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Hola Gabe. Como sugiere sugata, lo primero que debes hacer es hallar todas las restricciones de tu problema. En tu caso, como \( x \) debe ser solución de la inecuación \( \dfrac{1}{|x|}>3 \), entonces \( x=0 \) no puede pertenecer al conjunto solución.

Por otra parte, el ejercicio es muy sencillo. Para \( \boxed{x\neq 0} \),

    \( \dfrac{1}{|x|}>3\Leftrightarrow |x|<\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{3}<x<\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x\in \left]\dfrac{-1}{3},\dfrac{1}{3}\right[ \).

Lo anterior debe cumplir con la restricción (lo que encerré en un cuadrado) por lo que el conjunto solución es

    \( \left]\dfrac{-1}{3},\dfrac{1}{3}\right[-\{0\}=\left]\dfrac{-1}{3},0\right[\cup\left]o,\dfrac{1}{3}\right[ \).

Moraleja: de ahora en adelante, siempre debes escribir las restricciones de tu problema.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Centro de masa.
« Último mensaje por franma en Hoy a las 02:11 pm »
Buenas,

Gracias Richard y mathtruco por sus aportes, hice un pequeño cambio y es generalizar un poco mas el problema a \( \mathbb{R}^3 \) que es con lo que venimos trabajando en mi curso de Geometría y Algebra Lineal.

Hice en mi cuaderno una solución larguísima, en resumen pasando la recta de \( \mathbb{R}^3 \) hecha con los 2 puntos a forma reducida y sustituyendo las 3 componentes del CM para ver que en efecto se cumple la ecuación, fue muy engorroso y quedan unas cuentas muy largas.

Escribiendo este mensaje se me ocurrió otra solución que propongo a continuación, si esta bien continuare con la parte 2 que en mi opinión se puede argumentar con lo probado en la parte (a).
Seria lo siguiente:
Sean 2 partículas \( P_1 \) de masa \( m_1 \),\(  P_2 \) de masa \( m_2 \) , sea \( A \) la posición de \( P_1 \) y \( B \) la de \( P_2 \) .
La recta viene dada por \( P=A+\lambda(\vec{AB}) \)

El centro de masa de las dos partículas queda definido por:
\( \displaystyle P_{cm} = \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} \)

Remplazo:
\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} =A+\lambda(\vec{AB})  \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} - A=\lambda(\vec{AB})  \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2 -Am_1 -Am_2}{m_1+m_2} =\lambda(\vec{AB})  \)

\( \displaystyle \frac{A(\cancel{m_1} \cancel{-m_1} -m_2) + Bm_2}{m_1+m_2} =\lambda(\vec{AB})  \)

\( \displaystyle \frac{-Am_2 + Bm_2}{m_1+m_2} =\lambda(\vec{AB})  \)

\( \displaystyle \frac{m_2(B-A)}{m_1+m_2} =\lambda(\vec{AB})  \)

Recordar ahora que el vector \( \vec{AB} = B-A \)

\( \displaystyle \frac{m_2(B-A)}{m_1+m_2} =\lambda(B-A)  \)

\( \displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2} =\lambda  \)

Independientemente de la posición de las partículas siempre obtendré un \( \lambda \) valido para un punto en mi recta (notar que la masa siempre es positiva así que no hay problemas de dividir entre 0 ni similares).

El problema mas grande es que no demostré que el centro de masa esta en el segmento de recta que une AB, solo que esta en la recta.

No se me ocurre nada de como hacer eso en \( \mathbb{R}^3 \), pero seguiré pensando...

\( \color{green}{\textbf{AGREGADO:}} \)

Indagando un poco sobre segmentos de recta encontré la siguiente parametrización:
\( r(t)=(1-t)r_0 + tr, -1\leq t \leq 1 \) donde \( r_0,r \) son los 2 vectores que componen las "puntas" del segmento.

Entonces tendría algo así:
\( r(t)=(1-t)A + tB, -1\leq t \leq 1 \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} =(1-t)A + tB \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} =A - tA + tB \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2}{m_1+m_2} - A =- tA + tB  \)

\( \displaystyle \frac{Am_1 + Bm_2 -Am_1 -Am_2}{m_1+m_2} =t(B-A) \)

\( \displaystyle \frac{A(\cancel{m_1} \cancel{-m_1} -m_2) + Bm_2}{m_1+m_2} =t(B-A)  \)

\( \displaystyle \frac{-Am_2 + Bm_2}{m_1+m_2} =t(B-A) \)

\( \displaystyle \frac{m_2(B-A)}{m_1+m_2} =t(B-A)  \)

\( \displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2} =t \)

\( \displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2} \leq \displaystyle \frac{m_2}{m_2} = 1 \)

Y además:

\( \displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2} \geq 0  \) ya que toda la masa es siempre positiva.

¿Esto demostraría que también pertenece al segmento de recta formado por AB? ¿Es correcto?

