[Paralipómena]

Hola.

Estoy tratando de mostrar lo siguiente:

Sean \( X,Y \) variables aleatorias en \( L_1. \) Entonces

\( \color{red}E(Y)-E(X)\color{black}=\int_{\mathbb{R}}(P(X<x\leq Y)-(P(Y<x\leq X))dx. \)

y la longitud esperada del intervalo aleatorio \( (X,Y] \) es la integral con respecto a \( x \) de \( P(x\in (X,Y]), \) la probabilidad del intervalo aleatorio que cubre a \( x. \)

He intentado calcular \( E(X-Y)=\int_{\mathbb{R}^2}(x-y)dF_{(X,Y)}(x,y) \) y relacionarlo con \( P(X<x\leq Y)=\int_{\{X<x\leq Y\}}dP; \) similarmente con el otro término, y usar Fubini, pero no encuentro la forma correcta de hacer esto. 

Otro intento fue utilizar complementos de los eventos \( \{X<x\leq Y\}, \) \( \{Y<x\leq X\} \) y propiedades de la medida de probabilidad pero creo que este camino no es el más adecuado.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.

CORREGIDO

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy tratando de mostrar lo siguiente:

Sean \( X,Y \) variables aleatorias en \( L_1. \) Entonces

\( E(X)-E(Y)=\int_{\mathbb{R}}(P(X<x\leq Y)-(P(Y<x\leq X))dx. \)

y la longitud esperada del intervalo aleatorio \( (X,Y] \) es la integral con respecto a \( x \) de \( P(x\in (X,Y]), \) la probabilidad del intervalo aleatorio que cubre a \( x. \)

He intentado calcular \( E(X-Y)=\int_{\mathbb{R}^2}(x-y)dF_{(X,Y)}(x,y) \) y relacionarlo con \( P(X<x\leq Y)=\int_{\{X<x\leq Y\}}dP; \) similarmente con el otro término, y usar Fubini, pero no encuentro la forma correcta de hacer esto. 

 ¿Estás seguro de que está bien copiado?. Yo tiraría por donde he marcado en azul. Voy a usar \( z \) en lugar de \( x \), porque esa \( x \) evoca a \( X \) y confunde.

\( P(X<z\leq Y)=\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dP \)

\( \displaystyle\int P(X<z\leq Y)dz=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dPdz=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dzdP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)1_{X<Y}dP \)

Analógamente:

\( \displaystyle\int P(Y<z\leq X)dz=\displaystyle\int\displaystyle\int (x-y)1_{X>Y}dP \)

Por tanto:

\( \displaystyle\int (P(X<z\leq Y)-P(Y<z\leq X))dz=\displaystyle\int\displaystyle ((y-x)1_{X<Y}-(x-y)1_{X>Y})dP=
\displaystyle\int\displaystyle\int ((y-x)1_{X<Y}+(y-x)1_{X>Y})dP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)1_{X\neq Y}dP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)dP \)

En el último paso he usado que si \( X=Y \) entonces \( y-x=0 \) y por eso es lo mismo poner \( 1_{X\neq Y} \) que simplemente \( 1 \).

Fíjate que me da \( E(Y-X) \), por eso te preguntaba si has copiado bien el enunciado.

Saludos.

[Paralipómena]

Hola Luis.

¡Muchas gracias!

En efecto, lo he copiado mal; como bien dices es \( E(Y)-E(X). \) En este momento lo corrijo.

Un saludo.