[Marcos Castillo]

¡Hola, el_manco!. Genial el enlace. Pero no consigo demostrar que si \( e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!} \), entonces \( e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{z^n}{n!} \). Para valores de \( n \) pequeños y elevados al cuadrado sé que es cierto, pero no sé dar el salto. . ¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

 Un camino (que no voy a detallar al cien por cien porque implica comprobaciones de convergencia de series y sus derivadas) puede ser este:

 Define:

\(  f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^n{}\dfrac{x^n}{n!} \)

 Uno puede ver que esa función es continua y diferenciable y cumple que:

\(  f'(x)=f(x) \) y \( f(0)=1 \)  (I)

 Por los teoremas de unicidad de ecuaciones diferenciales es la única función que cumple las condiciones

 Ahora llamamos:

\(  g(x)=(f(x))^a \)

 cumple (compruébalo):

 \( g'(x)=ag(x) \) y \( g(0)=1 \)  (2)

 y es la única función cumpliendo (2).

 Llama \( h(x)=f(ax) \). Cumple (compruébalo):

 \( h'(x)=ah(x) \) y \( h(0)=1 \) (2')

 Por unicidad de solución \( h(x)=g(x) \) y así lo que hemos probado es que:

\(  (f(x))^a=f(ax) \)

 En particular:

 \( e^a=f(1)^a=f(a)=\displaystyle\sum_{n=0}^n{}\dfrac{a^n}{n!} \)

Saludos.
 

[Marcos Castillo]

Hola, el_manco. Voy a necesitar un tiempo para hacer todas las comprobaciones. Cuando lo entienda todo, escribiré. Mi objetivo es entender la fórmula de Euler, pero veo que antes de hacer más preguntas a este foro, tengo que familiarizarme con los conceptos de función, derivadas, series, etc. Un saludo.