[pepito]

Hola, ¿cómo están, tanto tiempo? ¡Cómo extrañaba al foro!

Quería compartir esto y que de paso me digan, si quieren, si está bien (o qué opinan). No sé si esto calificaría como un buen candidato a artículo de la revista, lo puse en esta sección más que nada porque no se trata tanto de una consulta del tipo "¿cómo resuelvo este ejercicio?", sino más bien de un desarrollo ya terminado sobre el cual me gustaría conocer sus opiniones.

Para mí este es un teorema que habría que agregar en los libros de cálculo antes de definir la longitud de una curva en el plano y parte de lo que habría que agregar antes de definir las integrales curvilíneas en el plano (y en particular las integrales complejas).

(El desarrollo fue trasladado al artículo.)

[argentinator]

Hola, ¿cómo están, tanto tiempo? ¡Cómo extrañaba al foro!

Es una gran alegría verte de nuevo por acá.

(Aparte, es bueno irse un tiempo para que te extrañen más  ).

Estuve mirando más o menos lo que escribiste, y parecen ser unas cuentas muy agradables.
Hacés todo un estudio geométrico con ángulos y cotas, todo muy lindo.
Así que por supuesto que está bueno que lo pongas en la revista. 

Lo que no me queda claro es cuál sería tu definición de curva.
O bien qué es exactamente el caso que querés estudiar.

Una curva parametrizada en \(  R^n \) es la imagen (o traza) de
una función parametrizada \( \alpha:(a, b)\to R^n \),
que cumple vaya a saber cuáles otros requisitos.
Y una curva \( C \) es todo aquel objeto tal que localmente admite una parametrización mediante una curva parametrizada.

Eso es una pseudodefinición de "curva", y falta agregar alguna cosa para que concretar.
Por ejemplo, le podemos pedir que sea continua, para que se parezca a una "cuerda" física.

Voy a asumir que las parametrizaciones de curvas son funciones continuas.
Como recordarás, hay curvas de dimensión 2 
como el ejemplo de la curva de Peano (que está demostrado en el capítulo 7 de Topology, de Munkres, donde usa convergencia uniforme y en general teoría de espacios métricos funcionales).

Eso tiene "longitud" infinita, si querés, y hasta tiene área 1, porque la "curva" de Peano es en realidad un cuadrado rellenito.


Yo lo que haría es uniformar la noción de "longitud", usando la teoría de medidas y dimensión de Hausdorff.
En \( R^n \) uno puede definir la medida de Hausdorff h-dimensional, para todo h > 0,
y deducir de allí cuál es la dimensión de la "curva" \( C \).

La "longitud" de la curva es la medida de Hausdorff 1-dimensional.

Si la dimensión de Hausdorff es mayor que 1, entonces su longitud es infinita.
Seguramente se puede demostrar que una curva continua tiene dimensión al menos 1, aunque nunca hice la cuenta.

Y entonces, si probamos que la curva tiene dimensión de Hausdorff 1,
le calculamos su 1-medida de Hausdorff, y esa es la longitud buscada.


Luego, cualquier otro cálculo que dé lugar a una medida de la longitud tendría que coincidir con esa noción concreta de medida 1-dimensional de Hausdorff.
Eso serviría para verificar que es "correcta".
(Estoy tomando Hausdorff como religión).


Como sea, es importante tener métodos de cálculo concretos en casos particulares, como el que expusiste de funciones convexas, o lo que fuere:
No es fácil calcular directamente la medida 1-dimensional de un conjunto.


No sé qué condición poner para que la longitud de una curva diferenciable sea acotada.
Tenemos el caso del seno del topólogo, que es una curva diferenciable, acotada,
pero cuya longitud es infinita:

\( \alpha(t) = (t, \sen(1/t)), \qquad 0< t< 1. \)

[pepito]

Lo que pasa es que el teorema en sí no habla de curvas en ningún momento, ni en el enunciado ni en la demostración. Es previo a la definición de curva. La idea de esto sería "cuando te hablen de curvas, y te definan lo que se entiende por su longitud, acordate de esta propiedad que tienen los gráficos de las funciones convexas derivables para entender por qué, cuando se trata de una curva suficientemente amigable, la definición de longitud es razonable".

Pero cabe señalar que todo esto se aplica sólo en el plano, y sólo para la gráfica de una curva que sea la imagen de una función de un intervalo \( [a,b] \) a \( \mathbb{R}^2 \) derivable con continuidad diferenciable con continuidad y tal que su diferencial no se anula en ningún punto, o sea que la curva de Peano y el seno del topólogo quedan excluidas. A lo que apunta todo este desarrollo es "para determinada clase de curvas en el plano tiene sentido definir su longitud como el supremo de las poligonales inscritas por tal y tal motivo; y para las demás, no importa, se puede extender esta misma definición para ellas también y que resulte lo que sea, de todas formas, son todas abstracciones matemáticas que no tienen correlato en el mundo material, así que no pasa nada si uno se encuentra con resultados inesperados al trabajar con ellas".

[argentinator]

y para las demás, no importa, se puede extender esta misma definición para ellas también y que resulte lo que sea, de todas formas, son todas abstracciones matemáticas que no tienen correlato en el mundo material, así que no pasa nada si uno se encuentra con resultados inesperados al trabajar con ella

Es que esa es la parte que no me convence.
Yo creo que la teoría matemática de longitud de curvas se puede dar de una manera uniforme y sólida para todos los espacios \( \mathbb{R}^n \), con tal de usar la medida 1-dimensional de Hausdorff.

