Autor Tema: Integrabilidad Riemann: \(\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}\)

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14 Abril, 2021, 03:50 pm
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carambola

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Sea $$f:[a, b] \to \mathbb{R}$$ una función acotada y integrable en $$[a, c]$$ para todo $$c \in (a, b)$$. Probad que f es integrable en $$[a, b]$$ y que $$\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}$$

Muchas gracias

16 Abril, 2021, 06:14 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea $$f:[a, b] \to \mathbb{R}$$ una función acotada y integrable en $$[a, c]$$ para todo $$c \in (a, b)$$. Probad que f es integrable en $$[a, b]$$ y que $$\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}$$

Muchas gracias

Supón que la función está acotada, en valor absoluto por \( M \).

Dado \( \epsilon>0 \) toma \( c\in [a,b] \) tal que \( 2M(b-c)<\epsilon/2 \). Por ser la función integrable en \( [a,c] \) existe una partición \( P \) de \( [a,c] \) tal que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/2 \). Añadéle el punto \( b \), \( P\cup \{c\} \) y comprueba que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \).

Para la segunda parte usa que:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f=\displaystyle\int_{a}^{c}f+\displaystyle\int_{c}^{b}f \)

y que:

\( \left|\displaystyle\int_{c}^{b}f\right|\leq M(b-c) \)

Saludos.