[argentinator]

Que se funda en estos conceptos significa que hay dos clases de seres en este mundo, unos son los seres como los patos y los zapatos, que no tienen capacidad de razonar y, en el caso del zapato, ni de intuir, y otros son como los seres humanos, que tienen esa capacidad, y sólo ésos pueden aprender matemáticas. Si tratas de enseñarle matemáticas a un ser que te pide que primero le expliques qué es eso de intuir y razonar, es que te enfrentas a un ser con algo más de capacidad que un pato (porque sabe hablar) pero menos que un ser racional susceptible de que le enseñen matemáticas.

Que las capacidades de intuición y razón existan en las personas es una cosa,
pero una cosa distinta es que sepamos cómo funcionan, o que puedan usarse con confianza.

Perdón si respondo una pregunta que no iba dirigida a mí: No me puedo imaginar ese número, pero me puedo imaginar la estructura de ese número. Ese número es el número de puntitos que habría en una serie de esta forma: \( \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet \), donde los puntos suspensivos representan una cantidad de puntitos inimaginable para mí. Pero eso no me impide razonar con seguridad sobre números como ése.

¿Y qué significa "intuir" el primer número de más de 71 cuatrillones de dígitos en base 214009, tal que sus cifras en posición prima son congruentes módulo 1407 con el cuadrado de dicha posición?

Ya los "puntitos" ahí no sirven más.
Aunque podrás imaginar la "estructura".

¿Y qué es la "estructura" o "intuir la estructura"?

[Carlos Ivorra]

Que las capacidades de intuición y razón existan en las personas es una cosa,
pero una cosa distinta es que sepamos cómo funcionan, o que puedan usarse con confianza.

Ya, pero ¿cómo puedes juzgar si razonas correctamente? Para juzgar si algo es correcto o no necesitas usar la razón. Puedes juzgar si otros razonan o no correctamente, pero juzgarte a ti mismo es imposible. Si tienes capacidad de razonar, reconocerás como válidos los razonamientos que hagan los demás (seres racionales) y los demás reconocerán como válidos tus argumentos, pero si no tienes esa capacidad de razonar podrás creer que todo el mundo razona mal menos tú y todos los demás te tendrán por un chalado. Y no hay más posibilidades. (Bueno, sí, está la posibilidad intermedia que adoptas: sabes razonar pero dudas de que sea cierto, y ahí no hay más salida que esperar que llegue el día en que te convenzas de que puedes razonar sin más que olvidarte de tus dudas sobre si puedes razonar). Para "apoyarse en la intuición" vale más o menos lo mismo.

¿Y qué significa "intuir" el primer número de más de 71 cuatrillones de dígitos en base 214009, tal que sus cifras en posición prima son congruentes módulo 1407 con el cuadrado de dicha posición?

Nada. No puedo intuir tal número, ni el que le proponías a Cristian C. Mi respuesta anterior no pretendía argumentar que sí que puedo intuir tales números. Lo único que te decía es que tenemos afirmaciones que la intuición nos garantiza y que valen para todos los números precisamente porque la intuición nos garantiza que no dependen de lo grandes o pequeños que sean los números considerados, como la conmutatividad de la suma.

Es como si te digo que intuitivamente es evidente que un polígono regular tiene que tener el mismo número de lados que de vértices. No puedo representarme intuitivamente un polígono cuyo número de lados sea el número que dices, pero sé que la identidad entre el número de lados y de vértices no depende de cuántos lados o ángulos tenga, luego vale incluso para ese polígono que no me puedo representar.

Ya los "puntitos" ahí no sirven más.
Aunque podrás imaginar la "estructura".

¿Y qué es la "estructura" o "intuir la estructura"?

No pretendía introducir un tecnicismo. Sólo me refería a que todo número natural se puede representar intuitivamente como el número de elementos de una sucesión finita de puntos, y que podemos razonar intuitivamente sobre sucesiones finitas de puntos arbitrarias (luego hacer afirmaciones basadas en la intuición sobre todos los números naturales) en la medida en que la intuición nos garantice que lo que decimos no depende de cuántos puntos haya en la sucesión. Yo sé lo que significa contar de uno en uno desde el cero hasta llegar al número que tú dices, y no importa nada que el universo se vaya a acabar antes de que pudiera acabar la cuenta. Lo que estamos hablando no depende para nada del universo.

[argentinator]

Que las capacidades de intuición y razón existan en las personas es una cosa,
pero una cosa distinta es que sepamos cómo funcionan, o que puedan usarse con confianza.

Ya, pero ¿cómo puedes juzgar si razonas correctamente? Para juzgar si algo es correcto o no necesitas usar la razón. Puedes juzgar si otros razonan o no correctamente, pero juzgarte a ti mismo es imposible. Si tienes capacidad de razonar, reconocerás como válidos los razonamientos que hagan los demás (seres racionales) y los demás reconocerán como válidos tus argumentos, pero si no tienes esa capacidad de razonar podrás creer que todo el mundo razona mal menos tú y todos los demás te tendrán por un chalado. Y no hay más posibilidades. (Bueno, sí, está la posibilidad intermedia que adoptas: sabes razonar pero dudas de que sea cierto, y ahí no hay más salida que esperar que llegue el día en que te convenzas de que puedes razonar sin más que olvidarte de tus dudas sobre si puedes razonar). Para "apoyarse en la intuición" vale más o menos lo mismo.