Si es correcto se puede argumentar para la 2da parte lo que propone Richard, si tengo n puntos alineados, tomo 2 y hago su centro de masa, con este centro de masa y el siguiente punto hago otro centro de masa y así continuo con los n puntos.
Ya que todos los puntos están alineados los centros de masa estarán sobre la recta que los une y los centros de masa siguientes también estarán en la recta, consecuentemente el enésimo centro de masa estará también sobre la recta.

Saludos y muchas gracias,
Franco.
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Hola amigos me ayudarían con un dibujo.

Matías se recibió  de ingeniero y en su trabajo le pidieron que diseñara una rotonda más grande posible, para el cruce de caminos alrededor de la misma ( los caminos no pasan por dentro de la rotonda) . Para construirla se deben expropiar los sectores circulares de las esquinas de los terrenos. Cerca del cruce se encuentra el pozo de agua de una finca, situado a  0,07 km al este y 30 m al norte del centro del mismo. El sector a expropiar debe llegar como máximo hasta una distancia de 10m del pozo. Matías ubica en su tablero el dibujo el centro de la rotonda en el origen de coordenadas ¿ Cuanto debe medir como máximo el diámetro de la rotonda si los caminos son de 30m de ancho
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Hola

Si \( H \) es un espacio prehilbertiano (entiendo pues que dotado de producto escalar) me piden demostar que si tengo \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \), entonces \( \bar{M} \) (clausura del conjunto M) es tambien un subespacio vectorial de \( H \).
La verdad es que no se me ocurre ninguna propiedad que haya dado para caracterizar la clausura de un conjunto como subespacio vectorial

Si tienen alguna idea se lo agradeceria

Tienes que probar que dados \( x,y\in \bar M \) y \( a,b\in \Bbb K \) entonces \( ax+yb\in \bar M \).

Como \( x,y\in \bar M \) existen sucesiones \( \{x_n\},\{y_n\}\subset M \) tales que \( x_n\to x,y_n\to y \).

Considera la sucesión \( \{ax_n+by_n\} \). Por ser \( M \) subespacio está contenida en M. Continúa...

Saludos.
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Saludos ;), tengo la siguiente duda sobre analisis funcional;

Si \( H \) es un espacio prehilbertiano (entiendo pues que dotado de producto escalar) me piden demostar que si tengo \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \), entonces \( \bar{M} \) (clausura del conjunto M) es tambien un subespacio vectorial de \( H \).
La verdad es que no se me ocurre ninguna propiedad que haya dado para caracterizar la clausura de un conjunto como subespacio vectorial

Si tienen alguna idea se lo agradeceria


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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por feriva en Hoy a las 10:00 am »
Hola

Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es -6, la primera ecuación es simplemente

\( x_{1}-x_{2}=-6
  \)

\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6
  \)

\( -4\lambda+2+2\beta=-6
  \)

\( \beta=-4+2\lambda
  \)

Y de este modo, con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z pues ya está; te sale un sistema muy sencillito y simplemente poniendo beta en función de lambda se resuelve en un momento.

Esto está mal. El vector normal no es único; lo que es única es la dirección normal (perpendicular) a ambos vectores. Entonces lo que tiene que cumplirse es que el vector que une dos puntos genéricos de la recta sea paralelo, proporcional (y no necesariamente igual) al vector normal calculado previamente:

\( \dfrac{x_1-x_2}{-6}=\dfrac{y_1-y_2}{-2}=\dfrac{z_1-z_2}{-16} \)

Saludos.

Hola, Luis.

Eso me pasa por no resolver el sistema del todo; ya he visto que no me da información.

Claro, el vector puede ser más corto o más largo. Ya había intuido algo raro en que sólo funcionara con dos variables y tres ecuaciones, pero no me he detenido lo bastante al pensar, perdón.

Ahora más tarde edito y lo arreglo.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.
7
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 09:34 am »
Hola

Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es -6, la primera ecuación es simplemente

\( x_{1}-x_{2}=-6
  \)

\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6
  \)

\( -4\lambda+2+2\beta=-6
  \)

\( \beta=-4+2\lambda
  \)

Y de este modo, con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z pues ya está; te sale un sistema muy sencillito y simplemente poniendo beta en función de lambda se resuelve en un momento.

Esto está mal. El vector normal no es único; lo que es única es la dirección normal (perpendicular) a ambos vectores. Entonces lo que tiene que cumplirse es que el vector que une dos puntos genéricos de la recta sea paralelo, proporcional (y no necesariamente igual) al vector normal calculado previamente:

\( \dfrac{x_1-x_2}{-6}=\dfrac{y_1-y_2}{-2}=\dfrac{z_1-z_2}{-16} \)

Saludos.
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Geometría Diferencial - Variedades / Teorema de Hilbert
« Último mensaje por Miguel.hs en Hoy a las 09:11 am »
Hola a todos, estoy investigando acerca del teorema de Hilbert el cual dice que no existe inmersión isométrica de una superficie completa con curvatura Gaussiana negativa constante en $$\mathbb{R}^3.$$ Estoy tomando como referencia el libro de "Geometría diferencial de curvas y superficies de Manfredo P. do Carmo" y también "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 3 de Michael Spivak". Tengo solo dos dudas puntuales: [en el documento adjunto primero se presenta la prueba de Spivak en inglés y luego la de do Carmo en español]

