Hola
En general cuando quieras justificar que una propiedad no se cumple pon
un ejemplo concreto donde falle. Es la forma más clara y rigurosa de argumentar que no se verifica.
i) Sean \( (a,b) \) y \( (c,d) \in{T_1} \) por lo que a < b y c < d
Suponiendo b < c, obtengo que \( (a,b)\cup{(c,d)} = (a,d)-[b,c]\not\in{T_1} \) y concluyo que \( T_1 \) no es topología.
Está bien, pero sería más claro un ejemplo con números concretos como el que te sugerí en mi respuesta anterior.
ii) Sean \( r_1<r_2<...<r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\subset{(-r_2,r_2)}\subset{...}\subset{(-r_n,r_n)} \) entonces
\( (-r_1,r_1)\cup{(-r_2,r_2)}\cup{...}\cup{(-r_n,r_n)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)
y
\( \cup{}_\infty(-r_i,r_i)=(-r_\infty,r_\infty)\in{T_2} \)
Sean \( r_1>r_2>...>r_n \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) números reales positivos, como \( (-r_1,r_1)\supset{(-r_2,r_2)}\supset{...}\supset{(-r_n,r_n)} \) entonces
\( (-r_1,r_1)\cap{(-r_2,r_2)}\cap{...}\cap{(-r_n,r_n)}=(-r_n,r_n)\in{T_2} \)
por lo que concluyo que \( T_2 \) si es topología.
No es correcto que escribas \( r_{\infty} \) ya que ese subíndice no tiene sentido, no sabemos a que número se refiere. Nota que para la unión tienes que trabajar con una familia arbitraria de abiertos (no necesariamente numerable, es decir, no necesariamente con un índice que varíe en los naturales). La forma correcta de probar que SI es topología es la que te indiqué en mi mensaje anterior. Analízala.
iii) \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i)=(-\infty,\infty) \) y al no ser \( \infty \) un número puedo asegurar que no es un número racional y por lo tanto
\( (-\infty,\infty)\not\in{T_3} \) por lo que concluyo que \( T_3 \) no es topología.
iv) Como \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i]=(-\infty,\infty) \) uso el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y concluyo que \( T_4 \) no es topología
v) Por el mismo razonamiento que para \( T_3 \) y \( T_4 \) concluyo que \( T_5 \) no es topología.
vi) Está claro que \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i]=(-\infty,\infty)\not\in{T_6} \) por lo que concluyo que \( T_6 \) no es topología.
vii) Como \( \cup{}_\infty[-r_i,r_i)=(-\infty,\infty)\not\in{T_7} \) concluyo que no es topología
viii) Como \( \cup{}_\infty(-r_i,r_i]=(-\infty,\infty)\not\in{T_8} \) concluyo que no es topología.
Estas están mal por lo que te indicó el_cristo. A la luz de sus explicaciones intenta justificar de manera correcta que NO son topologías.
Y llegados a este punto como el enunciado dice que exactamente tres son topologías concluyo que \( T_9 \) y \( T_1_0 \) si son topologías.
Deberías de justificar explícitamente porque si son topologías.
Para la (9) para la propiedad de la intersección dado que tiene que cumplirse sólo para familias finitas basta trabajar con dos conjuntos y notar que:
\( [-r,r]\cap [-s,s]=[-t,t] \) con \( t=min\{r,s\} \)
\( (-r,r)\cap (-s,s)=(-t,t) \) con \( t=min\{r,s\} \)
\( (-r,r)\cap [-s,s]=[-s,s] \) si \( s< r \)
\( (-r,r)\cap [-s,s]=(-r,r) \) si \( s\geq r \)
Para la unión cualquier familia de conjuntos de la forma \( [-r,r] \) y \( (r,r) \) puede dividirse en dos subfamilias, una de ellas sólo con conjuntos de la forma \( [-r,r] \) y otra con conjuntos de la forma \( (r,r). \)
Ahora:
\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} (-r_i,r_i)=(-r,r) \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \)
\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} [-r_i,r_i]=(-r,r) \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \) si \( \{r_i|i\in I\} \) no tiene máximo.
\( \displaystyle\bigcup_{i\in I} [-r_i,r_i]=[-r,r] \) con \( r=sup\{r_i|i\in I\} \) si \( \{r_i|i\in I\} \) SI tiene máximo.
Y finalmente comprobamos que:
\( (-r,r)\cup [-s,s]=[-s,s] \) si \( s\geq r \)
\( (-r,r)\cup [-s,s]=(-r,r) \) si \( s<r \)
Saludos.