No veo la necesidad de juzgar algo como verdadero o falso, o correcto o incorrecto.

Una posibilidad disinta es la de aceptar que todo es una convención social (me refiero a todo lo referente al uso de signos lingüísticos, números naturales y demás entidades utilizadas al definir la lógica de 1er orden).

Ahí seguramente vamos a terminar diciendo las mismas palabras "verdadero o falso" aplicadas a las mismas afirmaciones, pero les daremos un sentido distinto.
Vos le darías un sentido de que "no hay más remedio, esto es así absolutamente", y yo le daría un sentido relativo: "esto es así por mero capricho colectivo, y bien podríamos haber convenido otras reglas de juego".

Y en cuanto a que "sé razonar", bueno, pareciera que sí,
pero como el vocablo "razonar" no está perfectamente delimitado,
puedo que signifique cosas distintas para vos que para mí, y que no siempre tengan que coincidir.

Discutir sobre si estoy de acuerdo o no con la intuición o con la razón, encierra la trampa de los significados múltiples que se le dan a las palabras. Además, es muy común en los políticos dejar sueltas ambigüedades en los términos para luego sacar tajada. Entre matemáticos no nos vamos a hacer este tipo de cosas concientemente, pero inconcientemente se puede escapar alguna tortuga.

De cualquier manera, te diré esto: aún si algún día me pongo a la tarea de construir una teoría distinta, que intente poner mayor precisión en el uso de la intuición y otras capacidades intelectuales, de modo que me deje conforme de una vez por todas,
lo más probable es que intente justificar todo lo que estás explicando sobre la lógica de 1er orden.

Por eso también es que intento circunscribirme un poco, y me limito a tratar de entender el alcance de dicha lógica, y no muchos más problemas que ése.

El haber adoptado una postura intelectual abierta a todo tipo de arbitrariedades y escepticismos, me deja casi sin herramientas, al tiempo que me cuesta comprender el punto de vista que tienen vos y Cristian, y me sorprende que vayan tan sincronizados.
Pero terminaré entendiendo a la gente "racional", jejeje.

[Carlos Ivorra]

Una posibilidad disinta es la de aceptar que todo es una convención social (me refiero a todo lo referente al uso de signos lingüísticos, números naturales y demás entidades utilizadas al definir la lógica de 1er orden).

Si fuera así, habría otras convenciones sociales posibles respecto a las cuales \( \sqrt 2 \) fuera racional o a saber qué. Si la matemática fuera una convención social habría tantas matemáticas mutuamente contradictorias como filosofías mutuamente contradictorias.

Y en cuanto a que "sé razonar", bueno, pareciera que sí,
pero como el vocablo "razonar" no está perfectamente delimitado,
puedo que signifique cosas distintas para vos que para mí, y que no siempre tengan que coincidir.

Si hablamos de razonar en su sentido más general, el problema es complicado, pero si nos restringimos a la capacidad de razonamiento necesaria en matemáticas, el problema es más simple. Me cito a mí mismo:

En cambio, si todos los seres racionales llegan a aceptar que los razonamientos que justifican que \( K_{\mathcal L} \) es semánticamente completo son correctos, a partir de ese momento desaparece cualquier posibilidad de discrepancia sobre lo que es un razonamiento correcto (en el contexto de la lógica de primer orden, es decir, sobre cualquier problema que pueda expresarse como si una determinada afirmación de un lenguaje de primer orden es verdadera o falsa en un modelo). Sencillamente, si un razonamiento puede reducirse a una deducción en \( K_{\mathcal L} \), entonces es correcto, y si no se puede, no es correcto. De este modo, la razón se concreta a sí misma. (Al menos en el contexto de los razonamientos matemáticos) no es necesario confiar en que dos seres racionales que discutan sobre si un razonamiento es válido o no lo es lleguen a un consenso sin saber a qué atenerse más que a su capacidad de raciocinio, sino que si los dos llegan a consensuar que el razonamiento que prueba que \( K_{\mathcal L} \) es semánticamente completo, a partir de ahí tienen garantizado que pueden consensuar cualquier otra discrepancia: si estamos de acuerdo en esto, estamos de acuerdo en todo (en el sentido de que podemos dilucidar sistemáticamente cualquier futura discrepancia estableciendo que sólo tendrá razón quien pueda formalizar su razonamiento en \( K_{\mathcal L} \)).

Es decir, existe un conjunto finito de razonamientos tales que si tú y yo coincidimos en ellos, entonces debemos coincidir en todos los razonamientos matemáticos. El problema que planteas (sobre si razonamos igual o no) tiene solución en un tiempo finito.

Pero terminaré entendiendo a la gente "racional", jejeje.

Para eso tienes que hacer caso al oráculo de  Delfos: Conócete a ti mismo.

[argentinator]

Si la matemática fuera una convención social habría tantas matemáticas mutuamente contradictorias como filosofías mutuamente contradictorias.

