Autor Tema: Problema de proyecciones y simetrías

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15 Abril, 2021, 03:04 pm
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alvarez

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Hola a todos. Espero que podáis ayudarme con este ejercicio de Geometría que me han propuesto. Cualquier indicación me sería de mucha ayuda para resolverlo.

Muchas gracias.

En un espacio afín \( \epsilon \) con espacio vectorial asociado \( V = W_1 \oplus W_2 \) se consideran la proyección \( p \) y la simetría \( s \) con base \( L = A + W_1 \) y dirección \( W_2 \). Dado un vector \( w \in W_2 \), se pide:

1. Prueba que \( p\circ t_w \) y \( t_w\circ p \) son proyecciones y determina para cada una de ellas su base y dirección.
2. Prueba que \( s\circ t_w \) y \( t_w\circ s \) son simetrías y determina para cada una de ellas su base y dirección.

Mensaje corregido desde la administración.

Por favor,  recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

15 Abril, 2021, 03:39 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola a todos. Espero que podáis ayudarme con este ejercicio de Geometría que me han propuesto. Cualquier indicación me sería de mucha ayuda para resolverlo.

Muchas gracias.

En un espacio afín \epsilon con espacio vectorial asociado V = W1 ⊕ W2 se consideran la proyección p y la simetría s con base L = A + W1 y dirección W2. Dado un vector w ∈ W2, se pide:

1. Prueba que p ◦ t sub w y t sub w ◦ p son proyecciones y determina para cada una de ellas su base y dirección.
2. Prueba que s ◦ t sub w y t sub w ◦ s son simetrías y determina para cada una de ellas su base y dirección.

En una proyección los vectores de la base cumplen

\( M_{p}(v)=v
  \); donde \( M_{p}
  \) es la matriz de la proyección

Y los vectores de de la dirección cumplen

\( M_{p}(w)=\overrightarrow{0}
  \)

Una simetría deja invariantes los vectores que son de la base

\( M_{s}(v)=v
  \)

y los vectores de la dirección se transforman en los opuestos

\( M_{s}(w)=-w
  \).

Eso es lo que tienes que usar.

Saludos.

15 Abril, 2021, 05:53 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos. Espero que podáis ayudarme con este ejercicio de Geometría que me han propuesto. Cualquier indicación me sería de mucha ayuda para resolverlo.

Muchas gracias.

En un espacio afín \( \epsilon \) con espacio vectorial asociado \( V = W_1 \oplus W_2 \) se consideran la proyección \( p \) y la simetría \( s \) con base \( L = A + W_1 \) y dirección \( W_2 \). Dado un vector \( w \in W_2 \), se pide:

1. Prueba que \( p\circ t_w \) y \( t_w\circ p \) son proyecciones y determina para cada una de ellas su base y dirección.

Si llamas \( \vec P:V\to V \) a la aplicación lineal proyección sobre \( W_1 \) paralelamente a \( W_2 \) tienes que:

\( p(X)=A+\vec P(\overrightarrow{AX}) \)

Ahora\(  t_w \) es la traslación en la dirección de \( w \), es decir, \( t_w(X)=X+w \)

Componiendo:

\( (p\circ t_w)(X)=p(X+w)=A+\vec P(\overrightarrow{A(X+w)})=A+\vec P(\overrightarrow{AX}+w)=A+\vec P(\overrightarrow{AX})+\vec P(w)=A+\vec P(\overrightarrow{AX})=p(X) \)

donde hemos usado la linealidad de \( \vec P \) y que \( w\in W_2 \) y por tanto su proyección en la dirección de \( W_2 \) es nulo.

El resultado es lógico: si antes de proyectar desplazamos el punto en la misma dirección del espacio paralelamente al cual proyectamos, la proyección sigue siendo la misma.

Si hacemos la composición opuesta queda:

\( (t_w\circ p)(X)=A+\vec P(\overrightarrow{AX}))+w=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{AX})=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{AX}-w)=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{(A+w)X}) \)

Es decir obtenemos una proyección con base \( (A+w)+W_1 \) y dirección \( W_2. \)

De nuevo es razonable: al trasladar en la dirección de \( w\in W_2 \) después de proyectar trasladamos la base por el vector \( w \), pero mantenemos la misma dirección de proyección.

Intenta ahora el caso de la simetría. Aunque hay otros enfoques, puedes usar que \( s=2p-id. \)

Saludos.

15 Abril, 2021, 07:04 pm
Respuesta #3

alvarez

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Muchísimas gracias a las dos. Voy a entender cómo has procedido en la proyección y me pongo a hacer el de la simetría  :aplauso:

15 Abril, 2021, 08:41 pm
Respuesta #4

alvarez

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Hola. Estoy intentando una simetría y me estoy liando con la definición, porque no sé dónde poner la aplicación \( f \).

¿ Sería : \( s(Q) = Q + 2f(\overrightarrow{Qp(Q)}) \) ?

También tengo otra pregunta, ¿es un camino más difícil suponer que s = 2p - Id desde el principio o es mejor que utilice esto tras la componer?

Gracias :D

16 Abril, 2021, 09:09 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Estoy intentando una simetría y me estoy liando con la definición, porque no sé dónde poner la aplicación \( f \).

¿ Sería : \( s(Q) = Q + 2f(\overrightarrow{Qp(Q)}) \) ?

Es que si lo haces así no hay \( f \). El simétrico de \( Q \) resulta de sumar al punto el doble del vector que une el punto con su proyección:

 \( s(Q) = Q + 2\cdot \overrightarrow{Qp(Q)} \)  (*)

Citar
También tengo otra pregunta, ¿es un camino más difícil suponer que \( s = 2p - Id \) desde el principio o es mejor que utilice esto tras la componer?

Es casi lo mismo. La expresión \( s = 2p - Id \) es consecuencia inmediata de (*).

Saludos.

16 Abril, 2021, 09:45 am
Respuesta #6

alvarez

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¿Y una vez llego, aplicando esa definición, a que la composición de la traslación y la simetría es \( p(Q) + \overrightarrow{Qp(Q)} + w \), cómo deduzco que es una simetría?

Recuerda encerrar las fórmulas entre [tex]...[/tex].

16 Abril, 2021, 10:12 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

¿Y una vez llego, aplicando esa definición, a que la composición de la traslación y la simetría es \( p(Q) + \overrightarrow{Qp(Q)} + w \), cómo deduzco que es una simetría?

Recuerda encerrar las fórmulas entre [tex]...[/tex].

Entiendo que ahí haces \( t_w\circ s \). Tienes:

\( (t_w\circ s)(Q)=Q+2\overrightarrow{Qp(Q)}+w=Q+2(\overrightarrow{Qp(Q)}+w/2)=Q+2(\overrightarrow{Q(p\circ t_{w/2})(Q)}) \)

Por lo que vimos antes \( t_{w/2}\circ p \) es la proyección con dirección \( W_2 \) y base \( (A+w/2)+W_1 \). Luego esas son la base y dirección de la simetría que obtienes.

Saludos.