No se pueden usar poligonales siempre, pero eso es similar a no poder siempre la integral de Riemann en todos los casos de la integral de Lebesgue.
Y sin embargo la teoría de Lebesgue es más sólida y clara en su concepto de integral.
Lo cual no quita que en muchos casos clásicos todavía siga siendo útil aplicar el proceso de Riemann para calcular una integral.

Lo tuyo me parece una situación parecida.
Hay un sostén matemático sólido.

Y parece que coincidimos con esto:

para determinada clase de curvas en el plano tiene sentido definir su longitud como el supremo de las poligonales inscritas por tal y tal motivo;

Pero todavía ahí usaste la frase "tiene sentido", como si dudaras de lo que significa el "sentido" de la longitud de una curva.

También puede interpretarse que quisiste decir simplemente que "se puede calcular la longitud con el método de las poligonales en ese caso".
O sea se puede calcular algo que "ya tiene sentido" de antes.


Como sea, ahora creo que por fin empiezo a entender tu planteo:

Pero cabe señalar que todo esto se aplica sólo en el plano

Buscar una forma de acotar superiormente la longitud de una curva en 3 dimensiones

Parece que no podés pasar del plano al espacio.
No digo que sea fácil, pero a lo mejor cambiando un poco la notación ayude a repensarlo.
Planteaste la cuestión a partir de la gráfica de una función.
Eso sería una curva parametrizada del tipo (t, f(t)).
¿Por qué no intentar generalizar al caso (f(t), g(t))?
Al lograr eso en el plano, seguro será "sencillo" generalizarlo al espacio.


Todos los cálculos y observaciones que has hecho con los ángulos parecen interesantes.
Da la sensación de que es algo que hay que tener en cuenta, como vos decís.
Y esa puede ser la razón principal por la cual deba ir en la revista. ¿No te parece?

Saludos

[pepito]

Parece que no podés pasar del plano al espacio.
No digo que sea fácil, pero a lo mejor cambiando un poco la notación ayude a repensarlo.
Planteaste la cuestión a partir de la gráfica de una función.
Eso sería una curva parametrizada del tipo (t, f(t)).
¿Por qué no intentar generalizar al caso (f(t), g(t))?
Al lograr eso en el plano, seguro será "sencillo" generalizarlo al espacio.

Para nada. Me limité a gráficas de funciones sólo para tener una forma sencilla de definir el que "la concavidad de la curva no cambie", cosa que consigo pidiendo que la función sea convexa. Y eso es lo único que hace que (3') tenga sentido. Para el caso general en el que la curva venga dada por una parametrización \( (f(t),g(t)) \), si uno quiere aplicar la acotación que provee el teorema no queda otra opción más que, cuado sea posible, dividirla en curvas que sean gráficas de funciones reales convexas (buen, y aplicar isometrías, y asumir también que las isometrías preservan la longitud de las curvas).

Adaptar esto a 3 dimensiones es otro cantar.

Todos los cálculos y observaciones que has hecho con los ángulos parecen interesantes.
Da la sensación de que es algo que hay que tener en cuenta, como vos decís.
Y esa puede ser la razón principal por la cual deba ir en la revista. ¿No te parece?

Si es así, sí. Yo preguntaba más que nada porque esto es la clase de enunciado que uno podría encontrar como ejercicio en un libro de cálculo en una variable y no más que eso (a pesar de que nunca lo encontré en ninguno, lo que me extraña dado lo extremadamente útil que resulta desde el punto de vista didáctico para encarar el tema de las curvas). Pero si no hay un mínimo de complejidad consensuado, entonces sí.

para determinada clase de curvas en el plano tiene sentido definir su longitud como el supremo de las poligonales inscritas por tal y tal motivo;

Pero todavía ahí usaste la frase "tiene sentido", como si dudaras de lo que significa el "sentido" de la longitud de una curva.

También puede interpretarse que quisiste decir simplemente que "se puede calcular la longitud con el método de las poligonales en ese caso".
O sea se puede calcular algo que "ya tiene sentido" de antes.

Lo que quise decir es que para determinada clase de curvas (entre ellas, todas las que pueden tener un correlato en el mundo material), asumiendo (1), (2) y (3') sobre su longitud, el teorema permite afirmar (3) sobre su longitud, o sea que nunca se va a llegar a una conclusión falsa sobre la longitud de estas curvas asumiendo (1), (2) y (3), lo que es, definir su longitud como el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas. Y

(para mí) esto es lo que motiva tal definición.

Igual la respuesta a lo de Hausdorff todavía te la debo.

[argentinator]

el mundo material

Qué es el "mundo material"... te la debo.

Es buena pregunta ver si esto de Hausdorff con lo que tanto insisto encaja bien con las teorías físicas.

En cuanto al nivel mínimo exigido en la revista: no hay.

Mientras no pongas nada de Lacán, creo que no ha va a haber problemas...

[pepito]

el mundo material

Qué es el "mundo material"... te la debo.

"No sé definirlo pero lo reconozco cuando lo veo".

Fuente:

http://en.wikipedia.org/wiki/I_know_it_when_I_see_it