \omega \), y tal que \( j_m \) es múltiplo de 3.

Tomamos pues todos los factores \( \omega_j \) que figuran en la descomposición, dividimos sus exponentes por 3, y los multiplicamos para formar un número \( \alpha_0 \) de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
O sea, \( \alpha_0 \) contiene los mismos factores que \( \gamma \), salvo que ahora los exponentes de cada \( \omega_j \) que figura en \( \alpha_0 \) están divididos por 3.

Definimos por último \( \alpha=\sigma\alpha_0 \). (O sea, nos faltaba tener en cuenta el signo \( \sigma \)).
Tenemos claramente ahora que \( \alpha^3 = \gamma \).

Denotando \( \alpha=x+y\sqrt{-3} \), e igualando componentes, resultan las igualdades:
\( P = x^3 - 9xy^2 \)
\( Q = 3x^2y - 3y^3 \)
como deseábamos demostrar.

Nos falta comprobar que \( x, y, \) son coprimos.
Pero esto es fácil, porque si tuvieran un divisor común \( d > 1 \), entonces \( d^3 \) sería divisor de las componentes \( P,Q \) de \( \gamma \), contradiciendo que \( P,Q \) son coprimos.

[cerrar]

Teorema. No existen enteros positivos \( a,b,c \) tales que \( a^3+b^3=c^3 \).
Demostración.

• Asumamos que existe una terna \( (a,b,c) \) solución de \( a^3+b^3=c^3 \).
• Como ya sabemos, se puede suponer que \( a,b,c \), no tienen factores comunes.
• Por Lema 1, deben existir \( p,q\in\mathbb{Z}^+ \), sin factores comunes, de distinta paridad,
  y tales que \( 2p(p^2 + 3q^2) \) es el cubo de un entero positivo.
  
• Por Lema 2, \( mcd(2p,p^2+3q^2) \) es 1 ó 3.
• Si \(  mcd(2p,p^2+3q^2)=1 \) entonces debiera haber una terna solución \( (A,B,C) \) más pequeña a la igualdad \( A^3+B^3=C^3 \), en el siguiente sentido: \( A^3B^3C^3<a^3b^3c^3 \).
  
  (Abrir el desplegable para ver la prueba)

  • Tanto \( 2p \) como \( p^2 + 3q^2 \) son cubos (de enteros positivos).
  • Por Lema 3, existen enteros \( \alpha, \beta \), coprimos, de distinta paridad, tales que
    \( p = \alpha^3 - 9\alpha\beta^2, q = 3\alpha^2\beta - 3\beta^3 \).
    
  • Esto nos da que \( 2p =2\alpha^3 - 18\alpha\beta^2 =(2\alpha)(\alpha - 3\beta)(\alpha + 3\beta) \).
    
    • Probemos que \( 2\alpha, \alpha - 3\beta,\alpha + 3\beta \) son todos coprimos.
      
      • Primero, \( 2\alpha \) es coprimo con \( \alpha - 3\beta \) y \( \alpha + 3\beta \).
        En efecto: tanto \( \alpha - 3\beta \) como \( \alpha + 3\beta \) son impares pues \( \alpha,\beta \) tienen paridad opuesta.
        Si \( \alpha \) tuviese un factor común con cualquiera de ellos, entonces este factor también dividiría a \( \beta \), contra nuestro supuesto.
        
      • Si cualquier primo impar mayor que 3 divide a \( \alpha - 3\beta \) y \( \alpha + 3\beta \), entonces debe dividir a \( \alpha \) pues \( 2\alpha = \alpha - 3\beta + \alpha + 3\beta \), y debe dividir a \( \beta \) pues \( 6\beta = \alpha + 3\beta - (\alpha - 3\beta) \). Pero esto es imposible.
        
      • Ya hemos probado que 2 no puede dividir a  \( \alpha - 3\beta, \alpha + 3\beta \).
        Entonces todo lo que se necesita probar es que 3 tampoco puede dididir a ambas cantidades.
        Si 3 dividiera a ambas cantidades, entonces dividiría a \( \alpha \).
        Luego 3 dividiría también a \( p \) pues \( p = a^3 - 9ab^2 \).
        Pero no puede dividir a \( p \) pues \( mcd(2p,p2 + 3q2)=1 \).
        Entonces 3 no divide a  \( \alpha - 3\beta, \alpha + 3\beta \).
        
