Hola
la verdad no he logrado ensamblar casi nada de lo que me has dicho, la verdad es materia nueva para mi.
Agradezco tu ayuda
Definición: una función \( f \) es
absolutamente continua en un intervalo \( (a,b) \) si, para cada \( \epsilon >0 \) existe un \( \delta >0 \) tal que dada una sucesión finita cualquiera de intervalos disjuntos \( (\alpha _k,\beta _k) \) en \( (a,b) \) que cumplen \( \sum_{k=1}^m |\beta _k-\alpha _k|<\delta \) entonces \( \sum_{k=1}^m|f(\beta _k)-f(\alpha _k)|<\epsilon \).
Hipótesis: la función \( f:(a,b)\to \Bbb R,\, x\mapsto \int_{(a,x)}g(y)\,\mathrm d y \), donde \( g \) es una función real Lebesgue integrable en \( (a,b) \), es absolutamente continua.
Demostración: observa que \( |\beta _k-\alpha _k|=\lambda ((\alpha _k,\beta _k)) \), y como los intervalos \( (\alpha _k,\beta _k) \) son disjuntos entonces, debido a las propiedades de toda medida, tenemos que
\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^m|\beta _k-\alpha _k|=\sum_{k=1}^m\lambda ((\alpha _k,\beta _k))=\lambda \left(\bigcup_{k=1}^m(\alpha _k,\beta _k)\right) \tag1
} \)
Por otro lado, sustituyendo por la definición de \( f \) dada, tenemos que
\( \displaystyle{
|f(\beta _k)-f(\alpha _k)|=\left|\int_{(a,\beta _k)}g(y)\,\mathrm d y-\int_{(a,\alpha _k)}g(y)\,\mathrm d y\right|=\left|\int_{\Bbb R }g(y)\big(\chi _{(a,\beta _k)}(y)-\chi _{(a,\alpha _k)}(y)\big)\,\mathrm d y\right|\tag2
} \)
Pero fíjate que \( (a,\alpha _k)\cap(a,\beta _k)=(a,\alpha _k) \), y por tanto
\( \displaystyle{
\chi _{(a,\beta _k)}(y)-\chi _{(a,\alpha _k)}(y)=\begin{cases}
0, & \text{ si }y\in (a,\alpha _k)\\
1, & \text{ si }y\in [\alpha _k,\beta _k)\\
0,& \text{ otra cosa }
\end{cases}\tag3
} \)
Entonces de \( \rm (3) \) vemos que \( \chi _{(a,\beta _k)}(y)-\chi _{(a,\alpha _k)}(y)=\chi _{[\alpha _k,\beta _k)}(y) \), y desde \( \rm (2) \) nos queda que
\( \displaystyle{
|f(\beta _k)-f(\alpha _k)|=\left|\int_{\Bbb R }g(y)\chi _{[\alpha _k,\beta _k)}(y)\,\mathrm d y\right|=\left|\int_{\Bbb R }g(y)\chi _{(\alpha _k,\beta _k)}(y)\,\mathrm d y\right|\leqslant \int_{\Bbb R }|g(y)|\chi _{(\alpha _k,\beta _k)}(y)\,\mathrm d y\tag4
} \)
donde hemos usado el hecho de que \( \lambda (\{\alpha _k\})=0 \), y por tanto quitar ese punto no afecta al valor de la integral.
Ahora si llamamos \( A:=\bigcup_{k=1}^m(\alpha _k,\beta _k) \) entonces de \( \rm (1) \) y \( \rm (4) \) tenemos que
\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^m|\beta _k-\alpha _k|=\lambda (A),\qquad \sum_{k=1}^m|f(\beta _k)-f(\alpha _k)|\leqslant \int_{A}|g(y)|\,\mathrm d y\tag5
} \)
ya que \( \sum_{k=1}^m\chi _{(\alpha _k,\beta _k)}(y)=\chi _{A}(y) \).
Finalmente desde \( \rm (5) \) y el teorema dejado en mi primera respuesta deducimos que \( f \) es absolutamente continua.\( \Box \)
Te animo a demostrar el teorema de mi primera respuesta, no es muy difícil, sólo tienes que utilizar la definición de la integral de Lebesgue, y especialmente el hecho de que las funciones simples son densas en el espacio de funciones integrables.