  • La primera es que se debe mostrar que una curva asintótica en una superficie completa con curvatura Gaussiana negativa constante se puede definir en todo $$\mathbb{R}$$, lo he enmarcado de rojo en el documento adjunto. Los argumentos que se mencionan en los documentos sé que son válidos para superficies compactas mas no para superficies completas y no he podido dar con una prueba clara de este resultado.
  • La segunda es sobre la inyectividad de $$X(s,t)$$ en la primera versión del libro de do Carmo hace uso de dos lemas dentro de los cuales hace casos para llegar al resultado, mientras que en la versión actual (2016) menciona como llegar a ese resultado de una más rápida usando aplicaciones de recubrimiento pero no he podido dar con una prueba clara tampoco me he trabado y no logro salir de eso, lo he enmarcado del color naranja en el documento.

He ido justificando los pasos que ambos autores dejan sin prueba, para llegar a entender por completo este resultado pero no consigo entender esos dos puntos que menciono, espero me puedan ayudar se los agradezco de antemano.
9
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por feriva en Hoy a las 08:47 am »
Hola, franma.

En esta explicación se me ha olvidado una cosa, por lo que tiene el error que me ha corregido Luis.
No obstante, la dejo como está (añadiendo unos asteriscos o algo donde falta un parámetro) porque en sí la explicaión, salvo eso, creo que no es mala; y ya debajo en azul pongo bien la cuenta con el parámetro que falta.


Perdona, que anoche tenía mucho sueño y por eso no te expliqué más.

El dibujo con Geogebra no te ayuda mucho en cuanto a darte la idea de cómo tienes que calcular esos puntos. Simplemente son rectas que están en planos paralelos no coincidentes, como pintadas en el suelo y en el techo. Si no son paralelas, entonces en cada recta existe un único punto cuya proyección ortogonal (por donde pasa la recta normal) corta a la otra recta.

Si las paramétricas de las rectas son éstas (donde en una de ellas cambio el nombre del parámetro, porque son rectas distintas, y también pongo subíndices 1,2 a las coordenadas de las distintas familias de puntos)

\( \begin{cases}
x_{1}=4 − 4\lambda\\
y_{1}=5+4\lambda\\
z_{1}=-2+\lambda
\end{cases}
  \)


\( \begin{cases}
{x_{2}=2+2\beta}\\
y_{2}=5+2\beta\\
z_{2}=1-\beta
\end{cases}
  \)

en cada sistema tienes representadas, genéricamente, las coordenadas (x,y,z) de todos los puntos de cada recta; según las variaciones del valor de los parámetros.

Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es -6*, la primera ecuación es simplemente

\( x_{1}-x_{2}=-6
  \) *

\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6
  \) *

\( -4\lambda+2+2\beta=-6
  \) *

\( \beta=-4+2\lambda
  \) *

Y de este modo, con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z pues ya está; te sale un sistema muy sencillito y simplemente poniendo beta en función de lambda (y gamma cuando se corrige) se resuelve en un momento.

Una vez que resuelves el sistema obtienes unos únicos valores para lambda y beta, los cuales, sustituyéndolos en las propias paramétricas, te dan unos valores concretos para las coordenada x,y,z en cada sistema; obteniendo dos puntos concretos para cada recta, los cuales son precisamente los puntos buscados (claro, hay infinitos valores para los parámetros, pero sólo dos que se corresponden con los puntos por donde pasa la recta normal, ya que, es única; el vector no es único debido a que puede tener un módulo u otro según a qué distancia estén los planos que contienen a las rectas, luego necesita un parámetro delante).

Y en esto está la "visualización" de lo que hay que hacer, más que en el dibujo.

Añado la corrección


Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es \( -6\gamma
  \), la primera ecuación es simplemente

\( x_{1}-x_{2}=-6\gamma
  \)

\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6\gamma
  \)

\( -4\lambda+2+2\beta=-6\gamma
  \)

\( -2\lambda+1+\beta=-3\gamma
  \)

\( \beta=-3\gamma+2\lambda-1
  \)

Y así con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z; donde te sale un sistema muy sencillito simplemente poniendo beta en función de lambda y gamma.

Saludos.
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- Otros - / Re: Problema sobre pago a plazos
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 08:30 am »
Hola

María compró una casa por $5000 de cuota inicial, comprometiéndose a pagar $200 cada 3 meses durante los próximos 10 años. Se pactó un interés de 6% anual convertible semestralmente.
1. ¿Cuál era el valor de contado de la casa?

Mi problema con este tipo de problemas es que desconozco por completo los convenios en matemática financiera.

Si se entiende que paga una cantidad semestral (porque los intereses se aplican semestralmente) de amortización de \( 400 \) durante 10 años, el capital \( c \) prestado sería:

\( 400=\dfrac{c\cdot 0.03\cdot 1.03^{20}}{1.03^{20}-1} \)

de donde a mi me sale \( c=5950.98 \). Si añadimos el pago inicial:

\( 5000+5950.98=10950.98 \)

que tampoco es exactamente el resultado que indicas; no sé si es por errores de redondeo o por otro motivo.

Saludos.
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