    • Así que, los tres términos \( 2\alpha,\alpha-3\beta,\alpha+3\beta \) son todos cubos (de enteros), por el Teorema de las potencias de Divisores de Coprimos (ver [#2]).
      Luego, tenemos enteros \( A,B,C \) tales que
      \( 2\alpha = A^3, \left |{\alpha - 3\beta}\right | = B^3,\alpha + 3\beta = C^3 \).
      
    • Pero esto nos da otra terna \( (A,B,C) \) que satisface la igualdad:
      \( A^3 = 2\alpha = \alpha - 3\beta + \alpha + 3\beta = B^3 + C^3 \), en caso de que \( \alpha - 3\beta \geq0 \), y
      \( A^3 +B^3 = C^3 \), en caso de que \( \alpha - 3\beta <0 \).
      
    • Ahora, esta solución es necesariamente más pequeña que \( a,b,c \), pues:
      \( (A^3)(B^3)(C^3) = (2\alpha)(\alpha - 3\beta)(\alpha + 3\beta) = 2p \)
      Y además tenemos que, o bien
      \( a^3 = (2p)(p^2 + 3q^2) \) o bien \( c^3 = (2p)(p^2 + 3q^2) \)
      
    
    

  [cerrar]
• Si \(  mcd(2p,p^2+3q^2)=3 \) entonces debiera haber una solución a la igualdad,
  que es más pequeña, en el sentido de que: \( A^3B^3C^3<a^3b^3c^3 \).
  
  (Abrir el desplegable para ver la prueba)

  • Como \( 3|2p \) y \( \textsf{mcd}(p,q)=1 \), resulta que  3 divide a \( p \) pero no a \( q \).
    
  • Así que hay un entero \( s \) tal que \( p = 3s \) y
                    \( 2p  (p^2 + 3q^2) = 2p(3s \cdot 3s + 3q^2) = 2\cdot 3s(3\cdot3s^2 + 3q^2) = 3^2\cdot2s(3s^2 + q^2) \).
    
  • Ahora podemos verificar que \( 3^2\cdot2s \), \( 3s^2 + q^2 \), son coprimos, pues:
    
    • 3 no divide a \( q \),
    • así que 3 no divide a \( 3s^2 + q^2 \).
    • Como \( p=3s \), \( s \) tiene la misma paridad que \( p \), con lo cual \( s,q \) tienen paridad distinta (pues \( q \) tiene paridad distinta que \( p \)).
    • Pero en este caso, 2 no divide a \( 3s^2 + q^2 \) porque debe ser impar.
    • Finalmente, \( \textsf{mcd}(s,q)=1 \) pues \( \textsf{mcd}(p,q)=1 \).
  • Luego, \( 3^2\cdot2s, 3s^2 + q^2 \) son cubos (de ciertos enteros), por el Teorema de Divisores de  potencias de coprimos, pues \( 3^2\cdot2s(3s^2 + q^2) = 2p  (p^2 + 3q^2) \), el cual es un cubo (de un entero).
    
  • Entonces, existen \( \alpha,\beta \), coprimos tales que:
                  \( q = \alpha^3 - 9\alpha\beta^2 \), \( s = 3\alpha^2\beta - 3\beta^3 \)
    pues \( \textsf{mcd}(q,s)=1 \), \( q,s \) tienen paridad opuesta, \( q^2 + 3s^2 \) es un cubo y se aplica el Lema 3.
    
  • A partir de esto, probemos que \( 2\beta, \alpha-\beta, \alpha+\beta \) son cubos (de enteros):
    
    • Primero veamos que \( \alpha,\beta \) tienen paridades opuestas:
      Si tuviesen la misma paridad, tendríamos que \( \alpha\equiv{\tau}\equiv{\beta}\;(\textsf{mód 2}) \), donde \( \tau \) es igual a 0 ó 1. Por lo tanto
                \( q = \alpha^3 - 9\alpha\beta^2 \equiv{} \tau - \tau \equiv{0}\;(\textsf{mód 2}), \)
                \( s = 3\alpha^2\beta - 3\beta^3 \equiv{} \tau - \tau \equiv{0}\;(\textsf{mód 2}), \)
      Hemos deducido que \( q,s \), son ambos pares, lo cual es imposible pues \( q,s \) tenían paridad opuesta.
      
