Hola.
Estoy tratando de mostrar lo siguiente:
Sean \( X,Y \) variables aleatorias en \( L_1. \) Entonces
\( \color{red}E(Y)-E(X)\color{black}=\int_{\mathbb{R}}(P(X<x\leq Y)-(P(Y<x\leq X))dx. \)
y la longitud esperada del intervalo aleatorio \( (X,Y] \) es la integral con respecto a \( x \) de \( P(x\in (X,Y]), \) la probabilidad del intervalo aleatorio que cubre a \( x. \)
He intentado calcular \( E(X-Y)=\int_{\mathbb{R}^2}(x-y)dF_{(X,Y)}(x,y) \) y relacionarlo con \( P(X<x\leq Y)=\int_{\{X<x\leq Y\}}dP; \) similarmente con el otro término, y usar Fubini, pero no encuentro la forma correcta de hacer esto.
Otro intento fue utilizar complementos de los eventos \( \{X<x\leq Y\}, \) \( \{Y<x\leq X\} \) y propiedades de la medida de probabilidad pero creo que este camino no es el más adecuado.
Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.
CORREGIDO
Hola
Estoy tratando de mostrar lo siguiente:
Sean \( X,Y \) variables aleatorias en \( L_1. \) Entonces
\( E(X)-E(Y)=\int_{\mathbb{R}}(P(X<x\leq Y)-(P(Y<x\leq X))dx. \)
y la longitud esperada del intervalo aleatorio \( (X,Y] \) es la integral con respecto a \( x \) de \( P(x\in (X,Y]), \) la probabilidad del intervalo aleatorio que cubre a \( x. \)
He intentado calcular \( E(X-Y)=\int_{\mathbb{R}^2}(x-y)dF_{(X,Y)}(x,y) \) y relacionarlo con \( P(X<x\leq Y)=\int_{\{X<x\leq Y\}}dP; \) similarmente con el otro término, y usar Fubini, pero no encuentro la forma correcta de hacer esto.
¿Estás seguro de que está bien copiado?. Yo tiraría por donde he marcado en azul. Voy a usar \( z \) en lugar de \( x \), porque esa \( x \) evoca a \( X \) y confunde.
\( P(X<z\leq Y)=\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dP \)
\( \displaystyle\int P(X<z\leq Y)dz=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dPdz=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int 1_{X<z\leq Y}dzdP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)1_{X<Y}dP \)
Analógamente:
\( \displaystyle\int P(Y<z\leq X)dz=\displaystyle\int\displaystyle\int (x-y)1_{X>Y}dP \)
Por tanto:
\( \displaystyle\int (P(X<z\leq Y)-P(Y<z\leq X))dz=\displaystyle\int\displaystyle ((y-x)1_{X<Y}-(x-y)1_{X>Y})dP=
\displaystyle\int\displaystyle\int ((y-x)1_{X<Y}+(y-x)1_{X>Y})dP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)1_{X\neq Y}dP=\displaystyle\int\displaystyle\int (y-x)dP \)
En el último paso he usado que si \( X=Y \) entonces \( y-x=0 \) y por eso es lo mismo poner \( 1_{X\neq Y} \) que simplemente \( 1 \).
Fíjate que me da \( E(Y-X) \), por eso te preguntaba si has copiado bien el enunciado.
Saludos.