Y sí, pero no veo cuál sea el problema con esto.
Sería una matemática nueva, con muchas submatemáticas.

En la actualidad, es posible definir un sinfín de teorías matemáticas, escritas en lenguaje de 1er orden, o si querés, bajo el paraguas de la teoría de conjuntos ZFC, y es posible que muchas de ellas puedan edificarse de modo que sean mutuamente contradictorias entre sí.

Y no veo que eso asuste a nadie.
Así como tampoco asusta que haya teorías contradictorias consigo mismas (salvo que nadie las usa y punto, pero se las puede estudiar igual).

Una teoría donde la raíz de 2 sea racional, puede estar llena de convenciones contradictorias entre sí, y llegar a resultados que no utilizaríamos, en general, para nada. Pero no veo que eso sea un problema.

Lo único que cambiaría al aceptar que todo es una convención, es que lo que antes era considerado una "verdad absoluta", ahora serían consecuencias de una elección libre y conciente de ciertas reglas de juego, entre muchas otras convenciones disponibles por ahí.

Por un lado deja la puerta abierta a delirios de todo tipo, pero también obliga a una mayor responsabilidad, al decir uno que está de acuerdo con cada cosa que afirma.
¿No es más o menos esto lo que hacés en algunas demostraciones de metateoremas, al convencerte en cada paso de que ese paso específico está correcto?

En fin, que estamos desviando mucho el tema de tu artículo.

[Carlos Ivorra]

Si la matemática fuera una convención social habría tantas matemáticas mutuamente contradictorias como filosofías mutuamente contradictorias.

Y sí, pero no veo cuál sea el problema con esto.

No estaba diciendo que eso fuera un problema, sino que estaba señalando que la realidad es que no las hay (teorías alternativas), y el hecho de que no las haya te está diciendo a gritos que las matemáticas no son una convención social, porque si lo fueran las habría.

[specu]

Muy competo y claro el artículo, lo cual lo hace de una gran utilidad. Solo parece un poco desconcertante que los comentarios se vayan tanto de tema. Me gustaría comentar, tal contraviniendo yo mismo lo que hubiera considerado preferible, respecto de algo que se dice acerca de lo convencional ("Si la matemática fuera una convención social habría tantas matemáticas mutuamente contradictorias como filosofías mutuamente contradictorias.").

Yo, que no he estudiado matemática más que de modo accesorio y accidental, respondería a una cuestión parecida, sustituyendo "matemática" por "lógica". ¿Es la lógica una convención social? Primero, se han elaborado lógicas mutuamente contradictorias, o a los sumo se suele invocar un hecho semejante. ¿Es eso suficiente para concluir afirmativamente? Creo que no. Por el siguiente motivo. La lógica es todo aquellos que va desde los principios primeros hasta las conclusiones, es decir, la lógica es la observancia cabal de los principios (definiciones, axiomas, reglas) en la obtención de inferencias, razonamientos, teoremas. Así, la lógica es una sola. La que a partir de determinados principios llegará a determinadas conclusiones. La "diversidad de lógicas" depende no de que la lógica sea convencional, sino de que los principios son escogidos, sí, en forma que podría llamarse convencional (en esto serán diferentes una lógica clásica, una intuicionista, una polivalente, etc.).

Y la matemática involucra a la lógica, pero también involucra cierta selección de principios (aquellos que resultan más convenientes para la fundamentación de la matemática, precisamente, y no otros).

Saludos.

[noisok]

Hola Carlos, estoy leyendo tu excelente trabajo de lógica por el cual te doy las gracias. Respecto al mismo, y dada la importancia posterior, hay una frase que no logro entender de ninguna forma y que te cito a continuación :

Si \( v \) es una valoración, \( x \) es una variable y \( a \) es un objeto del universo de \( M \), representaremos por \( v_x^a \) la valoración que coincide con \( v \) salvo que \( v_x^a(x)\equiv a \), independientemente de lo que valga \( v(x) \).

Espero que me puedas sacar de dudas.

Nuevamente, gracias.

[Carlos Ivorra]

A ver si así lo ves más claro:

\( v_x^a(y)=\begin{cases} v(y) & \text{si}& y\not\equiv x,\\ a & \text{si}& y\equiv x.\end{cases} \)

Si sigues sin verlo, vuelve a preguntar.

[noisok]

\( S_x^t\forall y\alpha\equiv \left\{\begin{array}{lll} \forall y\alpha & \mbox{ si } x \text{ no está libre en } \forall y\alpha\\ \forall yS_x^t\alpha & \mbox{si }  x \text{ está libre en }\forall y\alpha \text{ e } y \text{ no está libre en } t\\
\forall z S_x^tS_y^z\alpha&\mbox{si } x \text{ está libre en } \forall x\alpha,\ y \text{ está libre en } t.\end{array}\right. \)

Hola Carlos, cuando dices que la variable \( y \) en \( t \) no es libre, ¿estas queriendo decir que la variable \( y \) en \( t \) hace referencia a la misma variable \( y \) en la fórmula \( \alpha \)?

Saludos