    • En particular, \( \alpha+\beta,\alpha-\beta \) son impares. Así que 2 es coprimo con ambos números.
    • \( \beta \) es coprimo \( \alpha+\beta,\alpha-\beta \), de lo contrario tendría un factor común con \( \alpha \), que no puede ser.
    • \( \alpha+\beta,\alpha-\beta \) son coprimos pues cualquier factor común sería impar y dividiría tanto a \( \alpha \) como a \( \beta \), pues \( 2\alpha = \alpha + \beta + \alpha - \beta \) y \( 2\beta = \alpha + \beta - (\alpha - \beta) \).
    • \( 3^2\cdot2s \) es un cubo, así que
      \( 3^2\cdot2s =3^2\cdot2(3\alpha^2\beta - 3\beta^3) = 3\cdot3^2(\alpha^2\beta - \beta^3) =
       3^3(2\beta)(\alpha+\beta)(\alpha - \beta) \)
      es un cubo (de un entero).
      
    • Mas, entonces \( (2\beta)(\alpha+\beta)(\alpha - \beta) \) es un cubo.
    • Pero esto, junto a que \( \textsf{mcd}(2b,a+b,a-b)=1 \) y el Teorema de Divisores de potencias de coprimos, resulta que \( 2\beta, \alpha+\beta, \alpha-\beta \) son todos cubos.
      
  • Mas, esto significa que existen \( A,B,C \) tales que
                \( A^3 = 2\beta, B^3 = \alpha - \beta, C^3 = \alpha + \beta \).
    
  • Luego, hay otra solución a la igualdad de suma de cubos, pues \( A^3 = 2\beta = \alpha + \beta - (\alpha - \beta) = C^3 - B^3 \)
  • Hay varios casos que pueden presentarse, según los signos de \( A, B, C \), pero todos ellos son fáciles de analizar. Así que tomemos sólo uno de ellos, por ejemplo \( A>0,B>0,C>0 \).
  • Ahora, tenemos:
    \( C^3 = \alpha + \beta \) es menor que \( s = (3\beta)(\alpha -\beta)(\alpha +\beta) \) que es menor que \( p = 3s \) que es menor que \( a^3 \) ó \( c^3 \) pues \( c^3 = 2p(p^2 + 3q^2) \) ó \( a^3 = 2p (p^2 + 3q^2) \).
    
  • Por lo tanto, hemos hallado una solución \( (A,B,C) \) más pequeña que \( (a,b,c) \) que cumple \( A^3+B^3=C^3 \).

  [cerrar]
  
  
• En cualquier caso, se encuentran soluciones enteras positivas \( (A,B,C) \) más pequeñas (en el sentido ya expuesto).
  Luego, por el criterio del descenso infinito culmina la prueba.
  

[Kits]

Muy buenas,
Qué buena idea argentinator! Me parece la mejor manera de entender la demostración final del UTF, hacer un recorrido por todos los avances que se hicieron hasta el entonces.
A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.
Un saludo.

[argentinator]

A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.

Mostrar interés ya es un aporte, sirve de incentivo.
Saludos

[argentinator]

(...)


Estas cosas pueden hallarse en el capitulo del Ultimo Teorema de Fermat, del libro de Teoría de Números de Ivorra del Castillo.
Enlace: Ivorra-Numeros

(...)


En la sección de resultados básicos previos he recopilado propiedades de divisibilidad, max. comun divisor, numeros primos, congruencias.
Cualquier sugerencia de agregar algo allí, me avisan.

[Javi_Tron]

Buenas !!  dos matematicos  dieron en el 2005 una prueva del Teorema de Fermat como corolario de la conjetura de Serre , mucho mas sencilla y no necesita usar la conjetura de Taniyama-Shimura -Weil , que es lo que demostro Adrew Wiles .


Aki te paso el link :

http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=22&Itemid=58


http://www.matematicalia.net/archivos/LDieulefait.pdf


Esta demostración es para p mayor que 13  ya que para exponentes menores la cosa es "trivial " y no necesita toda artilleria moderna.

Una cuestion muy guapa es como Ken Ribet demostró que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el teorema de Fermat