Hola, franma.
En esta explicación se me ha olvidado una cosa, por lo que tiene el error que me ha corregido Luis.
No obstante, la dejo como está (añadiendo unos asteriscos o algo donde falta un parámetro) porque en sí la explicaión, salvo eso, creo que no es mala; y ya debajo en azul pongo bien la cuenta con el parámetro que falta.
Perdona, que anoche tenía mucho sueño y por eso no te expliqué más.
El dibujo con Geogebra no te ayuda mucho en cuanto a darte la idea de cómo tienes que calcular esos puntos. Simplemente son rectas que están en planos paralelos no coincidentes, como pintadas en el suelo y en el techo. Si no son paralelas, entonces en cada recta existe un único punto cuya proyección ortogonal (por donde pasa la recta normal) corta a la otra recta.
Si las paramétricas de las rectas son éstas (donde en una de ellas cambio el nombre del parámetro, porque son rectas distintas, y también pongo subíndices 1,2 a las coordenadas de las distintas familias de puntos)
\( \begin{cases}
x_{1}=4 − 4\lambda\\
y_{1}=5+4\lambda\\
z_{1}=-2+\lambda
\end{cases}
\)
\( \begin{cases}
{x_{2}=2+2\beta}\\
y_{2}=5+2\beta\\
z_{2}=1-\beta
\end{cases}
\)
en cada sistema tienes representadas, genéricamente, las coordenadas (x,y,z) de todos los puntos de cada recta; según las variaciones del valor de los parámetros.
Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es -6*, la primera ecuación es simplemente
\( x_{1}-x_{2}=-6
\) *
\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6
\) *
\( -4\lambda+2+2\beta=-6
\) *
\( \beta=-4+2\lambda
\) *
Y de este modo, con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z pues ya está; te sale un sistema muy sencillito y simplemente poniendo beta en función de lambda (y gamma cuando se corrige) se resuelve en un momento.
Una vez que resuelves el sistema obtienes unos únicos valores para lambda y beta, los cuales, sustituyéndolos en las propias paramétricas, te dan unos valores concretos para las coordenada x,y,z en cada sistema; obteniendo dos puntos concretos para cada recta, los cuales son precisamente los puntos buscados (claro, hay infinitos valores para los parámetros, pero sólo dos que se corresponden con los puntos por donde pasa la recta normal, ya que, es única; el vector no es único debido a que puede tener un módulo u otro según a qué distancia estén los planos que contienen a las rectas, luego necesita un parámetro delante).
Y en esto está la "visualización" de lo que hay que hacer, más que en el dibujo.
Añado la corrección
Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es \( -6\gamma
\), la primera ecuación es simplemente
\( x_{1}-x_{2}=-6\gamma
\)
\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6\gamma
\)
\( -4\lambda+2+2\beta=-6\gamma
\)
\( -2\lambda+1+\beta=-3\gamma
\)
\( \beta=-3\gamma+2\lambda-1
\)
Y así con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z; donde te sale un sistema muy sencillito simplemente poniendo beta en función de lambda y gamma.
Saludos.
